《自动控制理论》习题答案详解

C s C s 1

i 《自动控制理论》习题答案详解

第二章

2-1

1 试求图2- T - 1所示 RC 网络的传递函数。

(a) z 1 = R 1 ⋅ Cs 1 = R 1 ， z = R ，则传递函数为： R Cs + 1 2 2

R 1 + Cs

1

U o (s ) = U i (s ) z 2 z 1 + z 2 =

R 1R 2Cs + R 2

R 1R 2Cs + R 1 + R 2

(b) 设流过C 1 、C 2的电流分别为I 1、 I 2 ，根据电路图列出电压方程：

⎧

U (s ) = 1

I (s ) + R [I (s ) + I (s )]

⎪ C 1s ⎨ 1 并且有

⎪ U o (s ) = ⎩

C 2s I 2(s ) 1

C 1

s

I 1(s ) = (R 2 +

1 C 2s )I

2 (s ) 联立三式可消去I 1 (s ) 与 I 2 (s ) ，则传递函数为：

U o (s ) =

U (s )

1 C 2s

⎛ 1

⎫⎛ 1

⎫ = R R C C

s 2 + (R C

1 + R C + R C

)s +1

i

R 1 + C 1s ⎝ 1 + R 1 ÷ ⎭⎝ 2 + R 2 ÷

⎭

1 2 1 2

1 1

1 2

2 2

2-2 2 假设图 2- T - 2 的运算放大器均为理想放大器，试写出u 以i 为输入，u o 为输出的传递函 数。

(a)

u i du i du 0 由运算放大器虚短、虚断特性可知： R 对上式进行拉氏变换得到 = -C + C dt dt

， u c = u i - u 0 ，

故传递函数为

U i (s )

= -sU RC i

(s ) + sU 0 (s ) U 0(s ) =

RCs +1

1

1 1

2

⎪

(b)由运放虚短、虚断特性有：C

du c

U i (s )

- u i - u c RCs

+ - u c

= 0 ，

u

c

+ u 0

= 0 ，

dt R 2

R 2

R 2 R 1

i

U R 0 c

U R 0 U 联立两式消去u c 得到

CR ⋅ du 0 + 2

u + 2 u = 0

对该式进行拉氏变换得

2R 1 dt

R

R 1

故此传递函数为

CR sU 2R 1 (s ) + 2 U R i (s ) +

2

(s ) = 0 1

U 0(s ) = -

U i (s ) 4R 1 R (RCs + 4)

(c)C

du c + u c - u 0 + u c = 0 ，且 u i = - u

c ，联立两式可消去u 得到 dt

R 1 / 2

R 1 / 2

R

R 1 2

CR 1 ⋅ du i + 2u 0 + 2u i = 0

对该式进行拉氏变换得到

2R dt R 1 R

故此传递函数为

CR 1

⋅ sU 2R i (s ) + 2 (s ) + 1

2 (s ) = 0 R i U 0(s ) = - R 1( R 1Cs + 4)

U i (s ) 4R

2-3 3 试求图2- T - 3中以电枢电压u a 为输入量，以电动机的转角θ 为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通φ = K f i f 恒定

Θ(s ) =

U a (s ) s ⎡

L

Js 2 + (L

f + R C m φ J )s + R

f + 60 C φC φ⎤

⎣

⎢ a a

a

a

2π

e

m

⎥⎦

2-4 4 一位置随动系统的原理图如图2- T - 4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中c 以表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中r 以表示）即为该

随动系统的参考输入两。电位器滑动触点间的电压差u e即是无惯性放大（器放大系数为K a）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I。电动机的角位移为 。

⎩ m ⎩ m

d

⎪ 2

解： C (s ) =

K A C m φ

R (s ) iL Js 3 + i (L f + R J )s 2 + i ⎛

R f + 60 C φC φ ⎫÷s + K C φ a a a

⎝

2π

e

⎭

A m

2-5

5 图 2- T- 5 所示电路中，二极管是一个非线性元件， 其电流 i d 与 u d 间的关系为

⎛ u d

⎫

i = 10-6 ⨯ e 0.026 -1÷ o 假 设 电 路 中 的 R = 103Ω ， 静 态 工 作 点 u 0 = 2.39V ， ⎝

⎭

i = 2.19⨯10-3 A 。试求在工作点(u ,i ) 附近i = f (u

) 的线性化方程。 0

0 0 d d

解：i d - 2.19⨯10-3 = 0.084(u d - 0.2)

2-6 6 试写出图2- T - 6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块m 1 、 m 2 受力分析可列出如下方程： ⎧

m

dv 1 = F (t ) + k ( y - y ) - f - k y

⎪ 1 dt ⎨

dv

2

2

1

1 1

代入v 1 =

dy 1

、v dt 2

⎪m 2

= dy 2 得 dt

2

= k 2 ( y 2 -

y 1 ) dt

⎧ d 2 y 1 1

= F (t ) + k 2( y 2 - y 1) - dt

⎨ d 2 y

f - k 1y 1 ⎪m 2

2 dt 2

= k 2( y 2 - y 1)

2-7 7 图 2- T - 7为插了一个温度计的槽。槽内温度θ为i ，温度计显示温度为θ 。试求传递函数

Θ(s ) （考虑温度计有贮存热的热容

C 和限制热流的热阻R ）。 Θi (s )

解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

对上式进行拉氏变换得到 C

d θ dt = θi -θ R

则传递函数为

a