(完整版)实验五用matlab求二元函数的极值

实验五 用matlab 求二元函数的极值
1．计算二元函数的极值
对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =.
步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点.
步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数
22222,,.z z z A B C x x y y ∂∂∂===∂∂∂∂ 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是
极值点,当0>A 为极小值, 0<A 为极大值;如果02=-B AC ,需进一步判断此驻点是否为
极值点; 如果02<-B AC 则该驻点不是极值点.
2．计算二元函数在区域D 内的最大值和最小值
设函数),(y x f z =在有界区域D 上连续，则),(y x f 在D 上必定有最大值和最小值。

求),(y x f 在D 上的最大值和最小值的一般步骤为：
步骤1. 计算),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；
步骤2. 计算),(y x f 在D 的各个边界线上的最大值和最小值；
步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D 内的最大值和最小值。

3．函数求偏导数的MATLAB 命令
MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。

可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息
例1 求函数
32824-+-=y xy x z 的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>diff(z,x)
>>diff(z,y)
结果为
ans =4*x^3-8*y
ans =-8*x+4*y
即
.
4
8
,
8
43y
x
y
z
y
x
x
z
+
-
=
∂
∂
-
=
∂
∂
再求解方程，求得各驻点的坐标。

一般方程组的符号解
用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。

求解方程的MATLAB代码为：
>>clear;
>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')
结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>A=diff(z,x,2)
>>B=diff(diff(z,x),y)
>>C=diff(z,y,2)
结果为
A=2*x^2
B =-8
C =4
由判别法可知
)2
,4
(-
-
P和)2,4(
Q都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，
)2
,4
(-
-
P和)2,4(
Q是函数的最小值点。

当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。

>>clear;
>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;
>>[X,Y]=meshgrid(x,y);
>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;
>>mesh(X,Y,Z)
>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
结果如图16.5.1
图16.5.1 函数曲面图
可见在图6.1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.
>>contour(X,Y,Z, 600)
>>xlabel('x'),ylabel('y')
结果如图16.5.2
图16.5.2 等值线图
由图16.5.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值
点
)2
,4
(-
-
P和)2,4(
Q.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且
指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点
)0,0(
Q周围没有等高线环绕,
不是极值点,是鞍点.
例２求函数
xy
z=在条件1
=
+y
x下的极值..构造Lagrange函数
)1
(
)
,
(-
+
+
=y
x
xy
y
x
Lλ
求Lagrange函数的自由极值.先求L关于
λ,
,y
x的一阶偏导数
>>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,k)
得
,1
,
,-
+
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
=
∂
∂
y
x
L
x
y
L
y
x
L
λ
λ
λ
再解方程
>>clear; syms x y k
>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')
得
,
2
1
,
2
1
,
2
1
-
=
=
=λ
y
x
进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.
例3抛物面
2
2y
x
z+
=被平面1
=
+
+z
y
x截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长
与最短距离.
这个问题实际上就是求函数
2
2
2
)
,
,
(z
y
x
z
y
x
f+
+
=
在条件
2
2y
x
z+
=及1
=
+
+z
y
x下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数
)1
(
)
(
)
,
,
(2
2
2
2
2-
+
+
+
-
+
+
+
+
=z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Lμ
λ
求Lagrange函数的自由极值.先求L关于
μ
λ,
,
,
,z
y
x的一阶偏导数
>>clear; syms x y z u v
>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);
>>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,z)
>>diff(l,u)
>>diff(l,v)
得
μλμλμλ+-=∂∂++=∂∂++=∂∂z z L y y y L x x x L 2,22,22
1,22-++=∂∂-+=∂∂z y x L z y x L μλ
再解方程
>>clear;
>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')
得
.32,231,33117,3353μ=±-==±-=±-=z y x μλ
上面就是Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。

由于所求问题存在
最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集
}1,:),,{(22=++=+z y x z y x z y x ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由
359.)32,231,231(μμ=±-±-f 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为359+，最短距离为359-。

习题16-5
1.求
1444+-+=xy y x z 的极值，并对图形进行观测。

2.求函数()222,y x y x f +=在圆周
122=+y x 的最大值和最小值。

3.在球面
1222=++z y x 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。