临界问题分析法

临界问题分析法
临界问题的分析方法
孟德飞
纵观近年来各省高考物理试题，不难发现，各省都越来越重视考查学生对解决物理问题方法的掌握情况。

例如，物理模型法、整体法与隔离法、等效法、图像法、临界问题分析法等。

在问题练习中，同学们要重视解题过程的思维方法训练。

如果同学们能够熟练掌握各种解题方法的特点和技巧，对物理学习就起到事半功倍的效果。

透析近年的高考考题，本文就解决常见的临界问题解题方法进行分析和总结。

临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点。

临界问题的分析对象正是临界状态。

与临界状态相关的物理条件则称为临界条件。

临界条件是解决临界问题的突破点，在物理解题中起着举足轻重的作用，解答临界问题的关键是找准临界条件。

临界条件一般是隐藏着的，需要同学们仔细分析题目才能找出来。

但它也有一定规律:题干含有“恰好”、“刚好”、“最小”、“最大”、“至少”、“最多”
的词语认真分析找等词语时，该问题一般是临界问题。

审题时，要抓住这些关键
出临界条件。

临界问题一般解题模式为:1.找出临界状态及临界条件;2.列出临界点的规
3.解出临界量;
4.分析临界量列出公式。

律;
下面就一些典型试题进行分析总结:
一、动力学中的临界问题分析方法
动力学中的临界问题比较普遍，例如“物体恰好离开地面”、“物体速度达到
最大值时”、“绳刚好碰到钉子”、“物体刚好通过最高点”、“两物体刚好不
相撞”、“物体刚好滑出小车”等就是一些题目中常见的临界状态。

相对应的临界条件应该为:
临界状态临界条件物体恰好离开(不离开)地面物体不受地面的支持力
物体速度达到最大值时物体所受合力为零
绳刚好碰到钉子(绳拉物体做圆周运动) 半径突然变小
物体刚好通过最高点只有重力提供向心力
两物体刚好不相撞两物体接触时速度相等或者最终速度相等物体刚好滑出小
车物体滑到小车一端时与车的速度刚好相等
例题1. 一条不可伸长的轻绳跨过质量可忽略不计的定滑轮，绳
的一端系一质量M=15kg的重物，重物静止于地面上。

有一质量
m=10kg的猴子，从绳的另一端沿绳向上爬，如图所示。

不计滑轮摩擦，在重物
不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为2(g=10m/s)( ) 22A. 25 m/s B.
5 m/s 22C. 10 m/s D. 15 m/s
T
解题方法分析:本题是典型的临界问题，关键词为“在重物不离开地面的条件下”，临界条件为:物体M不受地面的支持力。

这是问题的突破点。

以重物为研究
对象，受力分析如图所示，据物体受力平衡，求出绳子拉力T=Mg,再对猴子进行受
力分析，依据牛顿第二定律可列出公式求解求解。

选择B答案。

Mg
例题2. 如图所示，一个质量为m的物体固定在劲度系数为k的轻弹簧右端，轻弹簧的左端固定在竖直墙上，水平向左的外力推物体把弹簧压缩，使弹簧长度被12压缩了b，弹性势能为E。

已知弹簧被拉长x时弹性势能的大小，求在下
E,kx2述两种情况下，撤去外力后物体能够达到的最大速度,
(1)地面光滑。

F (2)物体与地面的动摩擦因数为µ。

解题方法分析:从本题的关键词“最大速度”可以看出本
题是一个临界问题，据分析，临界条件应为:物体所受合力为零。

据运动学规律，当物体所受合力为零，或者势能全部转化为动能时，物体具有最大速度。

因此，当地面光滑时，物体不受摩擦力，最开始只有弹性势能，据机械能守恒定律，当弹性势能全部转化为动能时，物体此时具有最大速度;当物体与地面的动摩擦因数为µ时，此时受到滑动摩擦力，当滑动摩擦力与弹簧弹力相等时物体具有最大速度。

O 例题3. 如图所示，长度为L的轻绳的一端系在天花板上的O点，另一端系一个质量为m的小球，将小球拉至水平位置无初速释
放。

在O点正下方的P点有一颗很细的钉子。

小球摆到竖直位置P 时，绳子碰到钉子后，小球的角速度、向心力将会如何变化,
解题方法分析:本题的关键词为“绳碰到钉子后”，临界状态为“绳碰到钉子时”。

据此临界状态，可以分析出此时圆周运动的半径r突然变小。

因为这一瞬间线速度大小不变，
2uu但半径突然变小，因而据及可知，角速度与向心力都突然变大。

,,Fm,nrr 例题4. 如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。

一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。

要求物块恰能通过圆形轨道最高点,求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h。

解题方法分析:本题是一个类“绳”问题，是高中物理
中非常重要的题型。

本题的突破口是“物块恰能通过圆形轨
道最高点”，这句话说明了此过程的临界状态。

因而，据竖直
平面内的圆周运动规律，相应的临界条件为:只有重力提供
2u向心力，即=mg。

根据该临界条件，则有，可求Fmgm,nr
出u,此即最高点的速度，再根据机械能守恒定律可求出h。

例题5. 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m 和2m,当两球心间的距离大于L(L远大于2r)时，两球之间无相互作用力。

当两球心间的距离等于或小于L时，两球间存在相互作用恒
定的斥力F。

设A球从远离B球处以速度沿两球心连v0
线向原来静止的B球运动，如图所示，欲使两球不发生
接触，求必须满足的条件。

v0
解题方法分析:本题的临界状态是:两球不发生接触。

要使两球不接触，则两球接触时速度相等或者最终速度相等。

因而临界条件是:两球接触时速度相等或者最终速度相等。

即
vv,v0AB。

据此条件，则可根据动量定理求出速度
例题6.如图所示，质量 M,4 kg的木板长为L,1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静置一质量m,1kg的小滑块(可近似看作质
点)，滑块与木板间的动摩擦因数μ,0.4，现用一水平
恒力F,28 N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下
来，力F至少应作用多长时间,
解题方法分析:该题的临界状态是“滑块从木板上恰好滑下来”。

在恒力F的作用下木板的速度必大于滑块的速度，撤去F后，若两者速度恰好能够相等，则此时滑块刚好下滑。

因而，此问题的临界条件是:物体滑到小车另一端时与小车的速度恰好相等，且滑块位移为L。

即,且滑块位移S,L,根据这两个临界条件就可列式求解。

u,uMMm
二、电磁学中的临界问题分析方法
电磁学中的临界问题也是比较常见的，但要解决电磁学中的临界问题一般要用到动力学中的相关知识。

例如“粒子刚好飞出匀强电场”、“ 粒子刚好飞出磁场”、“圆形磁场区的半径最小”、“物体刚好通过最高点”、“两物体刚好不相撞”、“ 两个物体的距离最近”等。

针对这些题目中常见的临界状态，必须找出相对应的临界条件:
临界状态临界条件粒子刚好飞出匀强电场粒子运动轨迹与极板相切粒子刚好飞出磁场粒子运动轨迹与磁场边界相切圆形磁场区的半径最小磁场区是以公共弦为直径的圆物体刚好通过最高点粒子的合力提供向心力
两物体刚好分离两物体接触时无作用力
两个物体的距离最近物体滑到小车一端时与车的速度刚好相等
例题1. 如图所示，带电粒子以平行于极板的速度从左侧中央飞入匀强电场，恰能从右侧擦极板边缘飞出电场(重力不计)，若粒子的初动能变为原来2倍，而仍能擦极板边缘飞出，可采用的措施为( )
A(将板的长度变为原来的2倍
B(将板之间的距离变为原来的的2倍
C(将两板之间的电压变为原来的2倍
D(以上措施均不对
解题方法分析:本题的临界状态是:带电粒子从右侧擦极板边缘飞出。

带电粒子的运动类似于平抛运动，本题带电粒子只受电场力，可用平抛运动的规律来计算。

因而临界条件是:粒子轨迹与一端极板边缘刚好相接触，另一端粒子运动轨迹与极板相切。

即竖直方向分运动和水平方向分运动的运动时间t相等。

答案为C.
例题2. 在边长为a的等边三角形ABC区域内有一匀强磁场，磁感应强度为
B，方向垂直纸面向里，一带正电的粒子质量为m，电量为q，由BC边中点O沿平行于AB的方向射入磁场，速度大小为，忽略粒子的重力.若粒子刚好垂直AB边v0
飞出磁场，求粒子在磁场中的运动时间;
解题方法分析:该问题的突破点在于:粒子刚好垂直AB边
飞出磁场。

这句话告诉了问题的临界状态，相应地可以找到解
决该问题的临界条件:轨迹方向与磁场边界相垂直。

即与ABv0
边垂直，如右图所示。

粒子仅在洛仑兹力作用下在磁场内做匀
速圆周运动，洛仑兹力提供了向心力。

例题3.如图所示，位于水平面的两条平行导轨，间距为L，电容器的电容为C，充电后电压为U，所有电阻为R，棒质量为m，它与导轨间的摩擦不计，整个回
路处在磁感强度为B的均匀磁场中;当开关S闭合后，ab棒由静止开始向右滑动。

求ab棒的速度最大值。

解题方法分析:电磁学中，求物体运动的速度最大
值是一类非常典型的题目。

本题的临界状态是:ab棒的
最大速度。

棒开始做加速度逐渐减小的运动，因此速度
在其临界点有最大值。

因而，临界条件即为:电容器电
压等于金属棒切割磁感线产生的电动势。

例题4.如图所示，将倾角为θ的足够长的光滑斜
面放置在一个范围足够大的磁感应强度为B、磁
场方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一个质量为m，B 带电量为-q的带电物体置于斜面上由静止开始下
滑。

求物体在斜面上滑行的距离。

m
解题方法分析:当物体往下滑时，速度越来越大，木 ,
块受到的洛伦兹力也越来越大。

当达到一定速度时，洛伦
兹力F与重力的分力相等,两物体接触时无作用mgcosa
力.此即为临界条件，本题正是从此处入手。

图3—
32
以上列举分析了动力学和电磁学中一些非常典型的临界问题。

从以上题型可以看出，对于动力学和电磁学的临界问题，关键在于找到临界状态，并据此分析出问题的临界条件，再依据临界条件列出此状态下所满足的物理规律和公式，然后求
解。

对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，找出隐蔽的临界条件，问题就变得非常简单。

在热学和光学中也有一些临界问题，希望同学们在以后的学习中多实践、多总结。