高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.

3.1.1 实数系

3.1.2 复数的概念

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．－(2－2i)的虚部是( )

A．－2 B．－ 2

C. 2 D．2

【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，

∴其虚部是 2.

【答案】 C

2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则

( ) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}

C．R＝C∩I D．R∩I＝∅

【解析】复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D.

【答案】 D

3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )

【导学号：05410061】A．－2＋i B．2＋i

C．1－2i D．1＋2i

【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.

【答案】 B

4．下列命题中，正确命题的个数是( )

①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A．0 B．1

C．2 D．3

【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；

对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；

③是假命题，如12＋i 2

＝0，但1≠0，i≠0.

【答案】 A

5．复数i －2的虚部是( )

A ．i

B ．－2

C ．1

D ．2 【解析】 i －2＝－2＋i ，因此虚部是1.

【答案】 C

二、填空题

6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.

【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.

【答案】 －3

7．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________．

【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.

【答案】 3－3i

8．有下列说法：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；

③1－a i(a ∈R )是一个复数；

④纯虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；

⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．

其中正确的有________(填序号)．

【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i 4－1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．

【答案】 ①②③⑥

三、解答题

9．已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．

【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.

(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．

(2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数．

(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1，

所以m ＝－1时，z 是纯虚数．

10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2

＋m －2)i}，P ＝{－1,1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．

【解】 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，

即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.

由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，

得⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，

得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2

－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.

综上可知，m ＝1或m ＝2.

[能力提升]

1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为(

) A ．－7 B ．－17

C ．7

D ．－7或－17

【解析】 ∵复数z 是纯虚数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－35＝0，

cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.

∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.

∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－1

1－34

＝－7，故选A.

【答案】 A

2．已知关于x 的方程x 2

＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z ＝( )

A ．3＋i

B ．3－i

C ．－3－i

D ．－3＋i 【解析】 由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，

即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1，

所以z ＝3－i.

【答案】 B

3．设复数z ＝1m ＋5

＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是__________. 【导学号：05410062】

【解析】 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，

解得m ＝3.

【答案】 3

4．如果log 12(m ＋n )－(m 2

－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值．

【解】 因为log 12

(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而

有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，log 12m ＋n >－1， ①②

由①得m ＝0或m ＝3，

当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；

当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾．

综上可得，m ＝0，n ＝1.