福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟(期中)数学(文)试题Word版含解析

莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】Q={x∈R|﹣2＜x＜3}，
则P∩Q={1，2}．故选B．
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2. 已知是实数，是纯虚数，则（）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】为纯虚数, ,故选A.
3. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由,是的必要不充分条件，故选B.
4. 执行如图的程序框图，若输入的为5，则输出的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,故选C .
5. 已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意知圆心到渐近线的距离等于,化简得,解得
,故选A.学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...
6. 若实数，满足不等式组则的最小值为（）
A. 2
B. 3
C.
D. 14
【答案】A
【解析】作出不等式组表示的可行域，则在点处取到最小值，
，所以最小值为2，故选A.
7. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）
A. 2
B.
C. D.
【答案】D
【解析】该几何体是一个底面半径和高都是2的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为
,故选D.
8. 对于函数（、、），选取、、的一组值计算、，所得出的正确结果可能是（）
A. 2和1
B. 2和0
C. 2和-1
D. 2和-2
【答案】B
【解析】为定义域上的奇函数，所以,所以
,故选B.
9. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）
A. 多斤
B. 少斤
C. 多斤
D. 少斤
【答案】D
【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列,则
,由等差数列的性质得，
,故选D.
10. 已知点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，则的最小值为（）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线；为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知，.故可知。

故本题正确答案为C.
11. 已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数
（）
A. 有一个对称中心
B. 有一条对称轴
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
【答案】B
【解析】由题，平移后得到的函数是，其图象过点,，因为，，,故选B.
点睛：本题考查的是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.
12. 已知函数（），若存在，使得成
立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,设，则存在，使得成立，即成立.所以恒成立，所以
成立又当且仅当即取等号.所以,故选C.
点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知点在直线：上，则__________．
【答案】
【解析】由条件得,两边平方得，所以.
14. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，点为边上一点，且，则的面积为__________．
【答案】6
【解析】由正弦定理得，可得，从而
15. 在三棱锥中，平面，，，，
为棱上一个动点，设直线与平面所成的角为，则不大于的概率为
__________．
【答案】
【解析】因为,所以,在等腰中，易知当或
时，，所以
16. 已知向量，（，），若，则的最小值为__________．
【答案】9
【解析】由题意,即,所以
等号成立当且仅当,即
，故的最小值为9.
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于根据,作1的代换有
.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 设数列的前项和，数列满足. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（1）（）（2）
【解析】试题分析：第一问，由求需要分2步：当时和时，在解题的最后需要验证2步是否可以合并成一个式子；第二问，先利用对数式的运算化简的表达式，根据表达式的特点，利用裂项相消法求数列的前n项和.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
由得（），
（），
又也符合，
（）.
（Ⅱ）
，
.
18. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组，第二组，…，第五组，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为.
（Ⅰ）求的值，并求这50名同学心率的平均值；
（Ⅱ）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.
参考数据：
参考公式：，其中
【答案】（1）；心率平均值为63.7（2）有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关
【解析】试题分析：（1）求出各组的频数，即可求a的值和50名同学的心率平均值．（2）列出二联表，代入公式求做出判断即可.
试题解析：
（Ⅰ）因为第二组数据的频率为，故第二组的频数为
，所以第一组的频数为，第三组的频数为20，第四组的频数为16，
，故.
第五组的数为4.所以
这50名同学的心率平均值为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有名，故列联表补充如下.
所以，
故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.
19. 如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）请作出点在平面上的射影，并说明理由.若，，求三棱锥
的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：(1)要证平面,只需证明与平面内的两条相交直线
垂直,利用直线与平面垂直的判定定理证明即可;
(2)利用求体积即可.
试题解析：（Ⅰ）证明：
如图，为正三角形，且为的中点，
.
又为的中点，
，
，
又已知，
平面，，
又，，
平面.
（Ⅱ）如图，过点作于，
由（Ⅰ）可知，平面，，
又，，
平面，
即为点在平面上的射影.
在直角中，设，则，，
，
由得，
解得.
，，，
，
故三棱锥的体积为.
20. 已知平面内一动点与两定点和连线的斜率之积等于.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线：（）与轨迹交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.
【答案】（1）（）（2）
【解析】试题分析：（1）设点的坐标列式，即可求椭圆E的方程；
（2）首先设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=x+m代入椭圆方程根据韦达定理与判别式求出x1+x2、x1x2和m2的范围，进而求出|AB|，设AB中点，求出和的坐标即可得到到
的距离，可得，可求出三角形面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）设的坐标为，
依题意得，
化简得轨迹的方程为（）.
（Ⅱ）设，，
联立方程组化简得：,
有两个不同的交点，
由根与系数的关系得，，
，即且.
设、中点为，点横坐标，，
，
线段的垂直平分线方程为.
点坐标为.
到的距离，
由弦长公式得，
，
当且仅当即时等号成立，
.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
21. 设函数，（）.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式
有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当时，的单调增区间为；时，的单调增区间为. （2）存在，最小值为0
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导函数，原函数的单调增区间即为使导函数大于零的区间，根据导函数分段讨论的不同取值范围时的单调增区间即可.
（Ⅱ）单调递增，存在唯一，使得，即
，当时，，当时，，所以
求得的范围，得到的范围，得到最小整数值.
试题解析：（Ⅰ）
（）
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
综上所述，
当时，的单调增区间为；
时，的单调增区间为.
（Ⅱ）当时，，，，
，
所以单调递增，
所以存在唯一，使得，即，
当时，，当时，，
所以
，
记函数，则在上单调递增，
所以，即，
由，且为整数，得，
所以存在整数满足题意，且的最小值为0.
点晴:本题主要考查导数的单调性，导数与极值点、不等式等知识. 解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求圆的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.
【答案】（1）为参数（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆的参数方程．
（Ⅱ）解法一：设，得代入
整理得，令。

则问题得解
解法二：由（Ⅰ）可得，设点可得
，可得，再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，即为圆C的普通方程．
所以所求的圆C的参数方程为(为参数)
（Ⅱ）解法一：设，得代入整理得
(*)，则关于方程必有实数根
∴，化简得
解得，即的最大值为11.
将代入方程(*)得，解得，代入得
故的最大值为11时，点的直角坐标为.
解法二：由（Ⅰ）可得，设点,
, 其中，，当时，，
此时，,即，所以，
点的直角坐标为.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式不恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据绝对值的零点分三种情况讨论，可求得f（x）≤6的解集．
（2）由绝对值的意义可得，f（x）的最小值为4，再由，求得a的范围．试题解析：（Ⅰ）不等式，即，可化为
①或②或③
解①得，解②得，解③得，
综合得，即原不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
当且仅当时，等号成立，即，
又关于的不等式不恒成立，则，
解得或，
即实数的取值范围为.。