离散数学复习提纲(1-4章)

离散数学复习提纲

第一章 命题逻辑

1．（P ∨Q ）→（⌝Q ∧R ）的主合取范式和主析取范式。

2．试求下列公式的主析取范式：

（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨

（an: ))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()(

))(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=

)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=

)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解

)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=

)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）

3．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？

（1）（P ∧⌝P ）↔Q

（2）⌝（P →Q ）∧Q

（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

(an: 解：

（1）真值表

)

（2

因此公式（2）为恒假。

（3

因此公式（3）为恒真。

4．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P

法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，

所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。

法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：

①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假

②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假

根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。）

5．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）

（an: 1、证明：

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）

=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）

=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）

=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R

=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）

=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）

= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R

=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R

= 1 ∨⌝P ∨R

= 1

（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）

=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））

=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））

=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））

=1）

6．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨⌝∨⌝,,}蕴涵S P →

(an: 证明：

（1）Q P ∨⌝ 规则P

（2）Q P → 规则Q （1）

（3）R Q ∨⌝ 规则P

（4）R Q → 规则Q （3）

（5）R P → 规则Q （2）（4）

（6）R →S 规则P

（7）P →S 规则Q （5）（6） )

7．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →

（an: 、证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为

) （1）A 规则D

（2）A ∨B 规则Q （1）

（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P

（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）

（5）D 规则Q （4）

（6）F D ∨ 规则Q （5）

（7）E F D →∨)( 规则P

（8）E 规则Q （6）（7）

（9）E A → 规则Q （1）（8））

8．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P

（an: （1）┐Q ∨R

（2）┐R

（3）┐Q

（4）┐（P ∧┐Q ）

（5）┐P ∨Q

（6）┐P ）

9．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：

（1） 若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案；

（2） 若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案；

（3） 若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案；

（4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。

办案人员由此得出结论：甲是作案者。这个结论是否正确？为什么？

（an: 解：对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则

办案人员的推理如下：

前提：

1) ⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4

2) ⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2

3) P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)

4) P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)

结论：P1。

(⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4) ∧ (⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2) ∧ ( P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)) ∧ ( P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)) → P1

不是永真式，比如：

P1取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假

所以P1不是前提的有效结论，

所以甲是作案者的结论是错误的)

课后习题：

p8：1，5

p19：7

p23：6，7，8

p39：4

p47：4，5

第二章 谓词逻辑

1．设个体域D={1，2，5}，F （x ）：x ≤2，G （x,y ）：x ≥y, 消去

（∀x ）(F(x)→（∃y ）G(y,x)) 中的量词，并讨论其真值。

2．所有的主持人都很有风度。李明是个学生并且是个节目主持人。因此有些学生是很有风度。请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。（个体域：所有人的集合）

3．设是x x M :)(数，x y x L :),(小于y ，将“不存在最小的数。”符号化。

（an: ))),()()()()((y x L y M x M y x →∧∀∃⌝）

4．利用一阶逻辑的基本等价式，证明：

（∀x ）（∀y ）（F （x ）→G （y ））=（∃x ）F （x ）→（∀y ）G （y ）

(an: ∀x ∀y （F （x ）→G （y ））=∀x （F （x ）→∀y G （y ））

= ∀x （⌝F （x ）∨∀y G （y ））

= ∀x （⌝F （x ））∨∀y G （y ）

= ⌝∃xF （x ）∨∀y G （y ）

= ∃xF （x ）→∀yG （y ）)

5．（∀x ）（F(x) →┐A(x)），（∀x ）（A(x)∨B(x)，（∃x ） ┐B(x)蕴涵 （∃x ） ┐F(x) （an: （1）∃x ┐B(x)