七年级数学上册2.1代数式教案沪科版(2021-2022学年)

2.1 代数式
第1课时用字母表示数
1．字母表示一些简单问题中的数量关系,学会规范书写用字母表示的数量关系，培养学生的符号意识．
2.经历把问题情境中的数量用含字母的式子表示的过程,体会用字母表示数的作用和意义.
3．在用字母表示数量关系的过程中感受从具体到一般的归纳思想.
重点
体会用字母表示数的意义，经历探索规律的过程.
难点
对字母表示数的一般意义的理解；探究规律的过程及方法．
一、创设情境,导入新知
数字游戏：随便想一个自然数，将这个数乘5减７,再把结果乘２加14,无论开始想的自然数是什么，按照上面的计算方法得到的数的个位数字一定是0,你相信吗？给予学生讨论的时间，让他们自己来实践一下,验证这一游戏的正确性，然后提出一个设问:你知道这是为什么吗？我们学习了这一课时后就知道了．（感受用字母表示数的优越性,从而引入课题)
二、自主合作,感受新知
阅读课文并结合生活实际,完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分.
三、师生互动，理解新知
探究点:用字母表示数
问题１:２0０８年9月２5日，我国成功发射了“神舟七号"载人飞船．它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周,历时约68 ｈ．试求：
（１)该飞船绕地球飞行一周约需多少分?
（2）该飞船绕地球飞行ｎ周约需多少分？
学生口答完后,教师指明用含有字母n的式子表示飞行时间的数量关系.
问题2:能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数,如果用k表示任意一个整数,用含有k的代数式表示：(1）任意一个偶数;(2)任意一个奇数.
整数：…-3 -2 -10１ 2３… k…
偶数：…-6 －4 －20 2 ４６… () …
奇数:…－7 －５－3-１ 01 3 5 … （）…
学生思考并举手回答.
教师通过探究,我们发现字母可以表示任何一个数.
问题３：(1)如图所示,用长方形框任意框出月历中的三个数之间有什么关系?请用一个等式表示这个关系.
ﻬ
（2)如图所示，若用正方形框任意框出月历中的四个数，我们又能用什么等式表示呢?
学生观察、探究并写出结果.
总结:从上面的例子可以看到,用字母表示数,可以把一些数量关系抽象化，为我们解决问题带来方便.用字母表示数是代数的一个重要特点,小学里已接触过用字母表示数,初中将进一步研究用字母表示数.
四、应用迁移,运用新知
１.用字母表示数
例1 填空:
（1）小丽去鲜花店买花,她买n枝玫瑰花，每一枝ａ元，ｍ枝康乃馨,每一枝ｂ元,则她共需付＿_＿___;
（2）如果a表示一个自然数,那么它的下一个自然数是____＿_.
解析：（1）应付钱数＝每一枝玫瑰花的单价×枝数＋每一枝康乃馨的单价×枝数；(２)下一个自然数应该比它大1。

所填答案为(１）(an+ｂm）元;（2)a＋1。

方法总结:用字母表示数书写要规范,后需带单位时要使用括号.
２.用字母表示运算律和公式
例2用字母表示下列法则、运算律：
(1）有理数的减法法则;(2)分数加法法则;（3)乘法分配律．
解析:回忆法则,把握内涵,用字母表示出来.
解:(1）a-b＝a+(-b);
(２)错误!未定义书签。

＋错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

；错误!＋错误!未定义书签。

＝错误!＋错误!＝错误!(ａ≠０，d≠0)；
(３)ａ(b＋c）=aｂ+ａc.
方法总结:用字母表示运算法则时要注意运算律的含意,并用字母表示某些数的特定取值范围.
3．用字母表示代数型的数量关系
例3 用字母表示下列问题中的数量关系：
(１)在运动会中,一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的错误!未定义书签。

还多５分，则二班的总成绩为__＿___;
（2）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案:将原来每件ｍ元,加价50％,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%．经过两次降价后的价格为____＿_元．
解析：（1）二班的总成绩＝错误!未定义书签。

m＋5;(2)根据题意得ｍ（1＋５0%)(1－3０%)(1－10%)＝0．94５m（元).
方法总结：解题时,要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系,如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量的运算顺序，正确使用运算符号及括号.
4．用字母表示几何图形中的数量关系
例4用字母表示图中阴影部分的面积：
(１） (２）解析：(1）图中阴影部分是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是错误!；(２）图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为ａ,宽为b，小正方形的边长为x.
解:（1)S＝a2-π·(错误!)2；（２)S＝aｂ－4x２.
方法总结:将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等）的面积的和或差是解决此类面积问题的关键．
五、尝试练习,掌握新知
课本P５7～5８练习第1~4题.
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分.
六、课堂小结,梳理新知
引导学生回答如下问题:本节课学习了哪些基本内容?学习了什么数学思想方法?应注意什么问题?
这节课我们通过活动探索规律,得出规律,并用含字母的式子表示出来,使我们知道:用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,也可以简明地表达数字和公式，这样给我们研究问题带来很大的方便．
七、深化练习，巩固新知
第２课时代数式
1．掌握代数式的概念,并了解代数式的书写注意事项.
2．能分析文字语言表述的数量关系，并会列代数式表示.
3．能用文字语言从不同角度说明一些简单代数式表示的意义.
4.进一步体会代数式是表示数量和数量关系的.
重点
用字母表示数的意义；能用代数式表示简单的数量关系.
ﻬ难点
正确理解题意，从中找出数量关系里的运算顺序并能准确地写成代数式．
一、复习旧知,导入新知
我们在前面学习了用字母表示数，你能完成下面的问题吗？
（1）黑板的长为a米，宽为b米,则它的面积为________米2，周长为_＿＿_____米；
(２）钢笔每支a元，铅笔每支b元，买2支钢笔和3支铅笔共需＿＿＿___＿＿元；
（3)某种食品的单价是16元/千克,则n千克需＿＿_＿_＿＿_元；
(4）爷爷的年龄是孙子的年龄的4倍,当爷爷a岁时，孙子的年龄是________岁．
做完后大家交流讨论，观察分析上述所列式子有何特征？它们是怎样构成的?你能用自己的语言描述它们的特征吗?
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分.
三、师生互动,理解新知
探究点一：代数式的意义及书写
上面出现的ａｂ,2(a＋b）,（2a＋３b),１６ｎ，错误!等,像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式.
交流讨论：下列各式中,你认为哪些是代数式？
①２mｎ-1;②S=错误!（a+b)h;③π；④b＋１＞a；⑤７;⑥错误!未定义书签。

；⑦a２+b2;⑧a(ｂ+c）=aｂ＋ａｃ。

(①③⑤⑥⑦是代数式)
归纳代数式的主要特征:（1)用基本的运算符号把数和字母连接而成；(2)单独的一个数或字母也是代数式;(3）代数式不能含有等号或不等号.
归纳总结代数式书写格式的规定:在含字母的式子里,字母与字母相乘时，“×"号通常省略不写或写成“·”.例如a×ｂ可以写成a·ｂ或aｂ;字母与数字相乘时,例如９1×n可以写成91n；数字与数字相乘时,一般仍用“×”号，也可以用“·”号,但要注意与小数点区分开；字母与字母相除时，例如s÷v记作错误!。

在字母和数字的乘积中，数字通常写在字母的左边．例如a×2b=２ab.
探究点二:列代数式
为解决问题常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来,也就是列代数式．
通过参照课本P5８例1、P59例2,学生小组讨论解决.
教师归纳:列代数式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等;
②理清语句层次明确运算顺序;
③牢记一些概念和公式．
探究点三:列代数式探求规律性问题
师生互动,完成课本Ｐ61“思考".
ﻬ四、应用迁移，运用新知
1.代数式的意义及书写
例１下列各式中,符合代数式书写要求的有( ）
（1)1错误!未定义书签。

ｘ2y；(2）a×3;(3)aｂ÷2;（4)错误!。

Ａ.４个 B．３个 C.2个 D．1个
解析:(１）正确的书写格式是错误!未定义书签。

x2ｙ，不符合要求;（2)正确的书写格式是3a,不符合要求;(3)正确的书写格式是错误!ab,不符合要求;(4)符合要求．所以符合代数式书写要求的共1个.
方法总结：代数式的书写要求：(１）在代数式中出现的乘号,通常简写成“·"或者省略不写；（2）数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面;(３）在代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式.
例2见课本P60例４．
２.列代数式
例３买1个足球需要ａ元,买１个篮球需要b元，则买2个足球和3个篮球共需要______＿_元.
解析：买１个足球需要a元,则买2个足球需要2a元；买1个篮球需要b元，则买3个篮球需要3b元,因此一共需要(2ａ＋3b)元．
方法总结:生活中的代数式主要有购物问题、销售问题、调配问题、面积问题等,所列代数式大多带有单位,表示和或者差的代数式带单位时需加括号.
例4见课本P6０例3.
3.列代数式探求规律性问题
例5观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
（1）依照此规律,第20个图形共有几个五角星?
(2)摆成第ｎ个图案需要几个五角星？
(3）摆成第2016个图案需要几个五角星?
解析:通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多３个五角星,根据此规律即可解答.
解：(1）因为第1个图中,五角星有3个(3×１）;第２个图中,有五角星6个(3×2）;第3个图中,有五角星９个(3×3);第４个图中，有五角星12个(３×4);所以第n个图中有五角星3n个.所以第2０个图中五角星有3×2０＝60（个）；
(2)由（1）可知摆成第n个图案需要3n个五角星；
(３）摆成第2０16个图案需要五角星2０16×3＝60４８(个）.
方法总结：此题首先要结合图形数出具体几个值．此题的规律为摆成第n个图案需要3ｎ个五角星.注意由特殊到一般的分析方法．
五、尝试练习，掌握新知
课本P59练习第１~4题、P60练习第1~4题.
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分.
ﻬ六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课主要学习了代数式的含义、特征以及如何利用代数式表示数量关系并解决生活中的实际问题;学习代数式时应注意书写代数式的规范性；表示代数式的意义时,实际问题中的字母和数要有意义,要符合实际意义;通过代数式的学习，初步体会数学模型的思想．并学会由特殊到一般、由具体到抽象的数学思想方法．
七、深化练习,巩固新知
课本P67习题2。

1第２、３、４、５题．
第3课时整式
1．理解单项式和多项式的概念，了解它与代数式之间的联系和区别.
２．会准确地确定一个单项式的系数和次数以及多项式的项和次数.
3．初步认识特殊与一般的辩证关系.
重点
理解单项式、单项式系数、次数及多项式的概念.
难点
识别单项式的系数与次数及多项式的次数．
一、复习旧知,导入新知
１.思考：
(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是__＿＿___＿，体积是___＿＿___;
(2）设n表示一个数，则它的相反数是＿__＿_＿__;
（3)一个两位数的十位上的数字是ａ,个位上的数字是b,则这个两位数是____＿___;
（4）一辆汽车的速度是v千米／时,行驶t小时所走过的路程为___＿__＿_千米.
2．观察所列式子包含哪些运算？有何共同的运算特征?
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《探究在线·高效课堂》“预习导学"部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一:单项式
1．单项式的概念
问题１:(1）４x；(2)2ｍｎ;（３)a2b;(4）-ｎ;
(5）错误!未定义书签。

ｍ;(６）70％x．
以上代数式的运算有什么共同特点？
请学生观察上述代数式包含哪些运算?有何共同运算特征?（由小组讨论后，经小组推荐人员回答,教师适当点拨）
共同特点:都表示数与字母的积． 问题2：什么叫做单项式？
归纳:只包含数和字母的积的代数式叫做单项式. 注意：单个的字母或数也是单项式.如a ,5。

2．单项式的系数和次数
问题3:以上单项式有什么结构特点?
学生回答,然后总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的．
问题4:以四个单项式错误!未定义书签。

ａ２
h ，２πｒ，ab ｃ，-n 为例,说出它们的数字因数和各字母的指数和分别是多少？
学生回答,教师总结：
单项式中的数字因数，叫做单项式的系数．
一个单项式中,所有字母的指数的和,叫做这个单项式的次数.
注意:（1)单项式的系数应包括它前面的符号,当系数是1或－１时，“1”通常不写． （2)字母的指数是1时，指数省略不写.如ｙ的指数是1而不是0. 探究点二:多项式 1.多项式的概念
问题5：(1)150-m ；(2）２ｒa +12
πr 2
；(３）100ｃ＋１0b ＋a .
请学生观察上述代数式有何共同特征？与单项式有什么关系？(由小组讨论后,经小组推荐人员回答，教师适当点拨.)
共同特点:这些代数式可以看成是由几个单项式的和组成的． 问题6：什么叫做多项式?
归纳：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式. ２．多项式的项和次数
教学策略：教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想.
多项式中:
每一单项式都叫做多项式的项. 不含字母的项叫做常数项．
多项式含有几项就叫做几项式．
次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数．
如：多项式15０－m 由150和－ｍ两项组成,１５0是常数项,１50-m 是一次二项式。

2ra ＋错误!未定义书签。

πr 2中有两项,最高次数是２,所以它是二次二项式．
注意:(1)多项式的次数不是所有的项的次数和. (2)多项式的每一项都应包括它前面的符号． 探究点三:整式
单项式和多项式统称整式．结合单项式和多项式的概念讨论分析错误!，错误!是整式吗？
结论:在研究单项式和多项式的概念时,我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算.错误!表示数字错误!未定义书签。

与字母x 的乘积，是一个单项式,所以错误!是整式．而错误!未定义书签。

是数字2与字母ｘ
ﻬ的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特点是字母不能作分母． 四、应用迁移,运用新知 1.确定单项式的系数和次数 例1 见课本P63例５.
方法总结:(1）当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写;单项式的系数是带分数时,通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号.(2）我们把常数项的次数看作０.确定单项式的次数
时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略,如－３x 3
y ,它的指数是4而不是３．(3)π是圆周率,是一个确定的数,不是字母.
2．单项式、多项式与整式的识别
例２ 指出下列各式中哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式?
ｘ2+y2,－x，错误!未定义书签。

，１0，6ｘy＋１,错误!,错误!m2ｎ，２x２-ｘ-５,错误!未定义书签。

,a7。

解析:根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解:错误!,错误!的分母中含有字母，既不是单项式,也不是多项式，更不是整式.
单项式有-x，１0,＼ｆ（１,7)m２n，a７;
多项式有x2＋y2，＼f(a＋b,3）,6xｙ+１,2ｘ2-x-5;
整式有x2＋y２,-ｘ,错误!未定义书签。

，10，6ｘｙ+1，错误!未定义书签。

m２ｎ，2ｘ2-x－5,a7.
方法总结:（１)分母中含有字母(π除外）的式子不是整式;(2)单项式和多项式都是整式;(3）单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算.
３.确定多项式的项和次数
例3 见课本Ｐ64例6.
方法总结:(1)多项式的项一定包括它的符号;（2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
4．根据多项式的概念求字母的取值
例４已知－５x m＋104ｘm-4xｍy2是关于x、ｙ的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
解析:根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋２＝6，解得m=４,进而可得此多项式．
解：由题意得ｍ＋2＝6,解得ｍ=4.此多项式是－５ｘ4+1０４x4－４x4ｙ2.
方法总结:此题考查了多项式,解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.
例5 若关于x的多项式－5x３-mx２+(n-１)x-1不含二次项和一次项，求m、n的值.
解析:多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解:∵关于x的多项式－5x３－mｘ２＋(n-1）ｘ－1不含二次项和一次项,
∴m＝０，n-１=0，则m=０，ｎ=1．
方法总结:多项式不含哪一项,则哪一项的系数为0。

五、尝试练习，掌握新知
课本P64练习第１~4题．
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分.
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法？
ﻬ本节课主要学习了单项式、多项式、整式的概念及单项式、多项式的次数及系数的概念．在列代数式的基础上自己推导并归纳各个概念的特征,加深对概念的理解，既为以后学习整式的运算奠定了基础,也锻炼了自己解决问题的能力.
七、深化练习,巩固新知
课本P67习题2.１第6题．
第4课时求代数式的值
１.会求代数式的值,感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.
２．会利用代数式求值推断代数式所反应的规律.
３．能理解代数式值的实际意义．
重点
会求代数式的值并解释代数式值的实际意义.
难点
利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
一、创设情境，导入新知
请四位同学到黑板前面来做一个传数游戏,第一个同学任意报一个数给第二个同学,第二个同学把这个数加１传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学,第四个同学把听到的数减去1报出答案．如果第一个同学报给第二个同学的数是5,第四个同学报出的答案是35，这个结果对吗？
传数程序:ｘ→ｘ＋１→（x+１)2→（x＋1)２-1→?
概括:我们只要按照传数程序做下去，不难发现,第四个同学报出的答案是正确的.实际上，这是在用具体的数来代替最后一个式子(x＋1)2－１中的字母x,然后算出结果．
由此得出什么结论？
学生交流回答:ｘ取不同的值,代数式(x＋1）2-１的计算结果也不同．
这就是我们这一节将要学习的代数式的值．
二、自主合作,感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际,完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动,理解新知
探究点:代数式的值
问题１:谁能根据自己的理解说明什么叫代数式的值?
(学生互相讨论后再回答）
教师归纳:一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.
问题２:由定义看，代数式的值与什么有关?
ﻬ学生思考很容易得出：与代数式中字母的取值有关.
问题3：想一想:代数式与代数式的值有什么区别和联系？
代数式表示一般性,代数式的值表示特殊性.两者之间的联系是:代数式的值是代数式解决问题中的一个特例．
问题４:在今后解决问题的过程中，往往需要根据代数式中字母的取值来确定代数式的值，你能根据代数式的值的概念找出求代数式的值的方法吗？
学生积极思考，合作交流，找出方法：一是代入,二是计算．
思考:（1)现在你能归纳求代数式的值有哪些步骤了吗?
求代数式的值的步骤：
①写出条件:当……时;
②抄写代数式；
③代入数值；
④计算．
（2)把代数式中的字母用负数代替时，或者用分数代替,且是求幂时,应该注意什么?
如果字母取值是分数,作乘方运算时要加括号;如果字母取值是负数,代入时要加括号．
四、应用迁移,运用新知
1．直接代入法求代数式的值
例1见课本Ｐ66例8。

方法总结:(1)代入时要“对号入座"，避免代错字母；（2)分数的立方、平方运算，要用括号括起来．
2.利用程序图求代数式的值
例2有一数值转换器,原理如图所示．若开始输入的x的值是5，则发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，……则第２０1６次输出的结果是＿____＿__.
解析：按如图所示的程序，当输入x＝５时,第1次输出5＋3＝8；当输入x＝８时,第２次输出
错误!未定义书签。

×8=4；当输入ｘ＝4时,第3次输出１２
×4=2；当输入x ＝2时,第4次输出错误!
×2=１；当输入x =1时,第5次输出1+3=4；则第6次输出错误!未定义书签。

×4=2，第7次输出
12
×2=1,…不难看出从第２次开始,其运算结果按4，2，1三个数排列循环出现．因为(2016-1）÷3=67１……2,所以第2016次输出的结果为2。

方法总结:这种程序运算的特点是程序有多个分支,要先对输入的数据进行判断,再选择适当的某个分支按照指明的程序进行运算．
３．整体代入法求值
例3 已知x -２ｙ＝3,则代数式６－2ｘ＋4ｙ的值为（ ) Ａ.0 B.－１ C ．-3 D ．3
解析:此题无法直接求出x 、y 的值,这时,我们就要考虑特殊的求值方法．根据已知ｘ－2y ＝3及所求6-2x ＋4y ,只要把6-2x +４y 变形后,再整体代入即可求解．因为ｘ－2y =3，所以6－2x
ﻬ＋4y =6-2(x －2ｙ)=６－２×3=0。

方法总结:整体代入法是数学中一种重要的方法，同学们应加以关注. 4．求实际问题中代数式的值 例4 见课本P65例7。

五、尝试练习，掌握新知 课本P66练习第1~3题．
《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分． 六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习,我们都学到了哪些数学知识和方法?
本节课学习理解代数式的值的概念和求代数式的值的步骤,以及求代数式的值步骤中需要注意什么．
七、深化练习,巩固新知
课本P6７~68习题２.1第7～1１题. ﻬ。