(新课标大纲解读)高考数学 重点 难点 核心考点全演练 专题08 数列

专题8 数列

2014高考对本内容的考查主要有：

(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查； (2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．

(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题． (5)求数列的通项公式及其前n 项和的基本的几种方法． (6)数列与函数、不等式的综合问题.

试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．

1．等差、等比数列的通项公式

等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q

n －1

＝a m q

n

－m

.

2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为

S n ＝n a 1＋a n 2

＝na 1＋

n n －2

d .

特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2

＋bn (a ，b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q

＝a 1－a n q

1－q ，q ≠1，

特别地，若q ≠1，设a ＝a 1

1－q

，

则S n ＝a －aq n

.

3．等差数列、等比数列常用性质

(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2

p ；

(2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且

S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n

为前n 项的和(n ∈N *

).

4．数列求和的方法归纳

(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和； (2)错位相减法：适用于{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列； (3)裂项法：求{a n }的前n 项和时，若能将a n 拆分为a n ＝b n －b n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝b 1－b n ＋1； (4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；

(5)试值猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于S n 不加证明；

(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求S n .例如对于数列{a n }：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，

a n ＋2＝a n ＋1－a n ，可证其满足a n ＋6＝a n ，在求和时，依次6项求和，再求S n .

5．数列的应用题

(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．

(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式.

考点1、等差、等比数列中基本量的计算

【例1】设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的和，满足：a 2

2＋a 2

3＝a 2

4＋a 2

5，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；

(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512. 【解析】解 (1)由{a n }是公差不为0的等差数列，

可设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 2

2＋a 2

3＝a 2

4＋a 2

5，

S 7＝7，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋d 2＋a 1＋2d 2

＝a 1＋3d

2

＋a 1＋4d

2

，

7a 1＋7×6

2d ＝7，

【规律方法】求等差、等比数列通项与前n 项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．

【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{}1＋S n 是公比为2的等比数列． (1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项；

(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为T n ，当n 为何值时，有T n ≤2 012?