高考一轮复习数学学案(新人教B版)第六章6-4数列中的构造问题《培优课》
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数列中的构造问题
数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容,主、客观题均可出现,一般通过构造新的数列求数列的通项公式.
题型一 形如a n +1=pa n +f (n )型
命题点1 a n +1=pa n +q (p ≠0,1,q ≠0)
例1 (1)数列{a n }满足a n =4a n -1+3(n ≥2)且a 1=0,则a 2 024等于( )
A .22 023-1
B .42 023-1
C .22 023+1
D .42 023+1
(2)已知数列{a n }的首项a 1=1,且1a n +1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为__________.
听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 a n +1=pa n +qn +c (p ≠0,1,q ≠0)
例2 已知数列{a n }满足a n +1=2a n -n +1(n ∈N +),a 1=3,求数列{a n }的通项公式. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 a n +1=pa n +q n (p ≠0,1,q ≠0,1)
例3 (1)已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=3a n +2·3n +
1,n ∈N +.则数列{a n }的通项公式为(
) A .a n =(2n +1)·3n B .a n =(n -1)·2n
C .a n =(2n -1)·3n
D .a n =(n +1)·2n
(2)在数列{a n }中,a 1=1,且满足a n +1=6a n +3n ,则a n =________.
听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 形式 构造方法
a n +1=pa n +q 引入参数c ,构造新的等比数列{a n -c }
a n +1=pa n +qn +c 引入参数x ,y ,构造新的等比数列{a n +xn +y }
a n +1=pa n +q n 两边同除以q n +1,构造新的数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n q n
跟踪训练1 (1)在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n .则数列{a n }的通项公式a n 等于( )
A .n ·2n -1
B .n ·2n
C .(n -1)·2n
D .(n +1)·2n
(2)(2023·黄山模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,(2+a n )·(1-a n +1)=2,设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,
则a 2 023(S 2 023+2 023)的值为( )
A .22 023-2
B .22 023-1
C .2
D .1
(3)已知数列{a n }满足a n +1=2a n +n ,a 1=2,则a n =________.
题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a n +1=pa n +qa n -1)
例4 (1)已知数列{a n }满足:a 1=a 2=2,a n =3a n -1+4a n -2(n ≥3),则a 9+a 10等于( )
A .47
B .48
C .49
D .410
(2)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且a n +1=2a n +3a n -1(n ≥2,n ∈N +).则数列{a n }的通项公式为a n =________.
听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 可以化为a n +1-x 1a n =x 2(a n -x 1a n -1),其中x 1,x 2是方程x 2-px -q =0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{a n -a n -1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{a n }.
跟踪训练2 若x =1是函数f (x )=a n +1x 4-a n x 3-a n +2x +1(n ∈N +)的极值点,数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,则数列{a n }的通项公式a n =________.
题型三 倒数为特殊数列⎝⎛⎭⎫形如a n +1=pa n ra n
+s 型 例5 (1)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=
a n 4a n +1
(n ∈N +),则满足a n >137的n 的最大取值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10
(2)(多选)数列{a n }满足a n +1=
a n 1+2a n (n ∈N +),a 1=1,则下列结论正确的是( ) A.2a 10=1a 3+1a 17
B.1{2}n a 是等比数列 C .(2n -1)a n =1 D .3a 5a 17=a 49 听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________
思维升华两边同时取倒数转化为
1
a n+1
=s
p·
1
a n
+r
p
的形式,化归为b n+1=pb n+q型,求出1
a n
的
表达式,再求a n.
跟踪训练3已知函数f(x)=
x
3x+1,数列{a n
}满足a1=1,a n+1=f(a n)(n∈N+),则数列{a n}的
通项公式为____________.。