2023年江苏省无锡市宜兴市中考一模数学试题-

2023年江苏省无锡市宜兴市中考一模数学试题
1．3的平方根是（）A ．B ．±3
C ．3
D
2．下列运算正确的是（）
A ．a 3+a 4＝a 7
B ．a 3•a 4＝a 12
C ．
（a 3）4＝a 7D ．（﹣2a 3）4＝16a 123．下列事件中，属于确定事件的是（）
①抛出的篮球会下落；
②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；
③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①②③
4．如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为（）A ．10
B ．10π
C ．20
D ．20π
5．下列命题中：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题．．．．．个数为（）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．正比例函数()0y kx k =≠的图象在第二、四象限，则一次函数y x k =-的图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，点()()0P a,a a ->，连接AP 交y 轴于点B ．若21AB BP :=:．则sin PAO ∠的值是（
）
A ．
1
3
B C ．
10
D ．
10
8．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，
A ．
B ．
C ．
D ．9．如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线4
y x
=-上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点
E ，使1
2
DE CD =
，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则BFC △的面积为（）
A ．2
B ．3
C ．
72
D ．4
10．如图，AB 是O
的直径，点C 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，2AD =，点E 是O 上的动点（不与C 重合），点F 为CE 的中点，若在E 运动过程中DF 的最大值为4，
则CD 的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7
2
11．分解因式：3x －x=__________．12．方程231x x -=的解是______．13．命题“对顶角相等”的逆命题是______．
14．请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线2x =-为对称轴，开口向上的抛物线：______．
15．小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩（次数/分钟）记录为：140，138，140，137，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是______．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，E 点为BC 边延长线一点，且3CE =．连接AE 交边CD 于点F ，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则DH =_________．
17．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是边AB 上的动点，连接ED 、EC ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EN ，将EC 绕点E 逆时针旋转90︒得到EM ，连接MN ，则线段MN 的取值范围为______
．
18．如图，二次函数213
442
y x x =
--的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，则ACB =∠______︒；M 是二次函数在第四象限内图像上一点，
连接MB 、MC ，当MBC 的面积最大时，点M 的坐标为______
．
19．（1
()3cos301π-︒+-︒（2）化简：
112a a b a b b a b a
-+-+
---20．（1）解不等式组()417714
12
4x x x x ⎧+≤+⎪
⎨---<⎪
⎩（2）已知2223M x x =-+，2434N x x =-+，请比较M 和N 的大小．
21．如图，在ABCD Y 中，E 是BC 边上一点，连接AE 、AC 、ED ，AC 与ED 交于点O ，AE AB =，求证：
(1)AC DE =．(2)OE OC
=22．
某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
中小学生每周参加家庭劳动时间x （h ）分为5组：第一组（0≤x <0.5），第二组（0.5≤x <1），第三组（1≤x <1.5），第四组（1.5≤x <2），第五组（x ≥2）．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h ，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．23．将分别标有数字1，2，4，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是______．
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回）
，再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
24．如图，ABC
内接于O ，AB 是直径，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，交O 于点E ，连接EB ，作EF BC ∥，交AB 的延长线于点F
(1)试判断直线EF 与O
的位置关系，并说明理由；(2)若9BF =，12EF =，求O
的半径和AD 的长．25．某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，
乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）
26．
（1）如图，已知A 是直线MN 外一点．用直尺和圆规作O ，使O 过A 点，与直线MN 相切于Q ，且45AQM ∠=︒．（请保留作图痕迹，不写做法）
（2）在（1）的条件下，若4AQ =，则O
的半径长为______，O 的内接AQT 的面积最大值为______．
27．如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =．点P 在AD 上运动（点P 不与点A 、D 重合）将ABP 沿直线翻折，使得点A 落在矩形内的点M 处（包括矩形边界）．
(1)求AP 的取值范围；
(2)连接DM 并延长交矩形ABCD 的AB 边于点G ，当2ABM ADG ∠=∠时，求AP 的长．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y ax bx =+-的图像经过点()1,0A -，
()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图像的顶点为D ，求直线BD 的函数表达式以及sin CBD 的值；(3)若点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合）
，点N 在线段BC 上（不与B 、C 重合），是否存在CMN
与AOC 相似，若存在，请直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义计算即可得到答案；
【详解】解：根据平方根的定义可知：
a=
∵23
∴a=
∴3的平方根是
故选A；
【点睛】本题考查了平方根，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题时需注意的事项是本题的解题关键．
2．D
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、a3•a4=a7，故错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意；
D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．
3．D
【分析】根据确定事件的定义，必然事件和不可能事件统称为确定事件，对事件进行判断即可．
【详解】①抛出的篮球会下落，此事件是必然事件，故此项正确；
②装有黑球、白球的袋中没有红球，所以不可能摸出红球，此事件是不可能事件，故此项正确；
③一年有12个月，14人中肯定至少有2人是同月出生，此事件是是必然事件，故此项正确；
④买一张彩票，中1000万大奖，有可能发生也有可能不发生，此事件是不确定事件，故此项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件的定义，理解确定事件和不确定事件是解题的关键．4．B
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，据此求解即可．【详解】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=1
2
×4π×5=10π．故选：B ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．5．C
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．故选：C ．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．6．A
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定0k <，由此可以推知一次函数y x k =-的图象的大致情况．
【详解】∵正比例函数0y kx k =≠（）的图象在第二、四象限，
∴0k <，
∴一次函数y x k =-的图象与y 轴交于正半轴，且经过第一、三象限．观察选项，只有A 选项正确．故选：A ．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限”是解题的关键．7．C
【分析】过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则PQ BO ∥，可得ABO APO ∽，由
2
3
AB AP =得出
2AO a =,2
3
BO a =
，根据勾股定理求得AB ，根据正弦的定义即可求解．【详解】解：如图所示，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q
，
∴PQ BO ∥∴ABO APO ∽∴
AB AO BO
AP AQ PQ
==，∵点()()0P a,a a ->∴PQ QO a ==∵21AB BP :=:∴2
3
AB AP =∴222,333
AO AQ BO PQ a =
==∵AQ AO OQ =+∴
23
AO AO a =
+∴2AO a =
∴
3AB a =，
∴23
sin 210
OB PAO AB ∠=
==，故选：C ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．8．B
【分析】过点P 作PG MN ⊥，PH BC ⊥，垂足为点G 、H ，
由折叠的性质可得==15CD CF ，四边形ABNM 是正方形，利用勾股定理求得12FN =，再证明PGF FNC
可得::=9:12:15FG PG PF ，设=9FG m ，则=12PG m ，=15PF m ，根据矩形的性质可得==12HN PG m ，又因为==39HN BN BH m -+，即可求出1m =，从而求得==3PH BH ，
最后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：过点P 作PG MN ⊥，PH BC ⊥，垂足为点G 、H ，
由折叠的性质可知，四边形ABNM 是正方形，====15AB BN MN AM ，
==15CD CF ，==90D CFE ∠∠︒，ED EF =，=2415=9NC ∴-，
在Rt FNC 中，=12FN ，90CFE ∠=︒ ，
CF PE ∴⊥，
==90CFP PGF ∴∠∠︒，=90CFN PFG ∴∠+∠︒，
又=90PFG FPG ∠+∠︒ ，
=CFN FPG ∴∠，==90FNC PGF ∠∠︒ ，PGF FNC ∴ ，
::=::FG PG PF NC FN FC ∴，即::=9:12:15FG PG PF ，
设=9FG m ，则=12PG m ，=15PF m ，
=39MG m ∴+，=129GN m -，
===90PHN PGN GNH ∠∠∠︒ ，45PBH ∠=︒，
∴四边形PHNG 是矩形，BH PH =，
==12HN PG m ∴，===129BH PH GN m -，()==15129=39HN BN BH m m ---+ ，39=12m m ∴+，
1m ∴=，
==129=3PH BH ∴-，
=PB ∴
，
故选：B ．
【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性
质及勾股定理，作辅助线构造PGF FNC
是解题的关键．9．B
【分析】设AD 交y 轴于点J ，交BE 于点K ，设DE m =，DK b =，利用平行线分线段成比例推出BC 和JF 长度，从而求出OF 长度，即可求出BFC △的面积.
【详解】解：设AD 交y 轴于点J ，交BE 于点K ，设DE m =，DK b =则2AB CD m ==.
A 在双曲线4y x
=-上，2,2A m m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭.2AJ m
∴=. 四边形ABCD 为矩形，
DK BC ∴∥.
13
DK ED BC EC ∴==.3BC AD b ∴==，22,2AK b JK b m ∴==-
.JF DE ∥ ，
JF JK DE DK
∴=，22b JF m m b -∴
=，22bm JF b
-∴=，2222bm OF OJ JF m b b -∴=-=-
=.112S 3322BFC BC OF b b
∴=⋅=⋅⋅= .故答案选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.
10．A
【分析】先判断出点O ，D ，C ，F 四点共圆，判断出DF 的最大值为OC ，再求出OC ，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，
连接OC ，OF ，
点F 是CE 的中点，
OF CE ∴⊥，
90OFC ∴∠=︒，
CD AB ⊥ ，
90ODC ∴∠=︒，
180ODC OFC ∴∠+∠=︒，
∴点O ，D ，C ，F 在以OC 为直径的圆上，
4DF OC ∴==最大值，
∵2AD =，
在Rt ODC △中，2OD OC AD =-=，4OC =，
根据勾股定理得CD =，
故选A ．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点O ，D ，C ，F 四点共圆是解本题的关键．
11．x （x+1）
（x －1）
【详解】解：原式
12．123322
x x -==【分析】利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵231x x -=，
∴2310x x --=，
∴131a b c ==-=-，，，
∴()()2
243411130b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，
∴x ==
解得12x x ==
故答案为：12x x ==【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．13．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】交换原命题中的题设和结论的位置即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点睛】本题考查了逆命题的定义，熟知交换原命题中的题设和结论的位置即为原命题的逆命题是解本题的关键．
14．()2
2y x =+【分析】已知对称轴2x =-，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．
【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为()2h -，，
根据顶点式，得()22y a x h =++，
设1a =，0h =，
则函数的表达式为()22y x =+（本题答案不唯一）．
故答案为：()22y x =+（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的顶点坐标是解题的关键．
15．145
【分析】设第5次跳绳成绩为x 次/分钟，由题意易知众数为140，然后根据平均数及众数可进行求解．
【详解】解：设第5次跳绳成绩为x 次/分钟，由前4次跳绳成绩可知众数为140，∴1401381401371405
x ++++=，解得：145x =；
故答案为145．
【点睛】本题主要考查平均数与众数，熟练掌握平均数与众数是解题的关键．
16
【分析】根据矩形ABCD 可得90CDH ADH ∠+∠=︒，90CFE E ∠+∠=︒，AD BC =，根据DH AE ⊥，可得90ADH HAD ∠+∠=︒，90CDH DFH ∠+∠=︒，90AHD B ∠=∠=︒，结合CFE DFH ∠=∠可得E DAH ∠=∠，即可得到ADH EAB ∆∆∽，得到
DH AD AB AE
=，结合4AB =，5BC =，3CE =，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴90CDH ADH ∠+∠=︒，90CFE E ∠+∠=︒，AD BC =，
∵DH AE ⊥，
∴90ADH HAD ∠+∠=︒，90CDH DFH ∠+∠=︒，90AHD B ∠=∠=︒，
∵CFE DFH ∠=∠，
∴E DAH ∠=∠，
∴ADH EAB ∆∆∽，∴DH AD AB AE
=，
∵4AB =，5BC =，3CE =，
∴AE ===
∴4DH =
∴DH =．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理及矩形性质，解题的关键是的得到E DAH ∠=∠．
17
．4MN ≤≤【分析】连接BN 并延长，过N 作NF AB ⊥，交AB 的延长线于F ，根据正方形的性质，可
证出FEN ADE ≌
，从而可证BN 是FBC ∠的平分线，同理可证：AM 是GAD ∠的平分线，可得出M 、N 的运动轨迹便可求解．
【详解】
解：如图，连接BN 并延长，过N 作NF AB ⊥，交AB 的延长线于F ，
四边形ABCD 是正方形，
90EAD NFE ∴∠=∠=︒，AB AD =，
90FEN AED ∴∠+∠=︒，
90ADE AED ∠+∠=︒
FEN ADE
∴∠=∠在FEN △和ADE V 中
FEN ADE NFE EAD DE NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()
∴≌
FEN ADE
AAS
∴=，FE AD
FN AE
=
∴=
FE AB
∴-=-
FE BE AB BE
即：FB AE
=
∴=
FB FN
∴∠=︒
FBN
45
∠的平分线
BN
∴是FBC
∠的平分线
同理可证：AM是GAD
∴在AM上运动，N在BN上运动
M
当点E与点B重合时，则点M与点A重合；或当点E与点A重合时，则点N与点B重合；此时MN最长，
22
=+
MN AF FN
22
=+=
4225
当E在AB的中点时，MN AB
∥，此时P、Q分别是AD、BC的中点，
此时MN最小
==
24
MN AB
故答案：4MN ≤≤．
【点睛】本题考查了以正方形为背景的旋转问题，三角形的全等的判定及性质、勾股定理、正方形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
18．90()
4,6-【分析】①根据题意求出()2,0A -，()8,0B ，()0,4C -，从而可得10AB =，
AC =BC =
②过点M 作MH y ∥轴，交BC 于点H ，求出直线BC 的解析式为114y kx =-，设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1,42H m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，可得28MBC S m m =-+ ，根据08m <<，且函数28MBC S m m =-+ 开口向下，即可求出结果．【详解】解：①∵二次函数213442
y x x =
--的图像与x 轴交于A 、B 两点，∴0y =时，2134042x x --=，解得：1=2x -，2=8x ，
∴点A 的坐标为：()2,0-；点B 的坐标为：()8,0，
2OA =，8OB =，
10AB ∴=，∵二次函数213442
y x x =--的图像与y 轴交于点C ，
∴0x =时，4y =-，
∴点C 的坐标为：()0,4-，
4OC ∴=，
90AOC BOC ∠=∠=︒ ，
在Rt AOC △和Rt BOC
中,
AC ==
，BC ==，
在ACB △中，((222=10+，即222AC BC AB +=，
∴ACB △是直角三角形，
90ACB ∴∠=︒；
②过点M 作MH y ∥轴，交BC 于点H ，
设直线BC 的解析式为114y kx =-，
∵点B 在直线BC 上，
∴把()8,0代入114y kx =-得，84=0k -，解得：12
k =，∴直线BC 的解析式为11142y x =
-，设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1,42H m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21=24
MH m m ∴-+，22111288224MBC B C S MH x x m m m m ⎛⎫∴=⨯⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭
，∵08m <<，且函数28MBC S m m =-+ 开口向下，
∴当4m =时，MBC
的面积最大，此时点M 的坐标为()4,6-，故答案为：90；()4,6-．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．（11；（2）2【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，以及零指数幂运算法则即可求出值；
（2）运用同分母分式的加减法则进行计算即可．
【详解】解：原式1=
1=原式()112a a b
a b -++-=-22a b
a b
-=-2
=【点睛】此题考查了实数的混合运算及分式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．
（1）12x -≤<；（2）M N <【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．（2）先作差，将结果利用配方法分解，再比较大小．
【详解】解：（1）由()4177x x +≤+得：1
x ≥-由14124
x x ---<得：2x <∴不等式组的解集为12x -≤<；
（2）N M
-221
x x =-+2
172048x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭
∴M N
<【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明AEC DCE △△≌即可．
(2)根据全等三角形的性质，证明OEC OCE ∠=∠即可．
【详解】（1）ABCD Y 中，AB CD ∥，AB CD =，
∴180B BCD ∠+∠=
∵AB AE =，
∴AE CD =，B AEB ∠=∠，
∵180AEB AEC ∠+∠= ，
∴AEC ECD ∠=∠，
∵AE CD AEC ECD EC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEC DCE
≌，∴AC DE =．
（2）由（1）得AEC DCE △△≌，
∴OEC OCE ∠=∠，
∴OE OC =．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．(1)第二组
(2)175人
(3)见解析
【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，
308+295=603，故中位数落在第二组；
（2）解：(1200200)(18.7%43.2%30.6%)175
-⨯---=（人)，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）解：由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
23．(1)1
2
(2)2
3
【分析】（1）先求出这组数中质数的个数，再利用概率公式解答即可；
（2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率.【详解】（1）解：数字1，2，4，5中，2，5是质数，
则随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为1
2
；
故答案为：1
2
；
（2）解：列表如下：
1245
1121415
2212425
4414245
5515254
出现的等可能性结果有12种，两位数能被3整除的有，12，15，21，24，42，45，51，54
共有8种，
∴P （两位数能被3整除）82123
==．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．24．(1)相切，理由见解析
(2)O 的半径为3.5，49
20
AD =【分析】（1）如图：连接OE ，OC ，根据角平分线的定义可得CAE BAE ∠=∠，即 CE BE
=，则COE BOE ∠=∠；再根据等腰三角形三线合一的性质可得OE BC ⊥，然后根据平行线的性
质可得OE EF ⊥，再由OE 是O
的半径即可证明结论；（2）设O
的半径为x ，则OE OB x ==，9OF x =+，再在Rt OEF △中运用勾股定理求得x ，即可求得半径；由AB 是O
的直径可得90AEB ∠= 、7AB =结合90OEF ∠=︒可得BEF AEO ∠=∠，进而说明BEF BAE ∠=∠，再结合F F ∠=∠可得EBF AEF △△，运用相似三角形的性质列式可求得43
AE BE =；在Rt ABE △中运用勾股定理可得42BE .=，即56AE .=；最后运用平行线等分线段定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接OE ，OC
∵AE 平分CAB ∠，
∴CAE BAE
∠=∠∴ CE BE
=，∴COE BOE
∠=∠∵OC OB
=∴OE BC
⊥∵BC EF ∥，
∴OE EF
⊥∵OE 是O
的半径∴EF 是O
的切线．
（2）解：设O
的半径为x ，则OE OB x ==，9OF x =+，在Rt OEF △中，由勾股定理可得222OE EF OF +=，
∴()2
22129x x +=+，解得： 3.5x =，
∴O
的半径为3.5∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠= ，7
AB =∵90OEF ∠=︒
∴BEF AEO
∠=∠∵OA OE
=∴BAE AEO
∠=∠∴BEF BAE
∠=∠∵F F ∠=∠，
∴EBF AEF △△，∴93124
BE BF AE EF ===，∴43
AE BE =，在Rt ABE △中，222AE BE AB +=，即2
22473BE BE ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得42BE .=，∴56
AE .=∵BC EF ∥，∴AB AD AF AE =，即71656
AD .=，∴4920AD =
．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合运用相关知识成为解答本题的关键．
25．(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润13000元．
【分析】（1）设乙种图书进价每本x 元，则甲种图书进价为每本1.4x 元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货a 本，总利润w 元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出212000w a =+，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出a 的一元一次不等式，解得500a ≤，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x 元，则甲种图书进价为每本1.4x 元由题意得：1400
1680101.4x x
-=，解得：20x =，
经检验，20x =是原方程的解，且符合题意，
∴甲种图书进价为每本1.42028⨯=元．
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设甲种图书进货a 本，总利润w 元，
由题意得：()()()402830201200212000w a a a =-+--=+，
()2820120028000
a a +-≤ 解得：500a ≤，
∵20>，
w ∴随a 的增大而增大，
∴当a 最大时w 最大，
∴当500a =本时，w 最大25001200013000=⨯+=（元），
此时，乙种图书进货本数为1200500700-=（本）．
答：甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．
（1）见解析；（2）
4+【分析】（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为P ．在MN 上截取QP PA =．过点Q 作MN 的垂
线，与过点P 且垂直于AQ 的直线的交点为圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径，作O
，即可；
（2）设OP 交AQ 于点C ，由（1）得：OP 垂直平分AQ ，可得OCQ △是等腰直角三角形，可求出OQ 的长；根据题意得：当AQT 的AQ 边上的高最大时，AQT 的面积最大，
设线段PO 的延长线交O
于点T ，此时CT 最大，则OT OA ==CT 的长，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】解：（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为P ．在MN 上截取QP PA =．过点Q 作MN
的垂线，与过点P 且垂直于AQ 的直线的交点为圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径，作O ．
理由：根据作法得：QP PA =，90APQ ∠=︒，OP AQ ⊥，OQ MN ⊥，
∴APQ △是等腰直角三角形，
∴OP 垂直平分AQ ，45AQM ∠=︒，
∴OA OQ =，
∵OQ MN ⊥，
∴O
过A 点，与直线MN 相切于Q ；（2）设OP 交AQ 于点C ，
由（1）得：OP 垂直平分AQ ，∴122
CQ AQ ==，∵45AQM ∠=︒，90OQM ∠=︒，
∴45OQC ∠=︒，
∴OCQ △是等腰直角三角形，
∴2OC CQ ==，OQ =
即O 的半径长为根据题意得：当AQT 的AQ 边上的高最大时，AQT 的面积最大，
设线段PO 的延长线交O
于点T ，此时CT 最大，则OT OA ==
∴2CT =+
∴(1142422AQT S AQ CT =⨯=⨯+=+
故答案为：4+【点睛】本题主要考查了尺规作图——作圆，切线的判定，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．(1)502
AP <≤
(2)252-【分析】（1）根据点P 在AD 上运动可判断出，点M 落在CD 上时，AP 的长度达到最大．
利用翻折的性质和勾股定理求出CM 和DM 长度，再利用PDM MCB
∽，即可推断出AP 最大长度，从而求出AP 取值范围．
（2）利用已知条件和翻折性质推出ABP ADG ∠=∠，从而证明ADG ABP ∽，得出
54AP AG =，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出DH AH =，
12
MH AG =．在Rt PHM △中，222PM PH HM =+，即可求出AP 长度．【详解】（1）解：当M 落在CD 上时，AP 的长度达到最大，如图所示，
四边形ABCD 是矩形，
∴5AB CD ==，4BC AD ==，90A C D ∠=∠=∠= ，
ABP 沿直线翻折，
∴90PMB A ∠=∠= ，5BM AB ==，
∴3CM ===，90PMD BMC ∠+∠= ．
532DM ∴=-=．
90PMD MPD ∠+∠= ，
∴BMC MPD ∠=∠．
90D C ∠=∠=︒ ，
PDM MCB ∴ ∽．
PD
DM
CM BC ∴=．
2
34PD
∴=．
3
2PD ∴=．
5
2AP AD AP ∴=-=．
∴AP 的取值范围是5
02AP <≤．故答案为：5
02AP <≤．
（2）解：如图，
由折叠性质得：ABP MBP ∠=∠，
∴2ABM ABP ∠=∠，
2ABM ADG ∠=∠ ，
ABP ADG ∴∠=∠，
DAG BAP ∠=∠，
∴ADG ABP ∽，∴5
4AP
AB AG AD ==．
设5AP x =，4AG x =过M 作MH AD ⊥于H ，连接AM ，
由折叠性质得：5AP MP x ==，AM BP ⊥，
∴90DAM BAM ABP ADG ∠=-∠=∠=∠ ．
AM DM ∴=，∴122
DH AH AD ===．25HP x ∴=-．
90BAD MHA ∠=∠= ，
∴MN AG ∥．
DH AH = ，
∴MN 为ADG △的中位线，则122
MN AG x ==，在Rt PHM △中，222PM PH HM =+，
∴()()()222
5225x x x =+-，
∴52
x =．
252AP ±∴=4AP AD <= ．
∴252
AP +=（舍去）．
AP ∴=
故答案为：
252-．【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M 落在CD 上时，AP 的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除AP 的其中一个值．
28．(1)224233y x x =
--；
(2)443y x =-(3)存在，15477,⎛⎫- ⎪⎝⎭，12677,⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
．【分析】（1）利用待定系数法，分别将A 、B 两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解
即可；
（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接BD 交y 轴于点E ，过点C 作CP BE ⊥于点P ，利用面积法列方程可求CP 的长，在直角三角形BCP 中，利用锐角三角函数求sin CBD ∠的值即可；
（3）利用相似三角形的性质可得：CMN
是直角三角形，且两条直角边之比为1:2，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可．
【详解】（1）解：将()1,0A -、()3,0B 代入22
y ax bx =+-209320a b a b --=⎧∴⎨+-=⎩，得234
3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴二次函数表达式为224233y x x =
--；（2）由题意得，224233
y x x =--()2221123x x =
-+--()2221233x =
---()228133
x =--∴二次函数的顶点式为()228133
y x =
--，∴二次函数的图像的顶点D 的坐标为81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．设直线BD 解析式为：y kx d =+，
将()3,0B 、81,3D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭代入y kx d =+得：3083k d k d +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩
，解得：434
k d ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，BD ∴的解析式为：443
y x =-，设直线BD 与y 轴交于E ，过点C 作CP BE ⊥点P ，
当0x =时，4y =-，
E ∴点的坐标为()0,4-，即4OE =，
C 点是二次函数与y 轴的交点，
当0x =时，2y =-，()0,2C ∴-，即2OC =，422CE OE OC ∴=-=-=，
在Rt OBE 中，5BE =，1122
CBE S BE CP CE OB =⋅=⋅ △1152322
CP ∴⨯⋅=⨯⨯解得：65
CP =，
在Rt OBC △中，BC ===，
6
5sin CP CBD BC ∴∠=（3）存在
C M N △与AOC 相似，
AOC 是直角三角形，且1OA =，2OC =，CMN ∴ 是直角三角形，且两直角边之比为1:2；分情况讨论如下：
①当90CNM ∠=︒时：
a ．:1:2MN CN =时，
设MN m =，2CN m =，()222225CM CN MN m m m ∴=+=
+=，
则OCM OCB BCM S S S =- 即111222
OC OM OB OC BC MN ⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅11123213222
OM m ∴⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯解得：1332
OM m =-在Rt OMC
中，222OC OM CM +=，即()222132352m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，解方程得：12137
m =，2213m =-（舍），42137
CN m ∴==过点N 作NF y ⊥轴交y 轴于点F
CNF CBO
∴ ∽CN CF NF CB OC OB
∴==
即41372313CF FN ==解得：87CF =，127FN =，86277
OF OC CF ∴=-=-
=∴点N 的坐标为12677,⎛⎫- ⎪⎝⎭；b ．当:1:2CN MN =时，同理可得：5CM m =，313OM m =-，
在Rt OMC
中，222OC OM CM +=，即()()22223135m
m +-=，解方程得：1134m =，2132
m =（此时点N 与点B 重合，不合题意，故舍去），13
4
CN m ∴==过点N 作NG y ⊥轴交y 轴于点G
CNG CBO
∴ ∽CN CG NG CB OC OB
∴==1342313
CG GN ==解得：12CG =，34
GN =13222OG OC CG ∴=-=-
=
∴点N 的坐标为33,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
；②当90CMN ∠=︒时：
过点N 作NH x ⊥轴、NK y ⊥轴于点N 、K ，
由题意可得：COM MHN
∽21
OC CM OM MH MN HN ∴===∴设NH n =，则2OM n =，1
MH =BNH BCO
∽NH BH OC BO ∴=，即23
n BH =，32
n
BH ∴=OB OM MH HB ∴=++32132n n ∴++=，解得47
n =即47NH OK n ===，410277CK OC OK ∴=-=-=CNK COB
∽CK KN CO BO ∴=，即10723
KN =，解得：15
7
KN =∴点N 的坐标为15477,⎛⎫- ⎪⎝⎭
③当90MCN ∠=︒时：
由题意得：BOC COM
∽
BO CO CO MO ∴=，即322MO
=得43MO =
，点M 的坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭此时点M 在线段AB 之外，
故此种情况不满足题意，舍去
点N 的坐标为：15477,⎛⎫- ⎪⎝⎭，12677,⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，锐角三角函数以及相似三角形的存在性问题，要注意分类讨论，避免遗漏．。