【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考文科数学试题(解析版)

【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考试题
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。

详解：由有，则z 的虚部为，故选B.
点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。

若复数，则复数的虚部为。

2. 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144，则（）
A. 14
B. 13
C. 12
D. 11
【答案】C
【解析】分析：先根据已知的三视图还原得到直观图，再根据几何体的体积，利用体积计算公式，求出侧视图中一直角边的长。

详解：根据已知的三视图，作出直观图如下：
由已知有平面BCD，且，且，由三棱锥的体积计算公式
，求出，故选C.
点睛：本题主要考查了三视图成直观图、三棱锥的体积计算公式，属于基础题。

解答本题的关键是由三视图还原成直观图。

3. 设集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：先由不等式求出的范围，写成集合即为N，再得出集合M，N之间的关系，最后得到正确的选项。

详解：由有，即，所以，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B.
4. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。

详解：设等差数列的公差为，由已知有，解得，故最小一份
是，选C.
点睛：本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于容易题。

注意从已知的条件中找出数学等式。

5. 双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】分析：本题可转化为一条直线截圆的弧长之比为，再求出的值，得出双曲线的离心率。

详解：在双曲线中，，一条渐近线方程为，圆的圆心坐标为，半径为2，由已知有直线截圆的弧长之比为，所以圆心到直线的距离为圆半径的一半，为1，所以有，求得（负值舍去），故离心率，选B.
点睛：本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及的知识点有双曲线的简单几何性质，圆的一般方程化为标准方程，以及点到直线距离公式，属于中档题。

6. 某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是（）
A. A班的数学成绩平均水平好于B班
B. B班的数学成绩没有A班稳定
C. 下次B班的数学平均分高于A班
D. 在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分
【答案】C
【解析】分析：根据图表，分别求出A，B班的平均分以及方差，再得出四个选项中哪一个是不正确的即可。

详解：A班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85，5次的平均分，B 班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80，5次的平均分为，A班的数学平均分好于B班，选项A正确；由于A班的成绩都在80分附近，而B班的平均分变化很大，所以A班成
绩稳定些，选项B正确；下次考试A，B班的平均分不能预料，所以选项C错误；在第一次考试中，总平均分为分，选项D正确，故选C.
点睛：本题主要考查了根据图表求平均分等，属于中档题。

根据图表求平均数和方差时要细心，不能看错数据和用错公式。

7. 已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，，若，则（）
A. 6
B. 4
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：利用已知条件，将函数的自变量变到内，再求出函数值，由求出的值。

详解：因为是周期为2的奇函数，所以，解得，选A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题。

在本题中，应用函数的周期性和奇偶性解题是关键。

8. 阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：首先读懂题干中的程序，是直到型循环结构，即直到时结束循环，输出S的值。

根据S=35，再求出a的范围。

详解：本程序是直到型循环结构，第一次运行，；第二次运行，；第三次运行，
，此时；第四次运行，，此时满足，综上条件，得，选A.
点睛：本题主要考查由程序语句的输出结果，判断条件中a的范围，属于易错题。

错误的原因是没有弄懂程序是直到型还是当型循环结构，直到型循环结构：DO 循环体LOOP UNTIL 条件，直到型循环结构：WHILE 条件循环体WEND。

9. 设函数的图象关于点对称，点到该函数图象的对称轴的距离的最小值为，则（）
A. 的周期为
B. 的初相
C. 在区间上是单调递减函数
D. 将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合
【答案】D
【解析】分析：由已知条件的对称中心和对称轴，求出函数的周期，得出的值，再求出初相的值。

再逐项判断。

详解：因为点到对称轴的距离的最小值为，所以，选项A不正确；函数
，由得，选项B不正确；，当时，
，而函数在上不具备单调性，选项C错误；将函数的图象向左平移后，得到，选项D正确。

故选D.
点睛：本题主要考查了三角函数的单调性和对称性，图象的平移等，属于中档题。

由已知条件求出的值，是解题的关键。

10. 设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。

详解：由有，，因为，所以，而
，所以，选C.
点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。

比较大小通常采用的方法有：
（1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采用中间量进行比较，中间量通常有0,1，
等。

11. 如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则
的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，由相似比可以求出m的值，根据的面积为，求出,再求，根据基本不等式求出最小值。

详解：过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则
，故的最小值为，选D.
点睛：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及基本不等式等，属于中档题。

由向量加法的平行四边形法则和相似比求出实数的值，是解题的关键。

12. 设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相交于不同两点，且，连接并延长准线于点，记与的面积为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先由求出A点坐标，由K,A点的坐标求出直线m的方程，根据直线m与抛物线相交，求出B
点的坐标，再求出过点B,F的直线方程，由两直线相交求出C点坐标，由B,C,F三点坐标，求，求出的值，得出与的面积比。

点睛：本题主要考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，求直线的方程等，属于中档题。

本题计算量大，平时注意解题的速度的训练。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若变量满足约束条件，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】分析：由约束条件画出可行域，由有，求的最小值，即求直线的纵截距的最大值。

数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到最小值。

详解：由约束条件作出可行域，如下图阴影部分，由有，令是经过原点的直线，将此直线向左上方平移时，当经过B点时，直线的纵截距最大，此时的值最小，由得
,求得.
点睛：本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域和简单的线性规划，考查了数形结合的思想方法，属于中档题。

14. 设为等比数列，为其前项和，若，则_________．
【答案】3
【解析】分析：设等比数列的公比为，由，求出公比的值，再根据等比数列的前项和公式，求出的值。

详解：设等比数列的公比为，由有，所以，，所以。

点睛：本题主要考查了等比数列中的基本计算，属于基础题。

由已知条件求出等比数列的公比，是解题的关键。

15. 已知，且满足，则_______．
【答案】
【解析】分析：由已知条件求得的值，再将所求的式子化简，将的值代入化简后的式子，求出值。

详解：因为，所以，则，
而。

点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，属于中档题。

注意第三象限的三角函数的符号。

16. 如图，已知直二面角，点，若，则三棱锥
的体积的最大值为_______．
【答案】
【解析】分析：在中，由余弦定理求出BD的长，再求出BC的长，进而求出的面积，过A点作AE
交CD于E点，则AE平面BCD，求三棱锥A-BCD体积的最大值，即为求AE的最大值。

详解：在中，，所以，求出，
则，满足，所以，，以CD所在直线为轴，CD的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，由有，化简得，
当时，有最大值，所以A点到直线CD的距离的最大值为，即AE最大值为，此时三棱锥
有最大值为。

点睛：本题主要考查了立体几何中棱锥体积的计算等，涉及的知识点有余弦定理和坐标法求长度的最大值。

用坐标法求三角形的高是解题的关键。

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）在中，若，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：（1）先将函数化成，求出的范围，再求出函数的值域；（2）由，求出的大小，再分别求出边长的值，代入三角形公式，算出面积。

详解：（1）
∵，
∴
当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值，故的值域为.
（2）设中角所对的边分别为
∵
∴，
∵，即，
∴，得.
又∵，即，，即，
∴
由正弦定理得，解得
∵，∴，∴
∴.
点睛：本题主要考查了三角函数的性质，正弦定理，三角形的面积公式等，属于基础题。

本题关键是将函数
化成，从而求出值域。

18. 2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.
（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。

详解：（1）补充列联表如下：
由列联表知
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.
记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取2人，基本事件有
共15种
记至少有一位男性观众为事件，则事件包含共9个基本事
件
由古典概型，知
点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。

解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；
（2）计算的值；
（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断。

19. 在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，
，.
（1）证明：；
（2）若多面体的体积为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，分别计算出四棱锥
的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG中求出CF的值。

详解：(1)∵平面，∴
作于点，在中，，，得，
在中，
∴
∴且，
∴平面
又∵平面
∴.
（2）设，作于点，
则平面，且，
又，
，
∴，得
连接，则，
∴.
点睛：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理、余弦定理、勾股定理、体积计算公式等，属于中档题。

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点作于点，的角平分线交轴于
点，且，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，设，若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：（1）设，由已知有，所以，由两点间距离公式，化简整理得；（2）设直线：，，联立得，由韦达定理求出
的值，由得，根据的范围，求出的范围，再求出的范围。

详解：（1）设，由题可知，
所以，
即，化简整理得，
即曲线的方程为.
（2）由题意，直线的斜率，设直线的方程为，
由得，
设，
所以恒成立，
且，①
又因为，所以，②
联立①②，消去，得
因为，
所以，
解得.
又，
，
因为，
所以.
所以的取值范围是.
点睛：本题主要考查了求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系等，考查推理论证能力、运算求解能力，方程与函数思想，数形结合思想等，属于中档题。

21. 已知函数.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若有两个极值点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)在上单调递减；(2)①.；②.证明见解析.
【解析】分析：（1）时，，所以，记，则，求出的最大
值，所以，故，得出函数的单调性；（2）由已知有是方程的两根，设，讨论函数的单调性，经分析知，求出的范围；（2）由求出的范围，由求出a的表达式，再求出的表达式。

详解：（1）当时，，
记，则，由，得，
由，得，
∴即在区间上单调递增，在区间上单调递减.
∴.
∴对，，
∴在上单调递减.
（2）①∵有两个极值点，
∴关于的方程有两个根，
设，则，
当时，，
即在上单调递减，
∴最多有一根，不合题意
当时，由，得，
由，得，
∴即在区间上单调递增，在区间上单调递减.
且当时，，当时，，
要使有两个不同的根，
必有，解得
∴实数的取值范围是.
②∵，
∴
又，∴，
∴
令，
则，
∴在区间上单调递减，
∴.
又，，
∴.
点睛：本题主要考查了函数的单调性和最值与导函数的关系，求函数的导数，构造函数是解决本题的关键。

22. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程化为，点的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）过点的直线与曲线相交于两点，若，求的值.
【答案】(1)，；(2).
【解析】分析：（1）由，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程及点P的直角坐标；（2）设过点P的直线的参数方程，将其代入中，得，设A，B两点对应的参数分别为，则，在求出的值。

详解：（1），得，
又，
∴，
即曲线的直角坐标方程为，
点的直角坐标为.
（2）设过点的直线的参数方程是（为参数），
将其代入，
得，
设两点对应的参数分别为，
∴
∵，∴
∴或
∴.
点睛：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程和直角坐标方程，参数方程的互化，直线的参数方程的几何意义等，属于中档题。

23. 已知函数,.
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：（1）当时，，解不等式求出的范围；（2）由绝对值三角不等式求出函数的最小值，求出的值域，再求出的值域，由题意得出的值域是的值域的子集，再求出的范围。

详解：（1）当时，，
或或
解得
即不等式解集为.
（2）∵，
当且仅当时取等号，
∴的值域为
又在上单调递增，
∴的值域为，
要满足条件，必有，
∴，解得
∴实数的取值范围为.
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等，考查了分类讨论思想，化归与转化思想，属于中档题。