常系数非齐次线性微分方程

9
第三步 求原方程的特解 ~ 原方程 y p y q y e x P ( x ) cos x P ( x ) sin x

l
n


利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y y x k e x Qm e i x Qm e i x
1 1
x e
x e
2013-10-24
k x
Q
m
(cos x i sin x )
k x

Qm (cos x i sin x ) ~ Rm cos x Rm sin x
第七章 微分方程
10
其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
y* x k Qm ( x ) e x
i 为特征方程的k(＝0, 1 )重根,
则设特解为
y* x e
2013-10-24
k x
~ [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x]
第七章 微分方程
15
思考与练习
1 .填空 设
时，可设特解为 y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
λx
三、小结
2013-10-24
n
第七章 微分方程
1
一、f ( x ) e Pm ( x ) 型
λx
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x )
根据解的结构定理 , 其通解为
1
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解
2013-10-24
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
2013-10-24 第七章 微分方程
7
第一步 利用欧拉公式将 f(x) 变形
i x i x e i x e i x ~ e f ( x ) e x Pl ( x ) e Pn ( x ) 2i 2 ~ Pl ( x ) Pn ( x ) e( i ) x 2i 2 ~ Pl ( x ) Pn ( x ) ( i ) x e 2i 2
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为 比较系数, 得 代入方程 :
1 b0 1 , b1 3
于是所求特解为
2013-10-24 第七章 微分方程
5
例2 的通解. 解 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 y* x ( b0 x b1 ) e 代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得

时可设特解为
(a x b) cos 2 x (c x d ) sin 2 x k e 2 x y*
2013-10-24 第七章 微分方程
16
y 4 y 4 y e x的通解 2. 求微分方程 （其中 为实数 ) .
解 特征方程 r 4 r 4 0 , 特征根:r1 r2 2
ye 故原方程为 Y C 1 e x C 2 e x 对应齐次方程通解: 原方程通解为 y C 1 e x C 2 e x
2013-10-24 第七章 微分方程
x
xe
x
xex
18
作业 P347 1.(1) (3) (5) ； 2.(1) (2) (3).
2013-10-24
( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x ) e ( i ) x
1
等式两边取共轭:
y
2013-10-24

p y q y1 Pm ( x ) e ( i ) x 1

y1 为方程 ③ 的特解 .
第七章 微分方程
y e (1 x e ) , 求微分方程的通解 .
2x
x
解
将特解代入方程得恒等式
x x x x
(1 a b) e (2 a) e (1 a b) x e c e a0 1 a b 0 比较系数得 2 a c b 1 c2 1 a b 0
于是求得一个特解
2013-10-24 第七章 微分方程
13
例4
解 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
的通解.
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:6b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x ) x ( 5 cos 3x 3 sin 3x ) 通解为
第一步 将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e
( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
而 m max n , l
f ( x ) Pm ( x ) e
Pm ( x ) e
2013-10-24
( i ) x
Pm ( x ) e
( i ) x
( i ) x
Pm ( x ) e ( i ) x
8
第七章 微分方程
第二步 求如下两方程的特解
1
2x
1 b0 , b1 1 2
因此特解为 y* x ( 2 x 1) e 2 x . 1 2 ( 2 x x ) e2 x . 所求通解为
2013-10-24 第七章 微分方程
6
二、f ( x ) e λ x Pl ( x )cos ω x Pn ( x )sin ω x 型
第七章 微分方程
19
( 2) 若是特征方程的单根，
可设 Q( x ) xQm ( x ), y* xe λ x Q ( x ) , m
2013-10-24 第七章 微分方程
3
( 3) 若是特征方程的重根，
可设 Q ( x ) x 2 Qm ( x ),
y* x e Q m ( x ) ,
2 λx
综上讨论
第八节
常系数非齐次线性微分方程
(Nonhomogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficient)
一、f ( x ) e Pm ( x ) 型
λx
二、f ( x ) e [ Pl ( x )cos ωx + P ( x )sin ωx ]型
11

对非齐次方程
~ p y q y e x Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x y
i 为特征方程的 k 重根(k=0,1), ~ k x 则可设特解: y* x e Rm cos x Rm sin x
2
对应齐次方程通解:
令 2 时, y Aeα x , 代入原方程得 A
1 ( 2)
2
,
故原方程通解为
2 时, 令 y B x 2e x , 代入原方程得 B 1 , 2
故原方程通解为
2013-10-24 第七章 微分方程
17
3. 已知二阶常微分方程 y a y b y c e x 有特解
第四步 分析
y y1 y1
x e
k
x

~ Rm cos x Rm sin x
1

因
y y y
1 1

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
y y
1
1
y y y*
所以 y 本质上为实函数，因此, Rm , Rm
均为 m 次实多项式.
2013-10-24 第七章 微分方程
2013-10-24 第七章 微分方程
14
三、小结
p y q y Pm ( x ) e x 1. y
为特征方程的k(＝0,1,2)重根, 则设特解为
~ p y q y e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x] 2. y
0, 不 是 根, y* x k e λ x Q m ( x ) , k 1, 是 单 根, 2, 是 重 根. 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
2013-10-24 第七章 微分方程
4
例1 解 本题 0 而特征方程为
的一个特解.
y p y q y Pm ( x ) e ( i ) x ②
③ y p y q y Pm ( x ) e ( i ) x 设 i 是特征方程的k重根(k=0,1), 则 ② 有 特解: 故
y1 x k Qm ( x ) e ( i ) x (Qm ( x ) 为m 次多项式)
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
2013-10-24 第七章 微分方程
12
例3 的一个特解 . ~ 解 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程
r 1 0
2
不是特征方程的根, 故设特解为 代入方程得
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 a 3 , d 9 比较系数,得 3b 4 c 0 3c 0 bc0 3d 4 a 0
的方法
— 待定系数法
2
第七章 微分方程
设方程（1）的特解 y* e x Q ( x) , 代入原方程
Q( x ) ( 2 p)Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x )
(1) 若不是特征方程的根，
可设 Q( x ) Qm ( x ), y* e λ x Q m ( x ) ,