结构稳定理论第六章

Nx＝－px，Ny＝Nxy＝0，代入(6-13),得
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 + p x 2 = 0 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y (a)
边界条件：
∂2w ∂2w 当x = 0和x = a时， = 0, 2 + µ 2 = 0; w ∂x ∂y ∂2w ∂2w 当y = 0和y = b时， = 0, 2 + µ 2 = 0; w ∂y ∂x
第六章 薄板的屈曲
福州大学土木学院 林 翔
第一节 前言
厚板 t b > 1 5 ~ 1 8
薄板 1 80 ～1 100 < t b <1 5 ~ 1 8 薄膜 t b < 1 80～1 100
考虑等厚度、材料为各向同性弹性体
小挠度薄板理论的基本假定
1. 薄板中垂直于板中面的挠度w << t , 弯曲薄膜效应忽略不计；
∂uob ∂v = 0, (ε y ) z =0 = ob = 0 ∂x ∂y ∂v ∂u = ob + ob = 0 ∂x ∂y
薄板弯曲后，中面在xy面上的投影形状保持不变。 薄板弯曲问题简化为平面应力问题，可用线性偏微分方 程描述其力学行为，称为线性理论。
第二节 薄板屈曲的微分方程式—线性理论
(b)
(c )
板弯曲内力为：Mx、My、Mxy、 Myx、Qx和Qy 在z轴方向剪力的合力为：
∂Q x ∂Q y ∂x + ∂y dxdy (d )
在z轴方向力的平衡条 件为： ∂Qx ∂Q y ∂2w ∂2w ∂2w + + N x 2 + 2 N xy + Ny 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 对x轴的力矩平衡条件为：
2
2
kDπ 2 px = b2
式中k为屈曲系数
(6 − 14b)
mb a k = + a mb
2
(6 − 15)
dk a mb a b = 0, 得 2 + − 2 = 0 dm a mb a bm
a 解得 m = b
代入(6-15)式，得Kmin＝4
m =1 n =1 ∞ ∞
∂Π ∂Π ∂Π = 0, = 0, ..., =0 ∂A11 ∂A12 ∂Amn
得到线性方程组，方程组行列式为零，得到板屈曲方程。
1 U = ∫ ∫ ∫ (σ xε x + σ y ε y + τ xyγ xy )dxdydz 2
(a)
1 ε x = (σ x − µσ y ) E 1 ε y = (σ y − µσ x ) (6 − 2a) E 2(1 + µ ) γ xy = τ xy E U= 1 2 2 2 [σ x + σ y − 2 µσ xσ y + 2(1 + µ )τ xy ]dxdydz 2E ∫ ∫ ∫ (b)
2
mb n a a + mb
2
2
(f)
临界荷载为最小荷载，n=1
px =
π D
2
a2
1 a π 2D 2 1 a4 a2 m + × 2 = 2 m + 2 4 + 2 2 (6 − 14a) m b a m b b
∂M y ∂M xy
( e)
∂Q y ∂Qx 1 dydx + dxdy − dx( dy )dy − (Q y + dy )dxdy = 0 ∂y ∂x ∂x 2 ∂y
∂M y
∂Q y ∂Qx 1 dydx + dxdy − dx( dy )dy − (Q y + dy )dxdy = 0 ∂y ∂x ∂x 2 ∂y
∂2w ∂2w = − D 2 + µ 2 ∂x ∂y
∂2w ∂2w M y = − D 2 + µ 2 ∂y ∂x
M xy ∂2w = − D(1 − µ ) ∂x∂y
(6 − 9)
(6 − 10)
(6 − 11)
Et 3 D= 12(1 − µ 2 )
两长边的 一边简支 一边简支 一边固定 两边简支 两边固定 支承条件 一边固定 一边自由 一边自由 k 4.00 5.42 6.97 0.425 1.277
第四节 瑞利－里兹法分析四边固定单向均匀 受压时的临界荷载
Π = U +V = U −W
U — 体系应变能 W — 外力所作的功
设 w = ∑∑ Amn f ( x, y ) 满足边界条件
∞ ∞
(d )
Amn = 0 → w = 0 (无意义) m 4π 4 m 2 n 2π 2 n 4π 4 p x m 2π 2 +2 2 2 + 4 − ＝0 4 2 a ab b D a
Da π px = m2
2 2
m n 2 + 2 a b
2 2
2
Dπ 或 px = 2 b
Dπ 2 ( p x ) cr = 4 2 b
(6 − 16)
a m= b
π 2E π 2E kDπ 2 1 k σ cr = 2 = =C 2 2 b t 12(1 − µ ) (b t ) (b t ) 2
(6 − 17)
a k 当 ≥ 4时， = 4, 故C = k = 常数， 与板的长度无关。 2 b 12(1 − µ ) 其它边界条件： 表6-1 短边简支的矩形板沿长度方向均匀受压时的屈曲系数k 情 况 1 2 3 4 5
(6 − 8)
将(6－8)式代入(6－5)和(6－6)式，对z积分，并 注意到w＝w(x, y),可得到：
M x = −∫
t 2 t − 2
∂2w Ez ∂ 2 w Et 3 ∂2w ∂2w 2 +µ 2 2 +µ 2 =− 2 2 1 − µ ∂x ∂y 12(1 − µ ) ∂x ∂y
小挠度理论，力与水平线之间夹 角很小。 Nx沿z轴方向分量为： ∂w ∂ 2 w ∂w N x ( + 2 dx)dy − N x dy ∂x ∂x ∂x ∂2w = N x 2 dxdy (a) ∂x 同理：Ny和Nxy沿z轴方向的分力之 和为： ∂2w ∂2w ∂2w N y 2 + N xy dxdy + N yx ∂y ∂x∂y ∂x∂y 中面力在z轴方向的分力之和为： ∂2w ∂2w ∂2w N x 2 + 2 N xy + N y 2 dxdy ∂x ∂x∂y ∂y
为单位宽度板的抗弯刚度
(6 − 12)
三 薄板屈曲的微分方程式 将(6－9)～(6－11)代入平衡方程(6－4)式，可得：
∂4w ∂4w ∂4w ∂2w ∂2w ∂2w D 4 + 2 2 2 + 4 = N x 2 + 2 N xy + Ny 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y (6 − 13)
将(c)代入(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)式,得
m 4π 4 m 2 n 2π 2 n 4π 4 p x m 2π 2 ∑∑ Amn a 4 + 2 a 2b 2 + b 4 − D a 2 × m =1 n =1 mπx nπy sin sin =0 a b m 4π 4 m 2 n 2π 2 n 4π 4 p x m 2π 2 Amn 4 + 2 2 2 + 4 − =0 2 ab b D a a
(l )
将(l)代入(6－2b)式，得：
Ez ∂ 2 w ∂ 2w 2 + µ 2 σx = − 2 ∂y 1 − µ ∂x Ez ∂ 2 w ∂ 2 w 2 + µ 2 σy = − ∂x 1 − µ 2 ∂y Ez ∂ 2 w τ xy = − 1 + µ ∂x∂y
2. σ z、τ zx 和τ zy << σ x、σ y 和τ xy , ε z、γ zx 和γ zy ≈ 0。
∂w εz = = 0 → w = w( x, y ) ∂z ∂w ∂u ∂u ∂w γ zx = + =0→ =− ∂x ∂z ∂z ∂x ∂w ∂v ∂v ∂w γ zy = + =0→ =− ∂y ∂z ∂z ∂y
E (ε x + µε y ) σx = 2 1− µ E 即 σy = (ε y + µε x ) (6 − 2b) 2 1− µ E τ xy = γ xy 2(1 + µ )
µ — 为材料的波松比
同弹性力学中平面应力问题的物理方程
3. 薄板弯曲时中面内的没有平行于中面的位移。 即 uob = (u ) z =0 = 0, vob = (v) z =0 = 0 (ε x ) z =0 = (γ xy ) z =0 (6 − 3)
∂2w 即： 当x = 0和x = b时， = 0, w = 0 2 ∂x ∂2w w 当y = 0和y = a时， = 0, 2 = 0 ∂y
(b)
w = ∑∑ Amn sin
m =1 n =1
∞
∞
mπx nπy sin a b
m = 1, 2, 3, ..., n = 1, 2, 3, ... (c)
或
∂2w ∂2w ∂2w D∇ 2∇ 2 w = N x 2 + 2 N xy + N y 2 (6 − 13a ) ∂x ∂x∂y ∂y ∂2 ∂2 ∇ 2 = 2 + 2 －拉普拉斯算子 ∂x ∂y
式中
薄板弹性屈曲微分方程式，以挠度w为未知量的常系数线 性四阶偏微分方程
第三节 单向均匀受压时薄板的临界荷载
(6 − 1a )
(6 − 1b)
弯曲前垂直于中面的直线段，弯曲后保持没有伸缩的直线 段，并垂直于弹性曲面—直法线假设(相当于梁平截面假定)
薄板弯曲的物理方程：
1 ε x = (σ x − µσ y ) E 1 ε y = (σ y − µσ x ) (6 − 2a) E 2(1 + µ ) γ xy = τ xy E
将上两式代入(e)式，得：
∂ 2 M xy ∂ 2 M y ∂2M x ∂2w ∂2w ∂2w +2 + + N x 2 + 2 N xy + N y 2 = 0 ( 6 − 4) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂x∂y ∂y
四个未知数，要考虑几何条件和物理条件，补充三个方程。
M x = ∫ σ x zdz M y = ∫ σ y zdz M xy = ∫ τ xy zdz
由直法线假定：
∂w ub = − z ∂x ∂w vb = − z ∂y
(k )
将(k)式分别代入(h)、(i)、(j)式得
∂2w ε x = − z 2 ∂x ∂2w ε y = − z 2 ∂y
γ xy
∂ 2 w = − z ∂x∂y
∂M y ∂y ∂M xy ∂x
∂M xy
简化并略去高阶微量后得：
+ − Qy = 0 (f)
同理，对y轴的力矩平衡条件为：
∂M x ∂M xy + − Qx = 0 ∂x ∂y (g)
将(f)式对y求导、(g)式对x求导，得：
∂Qx ∂ M y ∂ M xy = + 2 ∂y ∂y ∂x∂y
2 2 2 ∂Qx ∂ 2 M x ∂ M xy = + 2 ∂x ∂x ∂x∂y
t 2 t − 2 t 2 t − 2 t 2 t − 2
( 6 − 5a ) (6 − 5b) ( 6 − 6)
中性平衡微弯状态下变形
u = u o + ub v = v0 + vb
∂ub (dx + ub + dx − ub ) − dx ∂ub a' b'− ab ∂x = = εx = ( h) ab dx ∂x ∂vb εy = (i ) 同理： ∂y ∂vb ∂ub γ xy = + ( j) ∂x ∂y
建立薄板微弯状态下中性平衡方程式 单位长度上的荷载：轴向荷载px和py、剪力荷载pxy和pyx， pxy＝pyx
中面内力(薄膜内力)：轴力Nx和Ny，剪力Nxy和Nyx 弯曲内力：弯矩、扭矩和横向剪力 分别考虑，然后进行组合。 一 平衡方程 薄膜内力： Nx＝px， Ny＝py Nxy＝pxy Nyx＝pyx 其中：Nxy＝Nyx