椭圆离心率求法总结

椭圆离心率的解法

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=②e=③e=④e=⑤e=

：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定

义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜

OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜=∴有③。

题目1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、

b 、

c 的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B ，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=c c+c=2a ∴e==-1

变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P 在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭

圆离心率？

解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=-1

变形2:椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X

轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=a

PF2∥AB∴=又∵b=

∴a2=5c2e=,5)

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

题目2：椭圆+=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?

解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=

a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2

e2+e-1=0e=,2)e=,2)(舍去)

变形：椭圆+=1(a>b>0)，e=,2),A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°

引申：此类e=-1,2)的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。

题目3：椭圆+=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?

解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m

在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：两式相除= e=

题目4：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且

∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：==

根据和比性质：

=

变形得：====e

∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°

e==,3)

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知

e=

变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？

分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α

e===

≥∴≤e<1

变形2：已知椭圆+=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若<tan<tan<,求e的取值范围？

分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e===cos,2sincos)=cos-sinsin,coscos+sinsin)

=tan,1-tantan)=e

∵<<∴<e<

三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.

题目5：椭圆+=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)

共线，求e?

法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0

x1+x2=y1+y2=-2c=

+=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则

-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=,3)

法二：设AB的中点N，则2=+

+=1①,,+=1②,))①-②得：

=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=,3)

四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

题目6：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足1·2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？

分析：∵1·2=0

∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。

解：∴c<b

a2=b2+c2>2c2∴0<e<,2)

题目7：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？