八年级数学全等三角形(培优精选难题)

北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题
1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。

图1
图2
B
A
图
3
2．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。

3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。

4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。

图4
B
图5
A
B
D
图6
C
5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。

（ ）
①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。

6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝2
1
AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

（1）求证：DF ＝BE ；
（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。

7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） A. AB －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CD
C. AB －AD ＜CB －CD
D. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定
图7
B
D
图8
C
8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )
A. AD>CE
B. AD<CE
C. AD=CE
D. indefinite
（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。

图9
C
A
B
图10
B
10．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。

求证： （1）AP ＝AQ ； （2）AP ⊥AQ 。

a a
c
丙︒72︒
50　乙
︒
50甲a
︒
507250︒︒︒58c b
a
C
B
A
11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ´、△BCA ´、△CAB ´都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。

（1）证明：△C ´BD ≌△B ´DC ；
（2）证明：△AC ´D ≌△DB ´A ；
12．如图12，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌EDB ≌EDC ，则∠C 的度数为 。

图12
C
B
13．如图13，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 。

14．如图14，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于H 点，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。

图14
图15
图16
C
15．如图15，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，需要添加的一个条件是 。

16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。

17．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为 。

18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？
若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是
，来说明这
两个三角形全等，并写出证明过程。

图11图17
B C
20．如图20，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直
线上，有下面四个论断：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；
④AD ∥BC 。

请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，
编一道数学问题，并写出解答过程。

21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，
其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，
同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD
与FG 恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD 与△EFG 粘在一起，并沿EB 、EC 剪下。

小华得到的△EBC 是什么三角形？请你作出判断
并说明理由。

22．如图22，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ） A. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥① D. ②③④
23．如图23（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中
点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，不一定成立的是（ ）
A. 点A 落在BC 边的中点
B. ∠B ＋∠1＋∠C ＝180° C ． △DBA 是等腰三角 D. DE ∥BC
图20
A
C 图21②
①F
D (G )A (F )
图22F E B C
图23
(2)
(1)
B
B
图24
D
A
24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ） A. ∠M ＝∠N B. AB ＝CD C. AM ＝CN D. AM ∥CN 25．如图25，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE 。

（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明，你添加的条件是： 。

并给出证明。

（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：
（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用
其他字母，不必写出证明过程）。

26．如图26，在△
ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 点，E 在AD
上，且DE ＝
CD ，求证：BE ＝AC 。

27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD
；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（收发室形式：如果……，那么……），并给出证明。

28．如图28，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：AO ＝BO 。

图25B C 图26B 图27图28D C
29．如图29，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直
线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。

①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF 。

30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想
是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。

31．如图31，点B 在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是： （写一个即可）。

图31
A
E
32．如图32，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。

①OA ＝OC ；②OB ＝OD ；③AB ∥DC 。

图29F
B 图30
B C
图
32
A
33．如图33，要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离。

请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。

（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）设计AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。

34．如图34，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE
＝FE ，AE ＝CE ，AB 与CF 有什么位置关系？证明你的结论。

35．如图35，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA ＝OC ，OB ＝OD 。

求证：AB ＝CD 。

36．如图36，已知AB ＝AC ， （1）若CE ＝BD ，求证：GE ＝GD ； （2）若DE ＝mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系。

（只写结论，不证明）
图34
B 图35
C A
B
37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题： “如图37（1），已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC
内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ ＝CP 。

”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP ，之后，他将点P 移到
等腰三角形ABC 之外，原题中其他条件不变，发现“BQ ＝CP ”仍然成立，请你就图（2）给出证明。

38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”； 彬彬：“作△ABC 的角平分线AD ”。

数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。

”
（1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；
（2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。

39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。

图39
(4)
(3)
(2)
(1)
l
l
图37
(2)(1)
Q
B
E
（1）将△ECD 沿直线l 向左平移到图（2）的位置，使E 点落在AB 上，则CC ´＝ ；
（2）将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图（3）的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数＝ ；
（3）将△ECD 沿直线翻折到图（4）的位置，ED ´与AB 相交于F ，求证：AF ＝FD ´。

40．已知：点O 至△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。

（1）如图40（1），若点O 在边BC 上，求证：AB ＝AC ； （2）如图（2），若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ； （3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。

图40
(2)
(1)
B
B
41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等
C. 一条边与一个锐角对应相等
D. 斜边与一个锐角对应相等
42．如图43，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） A. BE ＋CF ＞EF B. BE ＋CF ＝EF
C. BE ＋CF ＜EF
D. BE ＋CF 与EF 的大小关系不确定
图43
B
C
图
44
A
图4
5
B
43．如图44，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于F ，AF 的延长线交
BC 于H 点，若∠1＝∠2，AE ＝AD ，则图中的全等三角形共有（ ）对。

A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
44．如图45，将△ABC 绕着C 点按顺时针方向旋转20°，B 点落在B ´点位置，A 点落在A ´点位置，若AC ⊥A ´B ´，则∠BAC ＝ 。

45．如图46，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4。

将矩形ABCD 沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为 。

图46
图
47
A
B
图
48
B
C
46．如图47，设正△ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA ＋
PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2
＝ 。

47．如图48，D 为等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BF ＝AB ，∠DBF ＝∠DBC ，则∠BFD 的度数为 °。

48．如图49，在△ABC 和△A ´B ´C ´中，CD 、
C ´
D ´分别是∠ACB 、A ´C ´B ´的角平分线，
且CD ＝C ´D ´，AB ＝A ´B ´，∠ADC ＝∠A ´D ´C ´。

你能判断△ABC 与△A ´B ´C ´全等吗？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由。

49．如图50，△ABC 是正三角形，△A 1B 1C 1的三条边A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1交△ABC 各边于C 2、C 3、A 2、A 3、B 2、B 3，已知A 2C 3
＝C 2B 3＝B 2A 3，且C 2C 32＋B 2B 32＝A 2A 32，请你证明：A 1B 1⊥C 1A 1。

图49
B C C'
B'图50
B1
图50
提示：如图过A 3作A 3M ∥C 1A 1，过B 3作B 3M ∥AB 。

连结C 2M 、A 2M 。

△MB 3C 2为正三角形。

四边形MC 2C 3A 2是平行四边形 有MA 22＋A 3M2＝A 2A 32 A 3M ⊥A 2M A 1B 1⊥C 1A 1。

50．如图51，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB ＝51°，求∠DFE 的度数。

提示：连结AE 、BD
△ABE ≌△FCA △ABD ≌△CFB △AEF △BDF 都等腰直角三角形。

51．如图52，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积。

提示：旋转△
AED 至△ABF 处。

△ACF ≌△ACD
图52
52．如图53，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上的一点，且BF ＝CE 。

求证：FK ∥AB 。

提示：过E 作EG ⊥AB 于G 。

图53
F
E
C
A
A
F E A
△CKF ≌△EGB ∠CFK ＝∠B
53．已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形（∠Z ＝90°），它的3个项点分别在等腰Rt △ABC （∠C ＝90°）的三边上。

求△ABC 直角边长的最大可能值。

解：
注：其中ac b 42
-=∆，为韦达定理：当0>∆时，一元二次方程有两个实数根；当0=∆时，一元二次方程有一个实数根；当0<∆，一元二次方程无实数根。

54．如图54，AA ´、BB ´、CC ´交于点O ，且AA ´＝BB ´＝CC ´＝1，∠AOC ´＝∠BOA ´＝∠COB ´＝60°。

求证：
（1）S △AOC ´＋S △BOA ´＋S △COB ´＜4
3
；
（2）S △AOC ´、S △BOA ´、S △COB ´中至少有一个不大于
16
3。

C'
证明：（1）延长C ´C 至D ，取CD ＝C ´O ，延长BB ´至E ，取B ´E ＝BO 。

图54
C'
则△ODE 为正三角形
在ED 上取EF ＝OA ´，连接B ´F 、CF 。

则△EB ´F ≌△OBA ´，△CDF ≌△C ´OA S △EOD ＝
4
3 ∴S △AOC ´＋S △BOA ´＋S △COB ´＜
4
3。

（2）假设S △AOC ＞163、S △BOA ´＞16
3
、S
△COB
＞
16
3。

记OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则根据余弦定理求面积公式，有：
()()()⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧>︒
->︒
->︒
-16
3260sin 1163260sin 1163
260sin 1b c a b c a 整理后：
()()()⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>->->-411411411b c a b c a
三式相乘
()()()3
41111⎪⎭⎫
⎝⎛>---c b a abc 。

而()()4121102
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+≤-<a a a a ，故 ()()()3
41111⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤---c b a abc 。

矛盾。

因此，题目结论成立。

55．如图55，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD 、△ACE 、△BCF 都是等边三角形，则四边形AEFD 的面积为 。

图55
D
56．如图56，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠MDN ＝60°，则△AMN 的周长＝ 。

57．如图57，已知四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：BC ＋DC ＝AC 。

图57
C
A
58．如图58，ABCDEF 为一正六边形，问：风筝形ABCF 的面积是正六边形面积的几分这几？
图58
F C
59．如图59，△ABC 中阴影面积占总面积的分数是多少？
3
图59
C
B
60．如图60，一个等腰直角三角形XYZ 外接于正方形PQRS 。

三角形XYZ 的面积是x 。

请问：正方形PQRS 的面积是多少？
图60
Y
61．如图61，三个正六边形大小相同。

X 、Y 、Z 表示六边形中阴影部分的面积。

下面哪一个说法正确？（ ）
A. X 等于Y ，但不等于Z
B. X 等于Z ，但不等于Y
C. Y 等于Z ，但不等于X
D. X 等于Y ，也等于Z
E. X 、Y 、Z 不相同
图61
Z
Y
X
图62
F
C
62．如图62，ABCDEF 是一个面积为60的正六边形。

请问：风筝形状ABCE 的面积是多少？
63．如图63，外面的等边三角形面积为1，A 、B 、C 三点位于三条边的4
1
位置上。

请问等边△ABC 的面积是多少？
图63。