第二章_系统的数学模型-文档资料
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L[ f1 (t )] 2 2 s
s L[ f 2 (t )] 2 2 s
2) 拉氏变换
2) 拉氏变换
6、正、余弦信号 1) 数学表达式
f1 (t ) sin t f 2 (t ) cost
控制工程基础
第二章 数学模型
§ 2.2.2拉普拉斯反变换 一、定义
1 j st L [ F ( s)] f (t ) F ( s)e ds 2j j
控制工程基础
第二章 数学模型
5）初值定理： lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
6）终值定理： lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
7）位移定理： 设L[ f (t )] F ( s ), a为常数，则 L[e
at
f (t )] F ( s a )
st 0
（3）称F ( s )为f (t )的象函数，f (t )为F ( s )的原函数 （4）拉氏变换实质：在一 定条件下，将实数域 中的实变函数f (t )变换为在复数域内与之 等价的 复变函数F ( s )。
控制工程基础
第二章 数学模型
二、拉氏变换性质
1)线性性质 (叠加定理) :
用部分分式法将F(s)分解成若干个简单有理分式之 和，分以下三种情况：
1、A(s)=0的根为各不相同的实数
此时F(s)可分解为：
n An Ai A1 A2 F ( s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
其中Ai 为待定系数，求法为： Ai F ( s )(s si ) s s
st
F ( s)
f (t ) e
0
dt存在，
则称F ( s )为f (t )的拉氏变换。
记为：F ( s)或L[ f (t )]，即 F ( s) L[ f (t )]
0
f (t )e dt
st
控制工程基础
第二章 数学模型
式中： （ 1 ）F ( s )为复数s的函数，称复变函数； 其中，s j，其量纲为时间的倒数 。 （2） e dt — — Laplace积分；
nm
设s1、s2、s3...sn为A(s) 0的根，则
F (s) B( s) an 1 n 1 a0 a1 a （ s ... s ） n s an an an
n
B( s) a （ ）（s s2） （s sn） n s s1
控制工程基础
第二章 数学模型
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-1 u0(t)
电容两端电压为：
1 Uo(t ) C
i (t )dt
0
t
整理得:
d2 d LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
控制工程基础
第二章 数学模型
第二章 系统数学模型
控制工程基础
第二章 数学模型
重点：微分方程的建立 Laplace变换和反变换
传递函数建立
传递函数方框图的化简 难点：机械系统微分方程的建立 Laplace反变换
控制工程基础
第二章 数学模型
§2-1 系统的微分方程
一、数学模型 定量的描述系统输入、输出变量及内部各 变量之间相互关系的数学表达式。
2、A(s)=0有共轭复根：
设A( s )有一对共轭复根 s1、s2，其余根为 互不相等实根，则 A3 An A1s A2 F ( s) ( s s1 )(s s2 ) s s3 s sn
控制工程基础
系数A3 An 求法同上，A1、A2求法：
第二章 数学模型
f(t) ∞
0，则
xi (t ) 0
工程上： (t ) 0 t0 t0
t 0 t0
0
— —理想单位脉冲信号， 记做（t）
t
控制工程基础
第二章 数学模型
3)理想单位脉冲信号的拉氏变换
u(t) 1
L[ (t )] 1
2、单位阶跃信号 1) 数学表达式
控制工程基础
第二章 数学模型
2）、机械旋转系统 信号：角位移
元件：转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼
物理量：角位移（角速度、角加速度），力矩
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-1 无源电器网如图2-1所示， ui (t )为输入电
u0 (t )为输出电压，列写其关于输入输出微分 压，
方程模型。 解：设电路中电流为 i(t)
4）积分定理：
第二章 数学模型
F ( s ) f 1 (0) L[ f (t )dt ] , 式中 f 1 (t ) f (t )dt s s
推论： a) L ... f (t ) n重积分 式中 f b)若
dt
n
F ( s) n s
1 2
s s1或s s 2
此式为复数相等，令其 实部、虚部分别相等 可求A1、A2。
s 1 例：求F ( s) 2 的原函数 s( s s 1)
3、A(s)=0有重根（略）
控制工程基础
第二章 数学模型
f (t ) F (s), f (t ) F (s), 则： af (t ) b f (t ) a F (s) bF (s)
若
1 1 2 2 1 2 1 2
2）延迟性质： 若f (t ) F ( s)，则对任意正实数 a，有 f (t a ) e
as
F (s)
其中f (t a )为延时函数
f
1
(0)
s
n
n
f
2
(0)
s
n 1
.....
f
n
(0)
s来自百度文库
，
n
(0) ...
n重积分
f (t )
n
dt
t 0
f
1
(0)
f
2
(0) ...... f
n
(0) 0，
则L ... f (t ) n重积分
dt
F ( s) n s
种方法要求明确系统的结构和特性。
控制工程基础
第二章 数学模型
实验方法——指对系统加入激励信号，测出其 响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学 模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学
模型。
控制工程基础
第二章 数学模型
四、微分方程
一般微分方程：
n xo d xi dxo d m x i d a1 a 0 xo b m b1 b0 xi an n m dt dt dt dt
A3 An A1s A2 将式F ( s ) ( s s1 )(s s2 ) s s3 s sn 两边同乘( s s1 )(s s2 )，并令s s1或s s2 , 得 F ( s )(s s1 )(s s2 ) s s 或s s A1s A2
4、规范化：左出右入；各级导数按降阶排列；
控制工程基础
第二章 数学模型
（二）、典型系统微分方程模型列写
1.电气系统(基尔霍夫定律)
信号：电流 元件：电阻、电感、电容 物理量：电压、电流
控制工程基础
第二章 数学模型
2、机械系统（牛顿第二定律）
机械系统分为平动系统和旋转系统 1）、机械平动系统 信号：位移 元件：质量、弹簧、位移 物理量：位移（速度、加速度），力
1
二、部分分式法 基本思想：复杂象函数F(s)→若干简单有理分式之 和→查表求简单有理分式原函数→F(s)原函数
控制工程基础
第二章 数学模型
F(s)一般式：
B(s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 F ( s) A(s) an s n an1s n1 ... a1s a0
n n 1 n2 (t ) s F ( s) s f (0) s f ' (0) ....
f
n 1
(0)
b)若f (0) f ' (0) ......
n
n (t ) s F ( s)
f
n 1
(0) 0，
控制工程基础
控制工程基础
第二章 数学模型
3）微分性质：
则L f ' (t ) s F ( s ) f (0)
推论： a) L f 则L f
n
若f (t )在[0,)上存在导数f ' (t )，且L f (t ) F ( s ) 其中：f (0)为t 0时刻的值，即初始值。
i
控制工程基础
第二章 数学模型
再据拉氏变换的叠加定 理，可得原函数： Ai f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 s si i 1
1 1 n n si t
s2 s 2 例：求F ( s) 的原函数 2 s( s s 6)
第二章 数学模型
4、单位加速度信号 1) 数学表达式
xi(t)
1 2 t xi (t ) 2 0
2) 拉氏变换
t0 t0
0
t
1 L[ xi (t )] 3 s
控制工程基础
第二章 数学模型
5、指数函数信号 1) 数学表达式
f (t ) e
at
1 L[ f (t )] as
理 线性系统：满足叠加原 1. 加原理 非线性系统：不满足叠
x1(t)
x2(t)
系统
y1(t)
y2(t)
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统
ay1(t)+by2(t)
定常系统：若xt yt , 则xt y t 2. 要求 时变系统：不满足上述
即：定常系统的参数 ai , b j 不随时间变化，且与输 入、输出无关。
控制工程基础
第二章 数学模型
（一）、建立微分方程模型的步骤
1、分析系统的结构、工作原理以及信号传递变
换过程，确定系统和各元件的输入、输出变量；
2、从系统的输入端开始，按信号传递顺序根据
各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件关 于中间变量的原始微分方程； 3、消去中间变量，得到一个描述元件或系统输 入、输出变量之间关系的微分方程。
建立控制系统的数学模型，并在此基础上
对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的
基本方法。
控制工程基础
第二章 数学模型
二、数学模型的种类
控制工程基础
第二章 数学模型
三、数学模型的建立方法 建立数学模型通常有两种方法，即解析法 和实验法。 解析方法——根据系统各环节所遵循的物
理或化学规律分别列写相应的运动方程，这
控制工程基础
第二章 数学模型
三、典型信号拉氏变换 1、单位脉冲信号
f(t) 1/ε
1 xi (t ) 0
1)单位脉冲信号数学表达式
0t t 0, t
0
ε
t
xi (t )dt 1
称单位脉冲信号
控制工程基础
第二章 数学模型
2)理想单位脉冲信号数学表达式
1 u(t ) 0
2) 拉氏变换
t 0 t 0
1 L[u (t )] s
0
t
控制工程基础
第二章 数学模型
3、单位斜坡/速度信号 1) 数学表达式
xi(t)
t xi (t ) 0
2) 拉氏变换
t 0 t 0
1
0
1
t
1 L[ xi (t )] 2 s
控制工程基础
控制工程基础
第二章 数学模型
解：
控制工程基础
第二章 数学模型
练习题：
如图所示系统，试列写系统输入输出的微分
方程模型。
K C (b) y0(t) M Fi(t)
控制工程基础
第二章 数学模型
§ 2-2 拉普拉斯变换及反变换
§ 2.2.1 拉普拉斯变换
一、定义：设f (t )为定义在[0,)上的实值函数 , t为实变量，若对于复变 量s j，线性积分
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-2 如图所示系统，试列写系统输入输出的
微分方程模型。
M—质量；k—弹性系数；C—粘性阻尼系数
Fi(t)——输入切削力；y0(t)——输出位移。
控制工程基础
第二章 数学模型
解：
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-3如下图所示由两级RC电路串联组成的无源滤波电路，
试列写以电压u1为输入量、电压u0为输出量的滤波电路的 微分方程
s L[ f 2 (t )] 2 2 s
2) 拉氏变换
2) 拉氏变换
6、正、余弦信号 1) 数学表达式
f1 (t ) sin t f 2 (t ) cost
控制工程基础
第二章 数学模型
§ 2.2.2拉普拉斯反变换 一、定义
1 j st L [ F ( s)] f (t ) F ( s)e ds 2j j
控制工程基础
第二章 数学模型
5）初值定理： lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
6）终值定理： lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
7）位移定理： 设L[ f (t )] F ( s ), a为常数，则 L[e
at
f (t )] F ( s a )
st 0
（3）称F ( s )为f (t )的象函数，f (t )为F ( s )的原函数 （4）拉氏变换实质：在一 定条件下，将实数域 中的实变函数f (t )变换为在复数域内与之 等价的 复变函数F ( s )。
控制工程基础
第二章 数学模型
二、拉氏变换性质
1)线性性质 (叠加定理) :
用部分分式法将F(s)分解成若干个简单有理分式之 和，分以下三种情况：
1、A(s)=0的根为各不相同的实数
此时F(s)可分解为：
n An Ai A1 A2 F ( s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
其中Ai 为待定系数，求法为： Ai F ( s )(s si ) s s
st
F ( s)
f (t ) e
0
dt存在，
则称F ( s )为f (t )的拉氏变换。
记为：F ( s)或L[ f (t )]，即 F ( s) L[ f (t )]
0
f (t )e dt
st
控制工程基础
第二章 数学模型
式中： （ 1 ）F ( s )为复数s的函数，称复变函数； 其中，s j，其量纲为时间的倒数 。 （2） e dt — — Laplace积分；
nm
设s1、s2、s3...sn为A(s) 0的根，则
F (s) B( s) an 1 n 1 a0 a1 a （ s ... s ） n s an an an
n
B( s) a （ ）（s s2） （s sn） n s s1
控制工程基础
第二章 数学模型
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-1 u0(t)
电容两端电压为：
1 Uo(t ) C
i (t )dt
0
t
整理得:
d2 d LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
控制工程基础
第二章 数学模型
第二章 系统数学模型
控制工程基础
第二章 数学模型
重点：微分方程的建立 Laplace变换和反变换
传递函数建立
传递函数方框图的化简 难点：机械系统微分方程的建立 Laplace反变换
控制工程基础
第二章 数学模型
§2-1 系统的微分方程
一、数学模型 定量的描述系统输入、输出变量及内部各 变量之间相互关系的数学表达式。
2、A(s)=0有共轭复根：
设A( s )有一对共轭复根 s1、s2，其余根为 互不相等实根，则 A3 An A1s A2 F ( s) ( s s1 )(s s2 ) s s3 s sn
控制工程基础
系数A3 An 求法同上，A1、A2求法：
第二章 数学模型
f(t) ∞
0，则
xi (t ) 0
工程上： (t ) 0 t0 t0
t 0 t0
0
— —理想单位脉冲信号， 记做（t）
t
控制工程基础
第二章 数学模型
3)理想单位脉冲信号的拉氏变换
u(t) 1
L[ (t )] 1
2、单位阶跃信号 1) 数学表达式
控制工程基础
第二章 数学模型
2）、机械旋转系统 信号：角位移
元件：转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼
物理量：角位移（角速度、角加速度），力矩
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-1 无源电器网如图2-1所示， ui (t )为输入电
u0 (t )为输出电压，列写其关于输入输出微分 压，
方程模型。 解：设电路中电流为 i(t)
4）积分定理：
第二章 数学模型
F ( s ) f 1 (0) L[ f (t )dt ] , 式中 f 1 (t ) f (t )dt s s
推论： a) L ... f (t ) n重积分 式中 f b)若
dt
n
F ( s) n s
1 2
s s1或s s 2
此式为复数相等，令其 实部、虚部分别相等 可求A1、A2。
s 1 例：求F ( s) 2 的原函数 s( s s 1)
3、A(s)=0有重根（略）
控制工程基础
第二章 数学模型
f (t ) F (s), f (t ) F (s), 则： af (t ) b f (t ) a F (s) bF (s)
若
1 1 2 2 1 2 1 2
2）延迟性质： 若f (t ) F ( s)，则对任意正实数 a，有 f (t a ) e
as
F (s)
其中f (t a )为延时函数
f
1
(0)
s
n
n
f
2
(0)
s
n 1
.....
f
n
(0)
s来自百度文库
，
n
(0) ...
n重积分
f (t )
n
dt
t 0
f
1
(0)
f
2
(0) ...... f
n
(0) 0，
则L ... f (t ) n重积分
dt
F ( s) n s
种方法要求明确系统的结构和特性。
控制工程基础
第二章 数学模型
实验方法——指对系统加入激励信号，测出其 响应信号，再经分析、拟合以辨识系统的数学 模型。 本章注重讨论解析法建立物理系统的数学
模型。
控制工程基础
第二章 数学模型
四、微分方程
一般微分方程：
n xo d xi dxo d m x i d a1 a 0 xo b m b1 b0 xi an n m dt dt dt dt
A3 An A1s A2 将式F ( s ) ( s s1 )(s s2 ) s s3 s sn 两边同乘( s s1 )(s s2 )，并令s s1或s s2 , 得 F ( s )(s s1 )(s s2 ) s s 或s s A1s A2
4、规范化：左出右入；各级导数按降阶排列；
控制工程基础
第二章 数学模型
（二）、典型系统微分方程模型列写
1.电气系统(基尔霍夫定律)
信号：电流 元件：电阻、电感、电容 物理量：电压、电流
控制工程基础
第二章 数学模型
2、机械系统（牛顿第二定律）
机械系统分为平动系统和旋转系统 1）、机械平动系统 信号：位移 元件：质量、弹簧、位移 物理量：位移（速度、加速度），力
1
二、部分分式法 基本思想：复杂象函数F(s)→若干简单有理分式之 和→查表求简单有理分式原函数→F(s)原函数
控制工程基础
第二章 数学模型
F(s)一般式：
B(s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 F ( s) A(s) an s n an1s n1 ... a1s a0
n n 1 n2 (t ) s F ( s) s f (0) s f ' (0) ....
f
n 1
(0)
b)若f (0) f ' (0) ......
n
n (t ) s F ( s)
f
n 1
(0) 0，
控制工程基础
控制工程基础
第二章 数学模型
3）微分性质：
则L f ' (t ) s F ( s ) f (0)
推论： a) L f 则L f
n
若f (t )在[0,)上存在导数f ' (t )，且L f (t ) F ( s ) 其中：f (0)为t 0时刻的值，即初始值。
i
控制工程基础
第二章 数学模型
再据拉氏变换的叠加定 理，可得原函数： Ai f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 s si i 1
1 1 n n si t
s2 s 2 例：求F ( s) 的原函数 2 s( s s 6)
第二章 数学模型
4、单位加速度信号 1) 数学表达式
xi(t)
1 2 t xi (t ) 2 0
2) 拉氏变换
t0 t0
0
t
1 L[ xi (t )] 3 s
控制工程基础
第二章 数学模型
5、指数函数信号 1) 数学表达式
f (t ) e
at
1 L[ f (t )] as
理 线性系统：满足叠加原 1. 加原理 非线性系统：不满足叠
x1(t)
x2(t)
系统
y1(t)
y2(t)
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统
ay1(t)+by2(t)
定常系统：若xt yt , 则xt y t 2. 要求 时变系统：不满足上述
即：定常系统的参数 ai , b j 不随时间变化，且与输 入、输出无关。
控制工程基础
第二章 数学模型
（一）、建立微分方程模型的步骤
1、分析系统的结构、工作原理以及信号传递变
换过程，确定系统和各元件的输入、输出变量；
2、从系统的输入端开始，按信号传递顺序根据
各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件关 于中间变量的原始微分方程； 3、消去中间变量，得到一个描述元件或系统输 入、输出变量之间关系的微分方程。
建立控制系统的数学模型，并在此基础上
对控制系统进行分析、综合，这是控制工程的
基本方法。
控制工程基础
第二章 数学模型
二、数学模型的种类
控制工程基础
第二章 数学模型
三、数学模型的建立方法 建立数学模型通常有两种方法，即解析法 和实验法。 解析方法——根据系统各环节所遵循的物
理或化学规律分别列写相应的运动方程，这
控制工程基础
第二章 数学模型
三、典型信号拉氏变换 1、单位脉冲信号
f(t) 1/ε
1 xi (t ) 0
1)单位脉冲信号数学表达式
0t t 0, t
0
ε
t
xi (t )dt 1
称单位脉冲信号
控制工程基础
第二章 数学模型
2)理想单位脉冲信号数学表达式
1 u(t ) 0
2) 拉氏变换
t 0 t 0
1 L[u (t )] s
0
t
控制工程基础
第二章 数学模型
3、单位斜坡/速度信号 1) 数学表达式
xi(t)
t xi (t ) 0
2) 拉氏变换
t 0 t 0
1
0
1
t
1 L[ xi (t )] 2 s
控制工程基础
控制工程基础
第二章 数学模型
解：
控制工程基础
第二章 数学模型
练习题：
如图所示系统，试列写系统输入输出的微分
方程模型。
K C (b) y0(t) M Fi(t)
控制工程基础
第二章 数学模型
§ 2-2 拉普拉斯变换及反变换
§ 2.2.1 拉普拉斯变换
一、定义：设f (t )为定义在[0,)上的实值函数 , t为实变量，若对于复变 量s j，线性积分
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-2 如图所示系统，试列写系统输入输出的
微分方程模型。
M—质量；k—弹性系数；C—粘性阻尼系数
Fi(t)——输入切削力；y0(t)——输出位移。
控制工程基础
第二章 数学模型
解：
控制工程基础
第二章 数学模型
例2-3如下图所示由两级RC电路串联组成的无源滤波电路，
试列写以电压u1为输入量、电压u0为输出量的滤波电路的 微分方程