北师大版九下数学第二章 二次函数(共84张PPT)

一元二 次方程 与二次 函数
交点情况 求一元二次方程的近似根 根据图像判断不等式的解集
用二次 函数解 决实际 问题
几何图形面积的最值问题 利润最大化问题 抛物线形问题
归纳整合
专题一 二次函数的图像与性质
【要点指导】解决这类问题主要是理解二次函数的定义与性质. 对于二次函数的性质有时要把表达式和图像联系起来理解.
相关题3-1 已知直线y=x-2与某抛物线相交于(2, m), (n, 3)两点, 抛物线的对称轴是直线x=3, 求抛物线的函数表达式.
解: 把(2，m)代入y＝x－2，得m＝2－2＝0. 把(n，3)代入y＝x－2，得3＝n－2，得n＝5， 即直线与抛物线交于(2，0)，(5，3)两点． ∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)． 设y＝a(x－2)(x－4)． 把(5，3)代入上式，得3＝a×(5－2)×(5－4)， ∴a＝1，∴y＝(x－2)(x－4)＝x2－6x＋8.
专题四 二次函数与一元二次方程的关系
【要点指导】 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有三 种情况：没有交点、有一个交点、有两个交点, 这分别对应着一元 二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的三种情况：没有实数根、有两 个相等的实数根、 有两个不相等的实数根.
例2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如 图2-Z-3所示, 那
么下列判断不正确的是(B ).
A．ac<0
B．a-b+c＞0
C．b=-4a
D．b2-4ac＞0
相关题2 已知抛物线y=ax2+bx+ c(a≠0)的对称轴为直线 x=-3 1,
其图像如图2-Z-4 所示, 则下列结论正确的是( D ).
A．abc＜0
B．a+b+c＞0
C．a-2b+4c＜0
D．b+2c＞0
解析
选项 A B
C
D
正误
理由
× 由图像可知 a＜0，b＜0，c＞0，故 abc＞0
× 根据图像可知，当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＜0 × ∵a－2b＋4c＝414a－12b＋c，根据图像可知当 x＝－12时，y＝14a
解析 当a＜0时，二次函数图像的顶点在y轴负半轴上，一次函数的图像经 过第一、二、四象限；当a＞0时，二次函数图像的顶点在y轴正半轴上，一 次函数的图像经过第一、二、三象限．
专题二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数的关系
【要点指导】 a的值与图像的开口方向有关, 开口向上时,a＞0；开口 向下时, a<0. 当对称轴在y轴左侧时, a, b同号；当对称轴在y轴右侧 时, a, b异号．图像与y轴的交点在y轴正半轴上时, c＞0；图像与y轴 的交点是原点时, c=0；图像与y轴的交点在y轴负半轴上时, c<0. 当 图像与x轴有两个交点时, b2-4ac＞0；当图像与x轴只有一个交点时, b2-4ac=0；当图像与x轴没有交 点时, b2-4ac<0.
－12b＋c＞0，故 414a－12b＋c＞0，即 a－2b＋4c>0 √ 由抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－13，知 a＝32b，而当 x＝－1
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
例3 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与抛物线y=2x2的开口方向相反、 形状相同, 顶点坐标为(3, 5). (1)求抛物线y=ax2+bx+c的函数表达式； (2)求抛物线y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点坐标.
解: (1)∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2的开口方向相反、形 状相同, ∴a=2. 又∵抛物线的顶点坐标为(3, 5), ∴y=-2(x-3)2+5= -2x2+12x-13. (2)当x=0时, y=-13, 即抛物线与y轴的交点坐标为(0, -13)；当y=0时,
第二章 二次函数
章末复习
第二章 二次函数
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
知识框架
二次函数所描 述的关系
二 次函数的 图像
性质
一元二次方程 与二次函数
二次函数的表 达式
直角三角形 的边角关系
用二次函数解 决实际问题
二次函数 所描述的
关系
实际问题情境 二次函数的定义
二次函数 的图像
y=ax2(a≠0)
相关题3-2 若抛物线l：y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴交于A(-1, 0), B(4, 0)两点, 且交y轴负半轴于点C. 若OC=2, 求抛物线的表达式.
解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点， ∴设抛物线的函数表达式为 y＝a(x＋1)(x－4)． 由题意可知点 C 的坐标为(0，－2)， 将点 C 的坐标代入所设抛物线的函数表达式，得－2＝a×(0＋1)×(0－4)， 解得 a＝12， 故抛物线的函数表达式为 y＝12(x＋1)(x－4)＝12x2－32x－2.
例1 二次函数y=x2-2x-3的图像如图2-Z-1所 示, 下列说法中 错误的是(B ). A．函数图像与y轴的交点坐标是(0, -3) B．函数图像的顶点坐标是(1, -3) C．函数图像与x轴的交点坐标是(3, 0), (-1, 0) D．当x＜0时, y随x的增大而减小
相关题1 [锦州中考]在同一平面直角坐标系中, 一次函数y= ax+2 与二次函数y=x2+a的图像可能是( C ).
平移
y=ax2+c, y=a(x-h)2
平移
二次函数图像的对称轴、 பைடு நூலகம்点坐标公式
y=a(x-h)2+k 配方 y=ax2+bx+c
二次 函数 的表 达式
性质
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性