哈尔滨市松北区九年级上期末数学试卷含答案解析(1).doc

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的相反数是（）
A．﹣B．C．﹣2 D．
2．下列运算正确的是（）
A．m4•m2=m8B．（m2）3=m6C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．3m﹣2m=2
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．不等式组的解集是（）
A．﹣1＜x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．x＞﹣1 D．x≤3
6．已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）
A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2
7．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）
A．45°B．60°C．70°D．90°
8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（）
A．B．3 C．D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB 的面积为（）
A．25 B．9 C．21 D．16
10．如图，⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN 分别相交于D，C两点．设AD=x，BC=y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．上海世博会的中国馆利用太阳能发电，年发电量可达2 840 000度，把2 840 000用科学记数法可表示为．
12．函数y=中自变量x的取值范围是．
13．因式分解：ax2﹣4axy+4ay2=．
14．方程：=x﹣2的解为．
15．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是．
16．某种商品如果以240元售出，则可以获得20%的利润，则该商品的实际进价为元．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形面积是．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．
19．△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且DA=DB，此时△ACD也恰好为等腰三角形，则∠BAC=．
20．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点F在AC的中点，AD⊥BF，垂足为E，若DE=2，则△ADF 的面积为．
三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=sin45°+tan60°．
22．图1、图2分别是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的正方形，并求出此正方形的面积；（所画正方形各顶点必须在小正方形的顶点上）
（2）在图2中画一个以线段AB为一边的等腰三角形，所画等腰三角形各顶点必须在小正方形的顶点上，且所画等腰三角形的面积为．
23．为迎接2015年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．
25．学校为丰富学生的业余生活，为学生购买篮球和排球．若买10个篮球和8个排球需1600元；若买15个篮球和20个排球需3200元．
（1）每个篮球和排球的售价分别多少元？
（2）若学校打算购买篮球和排球共50个，购买的费用不少于4685元，则至多购买篮球多少个？
26．在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，AC=BD．
（1）如图1，求证：AB=CD；
（2）如图2，作OF⊥CD于点F，求证：AB=2OF；
（3）如图3，若AD=4，BC=8，连接OE，求OE的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A（﹣1，0）在x轴上，与y轴交于点B，点C（1，4）为抛物线上一点，CD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作直线AE⊥x轴，交线段CD于点E，连接AP、PE，当∠APE=90°时，求tan∠PCE的值．
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的相反数是（）
A．﹣B．C．﹣2 D．
【考点】实数的性质．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
的相反数是﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．下列运算正确的是（）
A．m4•m2=m8B．（m2）3=m6C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．3m﹣2m=2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项逐一计算得出答案比较得出结论即可．
【解答】解：A、m4•m2=m6，计算错误；
B、（m2）3=m6，计算正确；
C、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，计算错误；
D、3m﹣2m=m，计算错误．
故选：B．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项等知识，掌握运算方法是解答的关键．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：图形（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形．符合题意；
图形（2）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
图形（3）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
图形（4）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
共1个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
4．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】几何图形问题．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得到一个正六边形．
故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．不等式组的解集是（）
A．﹣1＜x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．x＞﹣1 D．x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x≤3，
解②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3．
故选A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
6．已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）
A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2
【考点】反比例函数的性质．
【专题】函数思想．
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，由k﹣2＞0即可解得答案．
【解答】解：∵y=的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣2＞0，
k＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
7．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）
A．45°B．60°C．70°D．90°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得
∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（）
A．B．3 C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】先根据BC=2，sinA=求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA==，BC=2，
∴AB=3．
∴AC===．
故选A．
【点评】本题利用角的正弦的定义和勾股定理．
9．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB 的面积为（）
A．25 B．9 C．21 D．16
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质△ABD≌△BDC，求得△ABD的面积，利用三角形相似的性质即可求得四边形AEFB的面积．
【解答】解：因为EF∥AB，DE：AE=2：3，
所以，
所以S△DEF：S△ABD=4：25，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25，
所以△DEF的面积为4，
则四边形AEFB的面积为21．
故答案为C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积比与相似比的关系式解题的关键．
10．如图，⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN 分别相交于D，C两点．设AD=x，BC=y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
【解答】解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC﹣BF=y﹣x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y﹣x）2+122，
整理为y=，
∴y与x的函数关系式是y=，
y是x的反比例函数．
故选A．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．上海世博会的中国馆利用太阳能发电，年发电量可达2 840 000度，把2 840 000用科学记数法可表示为 2.84×106．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2 840 000用科学记数法表示为：2.84×106．
故答案为：2.84×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数y=中自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．因式分解：ax2﹣4axy+4ay2=a（x﹣2y）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．
【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2）
=a（x﹣2y）2．
故答案是：a（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．方程：=x﹣2的解为x=1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：x﹣3=2x﹣4，
解得：x=1，
故答案为：x=1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
15．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出
的恰为一男一女的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】此题可以借助于列表法求解，一共有20种情况记为m，其中选出的恰为一男一女的有12种情况记为n，根据概率公式可知选出的恰为一男一女的概率是=．
∴选出的恰为一男一女的概率是=．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．某种商品如果以240元售出，则可以获得20%的利润，则该商品的实际进价为200元．【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设该商品的进价是x元，根据进价+利润=售价列出方程，解方程即可．
【解答】解：设该商品的进价是x元，根据题意得
x+20%x=240，
解得x=200．
即该商品的进价是200元．
故答案为：200．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形面积是12π．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】计算题．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意得，n=120°，R=6，
故可得扇形的面积S===12π．
故答案为12π．
【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为3cm．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
19．△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且DA=DB，此时△ACD也恰好为等腰三角形，则∠BAC=90°或108°．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠BAD=∠B，由△ACD也恰好为等腰三角形，如图1，当AD=CD，于是得到∠CAD=∠C，求得∠BAC=×180°=90°，如图2，当AC=CD，根据等腰三
角形的性质得到∠CAD=∠ADC，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，根据三角形的内角和列方程得到∠C+2∠C+2∠C=180°，求得∠C=36°，即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵△ACD也恰好为等腰三角形，
如图1，当AD=CD，
∴∠CAD=∠C，
∴∠BAC=×180°=90°，
如图2，当AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∵∠C+∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠C+2∠C+2∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴∠B AD=36°，∠CAD=72°，
∴∠BAC=108°．
故答案为：90°或108°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据等边对等角及角的倍数关系，列方程解题．
20．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点F在AC的中点，AD⊥BF，垂足为E，若DE=2，则△ADF
的面积为．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G，求出∠ABF=∠CAG，然后利用“角边角”证明△ABF 和△CAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CG，全等三角形对应角相等可得∠G=∠AFB，从而得到∠CFD=∠G，再求出∠DCF=∠DCG=45°，然后利用“角角边”证明△CDF和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，DG=DF，然后等量代换得到AF=CF，设EF=x，然后表示出AE、BE、BF，再表示出DF，然后利用勾股定理列出方程求出x，从而得到AD、EF，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAG+∠BAE=90°，
∵BF⊥AD，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠ABF=∠CAG，
在△ABF和△CAG中，
，
∴△ABF≌△CAG（ASA），
∴AF=CG，∠G=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CFD=∠G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，CG⊥AC，
∴∠DCF=∠DCG=45°，
在△CDF和△CDG中，
，
∴△CDF≌△CDG（AAS），
∴CG=CF，DG=DF，
∴AF=CF=AC，
设EF=x，则AE=2x，BE=2AE=4x，
AG=BF=BE+EF=4x+x=5x，
∵DE=2，
∴DF=DG=5x﹣2x﹣2=3x﹣2，
在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2，
22+x2=（3x﹣2）2，
解得x=，
所以，AE=2×+2=5，
△ADF的面积=×5×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=sin45°+tan60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
当x=×+=1+时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．图1、图2分别是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的正方形，并求出此正方形的面积；（所画正方形各顶点必须在小正方形的顶点上）
（2）在图2中画一个以线段AB为一边的等腰三角形，所画等腰三角形各顶点必须在小正方形的顶点上，且所画等腰三角形的面积为．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）根据正方形的性质和AB的长度作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的面积为作图即可．
【解答】解：（1）如图所示：
由勾股定理可知AB==5．
正方形的面积=AB2=25．
（2）如图所示：△ABC即为所求．
∵S△ABC=S ADEC﹣S△BCE﹣S△ABD，
∴S ABC=﹣
=10﹣0.5﹣6
=3.5．
【点评】本题主要考查的是作图﹣与应用设计作图，根据AB=5，△ABC的面积=3.5确定出点C的位置是解题的关键．
23．为迎接2015年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，样本中表示成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若该中学九年级共有l 000人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】计算题．
【分析】（1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为50，然后用成绩类别为“中”的人数所占百分比乘以50即可，再将条形统计图补充完整；
（2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以2000即可．
【解答】解：（1）样本容量为8÷16%=50，
所以成绩类别为“中”的人数等于50×20%=10（人）；
如图；
（2）1000××100%=200，
所以估计该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体和扇形统计图．
24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）证△ADE≌△CBF，得AD=CB，从而得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质容易得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，
∴∠E=∠F，∠DAC=∠BCA，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：AD=BC、EC=AF、ED=BF、AB=DC；理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，ED=BF，
∵AE=CF，
∴EC=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．学校为丰富学生的业余生活，为学生购买篮球和排球．若买10个篮球和8个排球需1600元；若买15个篮球和20个排球需3200元．
（1）每个篮球和排球的售价分别多少元？
（2）若学校打算购买篮球和排球共50个，购买的费用不少于4685元，则至多购买篮球多少个？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设每个蓝球售价为x元，每个排球的售价为y元，根据“买10个篮球和8个排球需1600元；若买15个篮球和20个排球需3200元”列出方程组并解答．
（2）设购买篮球a个，则购买排球（50﹣a）个，根据“购买的费用不少于4685元”解答．
【解答】解：（1）设每个蓝球售价为x元，每个排球的售价为y元，
则，
解，得，
答：篮球每个80元，排球每个100元；
（2）设购买篮球a个，则购买排球（50﹣a）个，
则80a+100（50﹣a）≥4685，
解得a≤15．
答：篮球至多买15个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
26．在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，AC=BD．
（1）如图1，求证：AB=CD；
（2）如图2，作OF⊥CD于点F，求证：AB=2OF；
（3）如图3，若AD=4，BC=8，连接OE，求OE的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）由AC=BD，得到，于是得到=，即可得到结论；
（2）如图2，过O作OF⊥CD于F，连接CO并延长交⊙O于G，连接BG，DG，根据圆周角定理得到∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，根据余角的性质得到∠DCE=∠BCG，得到，求
得，得到AB=DG，推出OF∥DG，根据三角形的中位线的性质得到OF=DG，等量代换得到结论；
（3）如图3，过O作OM⊥AC于M，ON⊥B D于N，根据垂径定理得到BN=DN，AM=CM，由=，
得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACB，由圆周角定理得到∠CAD=∠DBC，等量代换得到∠ACB=∠DBC，得到△BCE是等腰直角三角形，同理△ADE是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AC=BD，
∴，
∴=﹣，
即：=，
∴AB=CD；
（2）如图2，过O作OF⊥CD于F，连接CO并延长交⊙O于G，连接BG，DG，
∴∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，
∵AC⊥BD，
∴∠CDE+∠DCE=∠BGC+∠BCG=90°，
∴∠DCE=∠BCG，
∴，
∴，
∴AB=DG，
∵OF⊥CD，DG⊥CD，
∴OF∥DG，
∵OC=OG，
∴CF=DF，
∴OF=DG，
∴OF=AB；
（3）如图3，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，∴BN=DN，AM=CM，
∵=，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴△BCE是等腰直角三角形，
同理△ADE是等腰直角三角形，
∵AD=4，BC=8，
∴AE=DE=2，BE=CE=4，
∴BD=AC=6，
∴BN=DN=AM=CM=3，
∴NE=EM=，
∴OE=2．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A（﹣1，0）在x轴上，与y轴交于点B，点C（1，4）为抛物线上一点，CD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴左侧图象上一动点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，作直线AE⊥x轴，交线段CD于点E，连接AP、PE，当∠APE=90°时，求tan∠PCE的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意设为顶点式代入点C即可求解；
（2）连接PC，PB，BC，过点P作平行于x轴的直线交BC于点Q，运用点P的横坐标为t，表示纵坐标y=t2+2t+1，进一步表示线段PQ的长度，利用△PBC的面积S=S△PCQ+S△PQB即可求解；（3）过点P作平行于y轴的直线，交x轴于点M，交CD于点H，构造相似三角形△HPE∽△MAP，
运用对应边的比相等，建立等量关系=，进一步求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线的顶点A（﹣1，0），设抛物线为：y=a（x+1）2，
把点C（1，4）的坐标代入得：4=a（1+1）2，
解得：a=1，
∴y=（x+1）2，
抛物线的解析式为：y=x2+2x+1．
（2）如图1，连接PC，PB，BC，过点P作平行于x轴的直线交BC于点Q，
y=x2+2x+1，当x=0，y=1，∴点B（0，1），
设直线BC解析式为：y=mx+n，
把点B（0，1），和点C（1，4）代入得：
解得：，
∴y=3x+1，
设点P的横坐标为t，则纵坐标为：t2+2t+1，
把y=t2+2t+1代入y=3x+1，
得：x=，
∴PQ=﹣t=，
∴△PBC的面积为S=S△PCQ+S△PQB=×PQ×[4﹣（t2+2t+1）+（t2+2t+1）﹣1]=×PQ×（4﹣1）=××3=t2﹣t，
∴S=t2﹣t．
（3）如图2，过点P作平行于y轴的直线，交x轴于点M，交CD于点H，
∵CD∥x轴，
∴PH⊥CD，PM⊥x轴，
∴∠PHE=∠AMP=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠HPE+∠APM=90°，
∵∠HPE+∠PEH=90°，
∴∠APM=∠PEH，
∴△HPE∽△MAP，
∴，
由（2）点P（t，t2+2t+1），
∴AM=﹣1﹣t，PM=t2+2t+1，
∵CD∥x轴，点C（1，4），
∴PH=4﹣（t2+2t+1）=3﹣（t2+2t），
HE=AM=﹣1﹣t，
∴=，
解得：t=﹣1﹣，或t=﹣1+（舍去），
∴PH=3﹣（t2+2t）=1，
CH=1﹣（﹣1﹣）=2+，
在直角三角形PHE中：tan∠PCE===2﹣．
【点评】此题考查了待定系数法求解析式，灵活运用顶点式是求解析式的关键；在解决形积问题时，会运用坐标表示线段，会运用已知建立数量关系是解题的关键．。