河北省鸡泽县第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

河北省鸡泽县第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题
1. 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷满分150分，时间120
分钟.
2. 请将答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在等差数列{}n a 中，若134=a ，257=a ，则公差d 等于
A ．1
B ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2.已知p q x x q x p 是则,02:;2|:|2
<--<的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.在△ABC 中，若a 2+b 2＜c 2，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
4.已知命题p :负数的立方都是负数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是
A ．()q p ∨⌝ Ｂ．q p ∧ C ．()()q p ⌝∨⌝ D ．()()q p ⌝∧⌝ 5.已知F 是双曲线C ：2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A B .3 C D .3m
6.已知数列{n a }是递增等比数列，16,174251==+a a a a ，则公比=q A ．4- B ．4
C ．2-
D ．2
7.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ） A ．800米 B ．700米 C ．500米 D ． 400米 8.在下列函数中，最小值是2的是（ ）
11lg (110)lg A y x B y x x x
x
=+
=+
<<
133()
sin (0)sin 2
x x C
y x R D y x x x π-=+∈=+
<< 9.已知实数x ，y 满足如果目标函数z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则实数m 等于（ ）
A ．﹣4
B ．﹣2
C ．0
D ．1
10.已知抛物线2
2
1x y =的焦点与椭圆
1222=+x m y 的一个焦点重合，则m=（ ） A ．
47 B ．64127 C ． 49 D ．64
129
11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比)1,0(∈q .若553=+a a ,
462=a a ,n n a b 2log =数列{}n b 的前n 项和为n S ,则当
n
S S S n +++ 212
1取最大值时,n 的值为 （ ）
A.8
B.9
C.8或9
D.17
12.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且
2
),221(2121π
λλ=∠≤≤=PF F PF PF ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.]22,
0( B. ]35,22[ C. ]53,32[ D.)1,3
5[
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应的位置上。

） 13.命题“0,x R ∃∈使00lg sin x x =”的否定是 ______ ．
14.过抛物线y 2
=4x 的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A 、B 两点，则|AB|= ______ ． 15.设a ＞0，b ＞0，
是a 与b 的等比中项，log a x=log b y=3，则
的最小值为 ．
16．已知点P 为椭圆12
32
2=+y x 上一动点，F 为椭圆的左焦点，若直线PF 的斜率大于2，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围为______ ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且，cos (2)cos a C b c A =- （1）求A cos 的值；
（2）若6=a ，8=+c b ，求三角形ABC 的面积． 18．（本小题满分12分） 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=2，a n+1=S n +2（n ∈N *）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na n }的前n 项和T n ． 19．（本小题满分12分）
某商厦欲在春节期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量s 万件与促销费用
x 万元满足3
42
s x =-
+．已知s 万件该商品的进价成本为203s +万元，商品的销售价格定为30
5s
+
元/件． （1）将该商品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？
20．(本小题满分12分）
已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5. （1）求C 的方程；
（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n
S n n N n
+∈均在函数32y x =+的图象上. (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)设n T 是数列13{
}n n a a +的前n 项和，求使20
n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .
22．（本小题满分12分）
已知点(0,2)A -，椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3，F 是椭圆的焦点，直线
AF 的斜率为
23
，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
A
C
C
A
D
B
C
A
C
C
B
二、填空题
13. ,x R ∀∈使sin lg x x ≠ 14. 8 15、
16. )3
3
2,32()332,( -
-∞ 三、解答题
17、（本小题满分10分）
解：解：由已知及正弦定理可得A B A C C A cos sin 2cos sin cos sin =+……………2分 由两角和的正弦公式得A B C A cos sin 2)sin(=+………………………………………3分 由三角形的内角和可得A B B cos sin 2sin =…………………………………………… 4分
因为0sin ≠B ，所以2
1
cos =
A ……………………………………………………………5分 (2) 由余弦定理得：()bc bc c b bc c b 36432
123622
2-=-+=⨯-+=，
3
28
=∴bc ，…………………………………………………………………………………8分
由（1）知2
3
sin =
A ……………………………………………………………………9分 所以3
372332821=⨯⨯=
∆ABC S .………………………………………………………10分
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由a 1=2，a n+1=S n +2（n ∈N *），①
a n =S n ﹣1+2（n ≥2），②…………………………………………………………………1分 ①﹣②，得
（n ≥2）．………………………………………3分
又由a 2=S 1+2=4，得．……………………………………………………………4分
所以（n ≥1），
数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得
，③
2T n =1×22+2×33+3×24+…+n ×2n+1，④……………………………………………7分 ③﹣④，得．………………………………………9分
所以
．…………………………………………………………………12分
19、（本小题满分12分）
解：（1）由题意知，x s s x s s
y -+=+--+=102)320()30
5( 将234+-=x s 代入化简得：x x y -+-=2
6
18；
（2）)]2(2
6[202618+++-=-+-
=x x x x y ∵
62)2(26≥+++x x ，当且仅当22
6+=+x x ，即26-=x 时，取等号， ∴26-=
x 时，商家的利润最大，最大利润为6220-．
20、（本小题满分12分）
、解：（1）法一：抛物线C : )0(22
>=p px y 的焦点F 的坐标为)0,2
(
p
，
由已知2235
m p ⎧=⨯=…………………………………………2分 解得4=p 或16-=p ∵0>p ，∴4=p
∴C 的方程为x y 82
=.……………………………………………………4分 法二：抛物线C : )0(22
>=p px y 的准线方程为,2
p
x -= 由抛物线的定义可知3()52
p
--
= 解得4=p ……………………………………………………3分
∴C 的方程为x y 82
=.……………………………………………………4分 （2）法一：由（1）得抛物线C 的方程为x y 82
=，焦点)0,2(F 设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，
则211222
88y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………6分 两式相减。

整理得
1
212128
y y x x y y +=--
∵线段AB 中点的纵坐标为1- ∴直线l 的斜率42
)1(8
812-=⨯-=+=
y y k AB ……………………………………10分
直线l 的方程为)2(40--=-x y 即084=-+y x ……………………………………12分 法二：由（1）得抛物线C 的方程为x y 82
=，焦点)0,2(F 设直线l 的方程为2+=my x
由282
y x x my ⎧=⎨=+⎩
消去x ，得2
8160y my --=
设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， ∵线段AB 中点的纵坐标为1-
∴
12(8)
122
y y m +--==- 解得4
1
-=m ……………………………………10分
直线l 的方程为24
1
+-=y x 即084=-+y x ……………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解： (1)依题意，S n
n
＝3n －2，即S n ＝3n 2
－2n ，…………………………1分
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]
＝6n －5. ……………………………………………3分 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1符合上式，…………………………4分 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．…………………………5分 又∵a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6，
∴{a n }是一个以1为首项，6为公差的等差数列．…………………………6分 (2)由(1)知， 3a n a n ＋1＝
36n －5
[6n ＋1－5]＝12(16n －5－1
6n ＋1
)，…………………………8分
故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－1
6n ＋1)， (10)
分
因此使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，
即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10. …………………………12分 22（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知
223
3
c =，得3c = 又
3
2
c a =，
所以a=2，2
2
2
1b a c =-= ,故E 的方程2
214
x y +=. ………4分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y
将2y kx =-代入2
214
x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当2
16(43)0k ∆=->，即2
34k >时，21,22
8243
14k k x k
±-=+ 从而222
124143
1k k PQ k x +-=+-=…………………………7分
又点O 到直线PQ 的距离2
1
d k =+8分
所以∆OPQ 的面积214432OPQ
k S d PQ ∆-==，…………………………9分 243k t -=，则0t >，244
14
4OPQ t S t t t
∆=
=≤++， 当且仅当2t =，7
k =0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：72y x =- 或72y x =-. …………………………12分。