(word完整版)线性系统理论考试试卷A答案
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《线性系统理论基础》期末考试试卷（A ）
北京工业大学电控学院 日期：2011年6月17日
姓名：___________ 学号：___________ 得分: ___________
一、（20分)按如下要求建立系统的状态空间模型
（1）已知系统的微分方程描述为 326y y y y u +-+=,写出其状态空间模型. （2）已知系统由图1所示的基本模块构成，写出其状态空间模型。
图 1
解:(1）0121,2, 3.
6a a a b ==-==
010000
101236[1
00]x x u y x
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
= (2）
1111231132223122231233312
3
1232222234443102202114
430[110]x x u u u u x x x x u
x x u u x x x x x u y x x x x u
y x x x x x x
x x u y x
=+==-=-+⎧⎧⎪
⎪
=-+=+⇒
=--+=+⎨⎨⎪⎪=-+=+=+-⎩⎩-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⇒
=--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦=
二、（20分） 已知系统的状态空间模型为
010341[20]x x u y x
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦= （1）画出系统的结构框图.
（2）将该系统化为约当(或对角线)标准型.
（3)计算标准型系统在t u e -=激励下的零初态响应和输出响应。
解： （1)因为 122121342x x x x x u y x
=⎧⎪
=--+⎨⎪=⎩
所以系统的结构框图如下：
2
x
(2）
2121
(4)343(1)(3)
34
13
I A λλλλλλλλλλλ--==++=++=+++=-=-所以： 交换矩阵:
1319P --⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
131931*********P -⎡⎤--⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1
1003P AP --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
11216P B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[]
31CP =--
所以约旦标准型为: 11021036[31]x x u y x
⎡⎤
-⎢⎥-⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
=--
（3）
0330233121610()030()10
02100
61002110(1)026121()12t t
t t t
t t t t t t t
x t e e d e e e e d t e e e te e e e
e d τττττττ
ττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
--------------⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤-⎢⎥
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢-⎢⎣⎦
⎰⎰⎰⎥⎥ 331
()()
212
t t t y t te e e ---=-- 三、(20分）给定系统状态空间模型如下
[]2
1010200003110
2x x u y x
-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
= （1）判断该系统的能控性，写出判断过程。若不能控，分别指出能控和不能控的状态分量，并
进行能控子空间分解.
（2）写出原系统的对偶系统，并判断对偶系统的能控性。 解：(1）13x x 、能控,2x 不能控。
1133222011030=+10020x x x x u x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（2)
20011
2000032[101]T T
T A C B ψψηψψηϕψϕψ
⎧⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎧=-+=-+⎪⎪⎢⎥⎢⎥
⇒⎨⎨⎢⎥⎢⎥-=⎪⎣⎦⎣⎦
⎩⎪
⎪=⎩
原系统能观，所以对偶系统能控。
四、（10）给定线性系统如下
[]01023121x x u y x
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=-- （1）将其化成能控标准1型.
（2）判断系统的能观性。若不能观，则进行能观性子空间分解。
解：（1）
21
(3)232
23I A λλλλλλλ--==++=+++
所以:012,3a a ==
[][]11
111
11110
13113100231011
3101001211113C C C C C C C T T A b T b C CT --⎡⎤
⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥
-⎣⎦
⎣⎦
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
==--=-⎢⎥-⎣⎦
（2)
由于211221C rank rank n CA --⎡⎤⎡⎤
==<=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以系统不可观测。
101001
121,22010
11
12101220123011
12110,22231201T T AT --⎡⎤----⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎡⎤----⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤--
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣
⎦