第十五章 应变分析

２、应变增量
已知速度分量，在dt 时间里，质点产生的位移增量为 dui=uidt从而产生对应的应变增量dε。 应变增量与位移增量之间的关系，亦即几何方程（形 式上与小变形几何方程相同）
以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态， 在此基础上发生的无限小应变就是应变增量。
Note： ① 应变增量也是二阶对称张量，记为dεij ② 式中的d 表示增量，不是微分符号。
１、平面变形（仅三个应变分量）
因为w=0, 故 且各位移分量与Ｚ轴无关，
εz = γyx = γzx =0
Note： ① 一点的应变速率 也是一个二阶对称张量,记为
其单位为S-1。 ② 表示变形程度的变化快慢，不要与工具的移动速度相混同。 ③ dεij 和dεij/dt都是张量,故具有张量的全部数理性质。 ④ 对于理想塑性材料（它对变形速度不敏感），用dεij 和用 dεij/dt计算的结果相同；但是对于超塑性材料（它对于 dεij/dt敏感），则应采用dεij/dt来计算。
e 1
＝ 1
4、对数应变的特点： ① 可加应变，具有叠加性。
例如：某物体原长l0，经历l1， l2变为l3 ，总的对数应变为：
各阶段的应变为：
结论：对数应变反映了变形的积累过程，而相对应变则不具有可加性。
② 可比应变，具有可比性。
例如：试样拉长一倍后，再压缩到原长，有：
③对数应变∈不具有坐标旋转的性质，仅能用于主应变方向不变的情况。
三、应变连续方程（应变协调方程） 第一组连续方程 第二组连续方程
表明：在一个坐标平面内，两 个线应变分量一经确定，则 切应变分量也就被确定。
表明：在三维空间内三个切应 变分量一经确定，则线应变分 量也就被确定。
Note： （１）物理意义：仅当应变分量之间的关系满足上述方程时，物体变 形后保续，否则就会出现“撕裂”或“重叠”。 （２）仅在已知ui ，则由几何方程求得的εij 会自然满足连续方程。若 用其他方法求得 ，则需被验证满足连续方程，才能由几何方程求得正确的 位移分量。
2、线应变和切应变
3、应变分量和应变张量
单元体变形分析（六面体同时产生了线变形、切变形、刚体 的平移和转动）
4、点的应变状态与应力状态相类比 ① 可以求出该点任意方向上的线应变εxεyεz和切应变 γxy γyz γzx ② 存在三个相互垂直的主方向，对应有主应变ε1 、 ε2 、ε3 ，应变状态特征方程。 ③ 存在三个应变张量不变量I1 、I2 、I3，且塑性变形 时体积不变I1=0 ④ 存在主切应变γ1、γ12、γ13 与主方向成 45°角） ⑤ 应变球张量和应变偏张量分别表示体积变化和形 状变化 ⑥ 存在八面体应变和等效应变
二、位移分量和应变分量的关系——小变形几何方程
小变形几何方程
u 1 v w x＝ ; yz z y x 2 z y
y＝
v 1 w u ; zx xz y 2 x z
w 1 u v z＝ ; xy yx z 2 y x
３、应变速率———变形速度
dεx /dt=Əu/dx ; dεy /dt =Əv/dy ; dεz /dt =Əw/dz ; dγyz /dt = dγzy /dt =[Əv/Əz+Əw/Əy]/2 dγzx /dt = dγxz /dt =[Əw/Əx+Əu/Əz]/2 dγxy /dt = dγyx /dt =[Əu/Əy+Əv/Əx]/2
故对数应变∈不是张量。
六、塑性变形体积不变条件
微元体小变形后体积 ：
V1=γxγyγz ＝(1+εx)dx(1+εydy)(1+εz)dz ≈(1+εx+εy+εz)dxdydz
体积变化率 ：
θ= (V1－V0)/ V0=εx+εy+εz 显然，弹性变形时θ≠0；塑性变形时，由于材料连续且致密，体积变
第十五章 应变分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 位移与应变 质点的应变状态和应变张量 小应变几何方程、应变连续方程 塑性变形体积不变条件 速度分量和速度场、位移增量和应变增量 对数应变 平面应变问题和轴对称问题
第一节 位移与应变
1.位移及其分量
ui' ui ui
四、应变增量和应变速率
全量应变：单元体在某一变形过程或变形过程 中的某个阶段结束时的变形大小。
全量应变适用于解决小变形问题。塑性成形问题一 般是大变形。大塑性变形的全过程十分复杂。通常采用无 限小的应变增量描述某一瞬间的变形，整个变形过程可看 作是许多瞬间应变增量的累积。
１、速度场和速度分量
物体内任一点，速度分量 u = u ( x, y, z, t) v = v ( x, y, z, t) w = w ( x, y, z, t)
v v dx dy dz x y z w w w w＝ dx dy dz x y z v＝
说明：已知变形体内一点M的位移分量，则与其临近一点M’的位移分量 可以用M点的位移分量及其增量来表示
化很小，与形状变化相比可以忽略，故可假设其体积不变。 ① θ=εx+εy+εz = ε1+ε2+ε3 =0 （体积不变条件） ② ε1，ε2，ε3中，绝对值最大的应变永远和另两个应变的符号 相反，故塑性变形只能有三种类型。 ③ 体积不变条件是一项很重要的原则。
三种变形特征见下图
七、平面变形和轴对称变形的应变状态分析
或 dεij/dt，
五、塑性变形程度的表达式
1、相对应变 相对应变又可分为相对伸长应变和相对断面收缩率。其中：
（1）相对伸 长 （2）相对断面收缩率
2、对数应变（真实应变） 反映了物体变形的实际情况，故又称为真实应变。
3、三种应变的关系 （在出现缩颈之前的均匀拉伸状态）
l0 l l1 ＝ln ln ln(1 ) l0 l0