高三文科数学一轮复习资料、复习补习资料(含基础版和提高版)：第十章 算法初步、统计、统计案例

高考总复习：算法与程序框图
【考纲要求】
1.算法的含义、程序框图
（1）了解算法的含义，了解算法的思想；
（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环。

2.基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。

【知识网络】
【考点梳理】
考点一、算法
1．算法的概念
（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。

（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

2．算法的特征：
①指向性：能解决某一个或某一类问题；
②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.
③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。

3．算法的表示方法：
（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；
（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。

要点诠释：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。

考点二：程序框图
1. 程序框图的概念：
程序框图又称流程图，是最常用的一种表示法，它是描述计算机一步一步完成任务的图表，直观地描述程序执行的控制流程，最便于初学者掌握。

2.程序框图常用符号：
3.画程序框图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

4.算法的三种基本逻辑结构：
（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。

这是任何一个算法都离不开的基本结构。

（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支流向的结构。

它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。

（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构。

考点三：基本算法语句
程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句。

以下均为BASIC语言。

1.输入语句
这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。

每次运行程序时，计算机每次
都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。

INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
要点诠释：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。

②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面不需要。

2.输出语句
它的一般格式是：PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。

输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息；
（2）输出数值计算的结果。

3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。

它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。

赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。

要点诠释：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）。

④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。

它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。

在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
IF 条件 THEN
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。

要点诠释：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。

需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。

5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句。

（1）WHILE语句的一般格式是：
WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。

WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。

当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。

这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

（2）UNTIL语句的一般格式是：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
要点诠释：当型循环在进行循环前对控制条件进行判断，当条件满足时就反复循环，不满足就停止；直到型循环在进行一次循环后，对控制条件进行判断，当条件不满足时就反复循环，满足就停止。

1．算法与框图是新课标教材中新增的内容，但也曾与其它板块知识结合出现在前几年的各类考试中，其思想方法渗透在高中数学课程的其他相关内容中。

考题应考查算法的思想，基本结构为主，多以选择题、填空题的形式呈现。

2．根据本章知识的特点，复习中应加强对算法思想的理解，了解算法的基本逻辑结构，掌握算法基本语句的使用。

3．仔细审题．在画流程图时首先要进行结构的选择，套用公式．若求只含有一个关系的解析式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断后才能执行后继步骤的，就必须引入选择结构；如果问题里涉及了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构．当然应用循环结构里边一定要用到顺序结构与选择结构．循环结构有两种：直到型和当型，两种都能解决问题．
【典型例题】
类型一：算法的含义
【例1】已知球的表面积是16π，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法.
【思路点拨】先根据表面积算出球的半径，再根据球的体积公式求出球的体积，将上面步骤分解并分别写出即可得到算法。

【解析】算法如下：
第一步，s＝16π.
第二步，计算R=
第三步，计算
3
4
3
R V
π=
第四步，输出V.
【总结升华】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况；
(2)将此问题分成若干个步骤；
(3)用简练的语句将各步表述出来.
举一反三：
【变式1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I＜13成立时，只能运算
1×3×5×7×9×11.故选A.
【变式2】写出找出1至1 000内7的倍数的一个算法.
解答：算法1：
S1 令A=0;
S2 将A不断增加1，每加一次，就将A除以7，若余数为0，则找
到了一个7的倍数，将其输出;
S3 反复执行第二步，直到A=1 000结束.
算法2：
S1 令k=1;
S2 输出k·7的值;
S3 将k的值增加1，若k·7的值小于1 000，则返回S2，否则结束.
算法3：
S1 令x=7;
S2 输出x的值;
S3 将x 的值增加7，若没有超过1 000，则返回S2，否则结束. 类型二：程序框图
【例2】写出解方程0ax b +=（a b R ∈、）的相应程序及程序框图。

【思路点拨】因为a b R ∈、，解方程0ax b +=时需要先对最高次项的系数a 是否为0进行判断。

若0a ≠，则方程的解为b x a
=-
； 若0a =，则需要再次判断b 是否为0， 若0b =，则方程的解为全体实数， 若0b ≠，则方程无实数解。

据此可以用条件语句来实现。

【解析】程序： INPUT “a,b=”；a,b IF a<>=0 THEN
b x a
=-
PRINT “原方程的根为”；x ELSE
IF b<>=0 THEN PRINT “方程无实数根” ELSE
PRINT “方程的根为全体实数” END IF END IF END 程序框图：
【总结升华】在写出算法时，应当对所要解决的问题有深入、全面的了解；条件分支结构的运用与分类讨论的数学思想密切相连；设计算法时，什么地方要进行分类讨论，什么地方就要用条件分支结构。

举一反三：
【变式1】写出用二分法求函数()y f x =在区间[1,2]的零点（精确到0.01）的程序框图及相应程序。

【解析】 程序： a=1 b=2 DO
IF ()02
a b
f += THEN EXIT ELSE IF ()()02
a b
f a f +< THEN
2
a b
b += ELSE 2
a b
a +=
输出2
a b +
END IF
LOOP UNTIL 0.01b a -<
PRINT
2
a b
+ 程序框图：
【例3】执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )
【思路点拨】 根据程序框图(算法流程图)分析出该程序框图的功能进行求解．
【总结升华】 识别运行算法框图和完善算法框图是高考的热点． 解答这一类问题，
第一，要明确算法框图的顺序结构、选择结构和循环结构； 第二，要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题； 第三，按照题目的要求完成解答．对算法框图的考查常与数列和 函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
类型三：条件结构
【例3】已知函数2
23
(0)2
(0)
x x y x x ->⎧=⎨+≤⎩，写出求该函数的函数值的算法并画出程序
框图。

【思路解析】分析算法→写出算法→选择合适的逻辑结构→画出程序框图。

【解析】算法如下： 第一步：输入x ；
第二步：如果(0)x >，那么使23y x =-， 否则2
2y x =+； 第三步：输出y 。

程序框图如下：
【总结升华】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
举一反三：
【变式1】阅读如图的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( ) A.i ＜3？ B.i ＜4？ C.i ＜5？ D.i ＜6？
【解析】i ＝1，s ＝2－1＝1； i ＝3，s ＝1－3＝－2；
i ＝5，s ＝－2－5＝－7.所以选D.
【变式2】写出解方程20ax x b ++=的一个算法，并画出程序框图。

【解析】 算法步骤：
第一步：判断a 是否等于0 如果0a =，则解得x b =-； 如果0a ≠，则执行第二步； 第二步：计算14ab ∆=-；
第三步：若0∆<，则原方程无实数根；否则，0∆≥，
有112x a --=
212x a
-=； 第四步：输出方程无实数根的信息或1x 、2x 。

程序框图：
类型四：循环结构
【例4】(2015 新课标II 卷)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”，执行该程序框图，如输入的a ,b 分别为14,18，则输出的a =( )
A.0
B.2
C.4
D.14
【思路点拨】本题只要理解赋值语句a=a-b和b=b-a的含义便迎刃而解.
【答案】B
【解析】由a=14,b=18,a<b,则b变为18-14=4，
由a>b则a变为14-4=10
由a>b则a变为10-4=6
由a>b则a变为6-4=2
由a<b则b变为4-2=2，此时a=b输出a的值为2.故选B.
【总结升华】循环结构是高考的热点问题，解决此类问题一般采用步步推进的策略，直至得到最后结果.
举一反三：
【变式】(2015 重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A.
3
4
≤
s B.
5
6
≤
s C.
11
12
≤
s D.
25
24
≤
s
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图，k的值依次为0,2,4,6,8
因此
11111
24612
=++=
S(此时k=6)，因此可填
11
12
≤
S故选C.
类型五：输入、输出、赋值语句的应用
【例5】阅读程序框图(如下图)，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝，i＝.
【解析】a ＝12，i ＝3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【例6】阅读下列程序，并回答问题．
（1）程序 （2）程序
（1）中若输入1，2，则输出的结果为________； （2）中若输入3，2，5，则输出的结果为________． 【答案】（1）1，―2，―1（2）C=―3
【解析】 分别将输入的值代入程序中逐步计算即可，要注意赋值前后变量值的变化． （1）阅读程序，由a=1，b=2，c=a ―b 可得c=―1；又根据语句b=a+c ―b ，可得b=―2； 所以程序运行后的结果为：1，―2，―1．
（2）阅读程序，由A=3，B=2，C=5，A=A+B ，可得A=5，
INPUT a ，b c=a ―b b=a+c ―b PRINT a ，b ，c INPUT A ，B ，C A=A+B B=B －A C=C ／A*B PRINT “C=”；C END
又根据语句B=B ―A ，可得B=―3， 又C=C ／A*B ，所以输出结果为C=―3．
【点评】赋值语句在给变量赋值时，先计算赋值号右边的式子然后赋值给赋值号左边的变量；另外可以给一个变量先后多次赋不同的值，但变量的取值只与最后一次赋值有关．解决此类问题时要时刻把握某个变量在该程序中充当的角色，时刻关注其值的改变情况． 举一反三：
【变式】写出下列语句描述的算法的输出结果． （1）
（2）
（3）
【答案】（1）16 （2）a=1 b=2 c=3（3）a=20 b=30 c=20 【解析】 （1）∵a=5，b=3，42
a b
c +=
=，∴d=c 2=16． （2）∵a=1，b=2，c=a+b ，∴c=3．又将a+c ―b 赋值给b ，∴b=1+3－2=2． （3）由b=20及a=b 知a=20，由c=30及b=c 知b=30，由a=30及c=a 知c=20． 类型五：循环语句的应用 【例6】设计算法求
112⨯＋123⨯＋134
⨯＋…＋199100⨯的值.要求画出程序框图，写
出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，
a=5
b=3
c=(a+b)/2
d=c*c
PRINT “d=”；
d
a=1
b=2
c=a+b
b=a+c ―b
PRINT “a=，b=，c=”；a ，b ，
c
a=10
b=20
c=30
a=b
b=c
c=a
PRINT “a=，b=，c=”；a ，b ，
c
用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示：
程序如下：
【点拨】(1)在用WHILE语句和UNTIL语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.
举一反三：
【变式】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知，当N＝1时，A＝1；N＝2时，A＝1
3
；N＝3时，
A＝1
5
，…，即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故
当N＝50时，A＝
1
1(501)2
+-⨯
＝
1
99
，即为框图最后输出的一个数据.故填
1
99
.
类型五：求最大公约数
【例7】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：
1 764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0.
所以840与1 764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：
556－440＝116，
440－116＝324，
324－116＝208，
208－116＝92，
116－92＝24，
92－24＝68，
68－24＝44，
44－24＝20，
24－20＝4，
20－4＝16，
16－4＝12，
12－4＝8，
8－4＝4.
所以440与556的最大公约数是4.
【总结升华】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约
数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
举一反三：
【变1】求147,343,133的最大公约数. 【解析】先求147与343的最大公约数.
343－147＝196， 196－147＝49， 147－49＝98， 98－49＝49，
所以147与343的最大公约数为49. 再求49与133的最大公约数.
133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14， 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7. 类型六：秦九韶算法
【例8】用秦九韶算法写出求多项式f (x )＝1＋x ＋0.5x 2＋0.016 67x 3＋0.041 67x 4＋0.008 33x 5在x ＝－0.2时的值的过程.
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．
（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即
1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．
（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1
110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++0．当
x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．
【解析】先把函数整理成f (x )＝((((0.008 33x ＋0.041 67)x ＋0.166 67)x ＋0.5)x ＋1)x ＋1，
按照从内向外的顺序依次进行. x ＝－0.2， a 5＝0.008 33， v 0＝a 5＝0.008 33； a 4＝0.041 67， v 1＝v 0x ＋a 4＝0.04； a 3＝0.016 67， v 2＝v 1x ＋a 3＝0.008 67； a 2＝0.5， v 3＝v 2x ＋a 2＝0.498 27； a 1＝1， v 4＝v 3x ＋a 1＝0.900 35； a 0＝1，
v 5＝v 4x ＋a 0＝0.819 93；
所以f (－0.2)＝0.819 93.
【总结升华】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是： (1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值； (2)减少运算次数，提高效率； (3)步骤重复实施，能用计算机操作. 秦九韶算法的原理是
01(1,2,3,
,)
n
k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨
=+=⎩．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心． 举一反三：
【变式】用秦九韶算法计算多项式6
5
4
3
2
()654327f x x x x x x x =++++++在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（ ） A ．10 B ．9 C ．12 D ．8 【答案】 C
【解析】()(((((65)4)3)2)1)7f x x x x x x x =++++++． ∴加法6次，乘法6次， ∴6+6=12（次），故选C ． 类型七：进位制
【例9】（1）试把十进制数136转化为二进制数； （2）试把十进制数1 234转化为七进制数．
【思路点拨】将k 进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k 进制数，用“除k 取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k 进制化
为m 进制(k ，m ≠10)，可以用十进制过渡 【解析】（1）由于136=2×68+0， 68=2×34+0． 34=2×17+0． 17=2×8+1． 8=2×4+0． 4=2×2+0． 2=2×1+0． 1=2×0+1．
所以136=10001000（2）． （2）1234=7×176+2， 176=7×25+1． 25=7×3+4． 3=7×0+3． 所以1234=3412（7）．
【总结升华】（1）应注意搞清每一次除法中的被除数、除数，当商为零时停止除法，把每步所得的余数倒着排成一个数，就是相应的二进制数．
（2）十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似，要认真体会其原理． 举一反三：
【变式1】把十进制数89化为三进制数. 【解析】具体的计算方法如下： 89＝3×29＋2， 29＝3×9＋2， 9＝3×3＋0， 3＝3×1＋0， 1＝3×0＋1， 所以89(10)＝10 022(3).
【变式2】在十进制中，01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在五进制中数码2 004折合成十进制为（ ）
A ．29
B ．254
C ．602
D ．2 004
【答案】B
【解析】0123200445050525254=⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B ． 【巩固练习】
1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）
A.4 = M
B.M =－M
C.B*A=3
D.x+y = 0 2．执行如图所示的程序框图，若输
入A 的值为2，则输出的P 值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
3.(2015 福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
4．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是( ) A ．k >7? B ．k >6? C ．k >5?
D ．k >4?
5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ( ) A ．－3
B ．－
12
S i
i ＝i
S ＝S
i ＞
否
开始C. 13
D ．2
6．如果执行如图的程序框图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于 ( )
A ．720
B ．360
C ．240
D ．120
7.如果执行下面的程序框图，那么输出的S =（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
8．在如下图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）
（A ）11 （B ）12
（C ）13 （D ）15
开始
是
否
结
1
k =0
S =50k ≤？
2S S k
=+1
k k =+S
输出
是
否 开
输入
k=1,p=
k=k+p=p ·k
k<
输出
结
9．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550
Ｄ．2652
10．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的是（ ） A 120 B 720 C 1440 D5040
11.(2015 山东高考)执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 .
S 开始
是
否
输出
结
12.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.
13．执行右图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是__________．
++++的程序框图．
14.画出求123n
15.【2015春 宜春期末】x 的取值范围为[]0,10，给出如图所示程序框图，输入一个数x.
(1)请写出程序框图所表示的函数表达式； (2)求输出的y(y<6)的概率； (3)求输出的y(68<≤y )的概率.
【参考答案】
1．【答案】B ；
【解析】赋值语句的左边只能是一个变量。

2．【答案】C 【解析】第一次运行，P ＝2，S ＝
32，第二次运行，P ＝3，S ＝32＋13
＝11
6；第三次运行，
P ＝4，S ＝
116＋14>116＋1
6
＝2，此时结束循环，故输出的P 值为4. 3.【解析】模拟执行程序框图，可得：
i=1，S=0，cos
,22==πS i ，不满足条件i>5，执行：cos cos ,32
=+=π
S πi 不满足条件i>5，执行：3cos cos cos ,422=++=ππ
S πi
不满足条件i>5，执行：3cos cos cos cos 2,522=+++=ππ
S ππi
不满足条件i>5，执行：35cos cos cos cos 2cos 0,6222
=++++==πππ
S ππi
满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0.故选C.
4．【答案】C
【解析】第一次循环：k ＝1＋1＝2，S ＝2×0＋2＝2； 第二次循环：k ＝2＋1＝3，S ＝2×2＋3＝7 第三次循环：k ＝3＋1＝4，S ＝2×7＋4＝18 第四次循环：k ＝4＋1＝5，S ＝2×18＋5＝41
第五次循环：k ＝5＋1＝6，S ＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S 的值，而此时k ＝6，故判断框内应填入的条件应是k >5. 5．【答案】D
【解析】因为该程序框图执行4次后结束，s 的值分别是13，－1
2
，－3,2，所以输出的s 的值等于2. 6．【答案】B
【解析】程序运行如下：n ＝6，m ＝4，k ＝1，p ＝1，p ＝p (n －m ＋k )＝6－4＋1＝3，k <m ；k ＝1＋1＝2，p ＝p (n －m ＋k )＝3×(6－4＋2)＝12，k <m ；k ＝2＋1＝3，p ＝p (n －m ＋k )＝12×(6－4＋3)＝60，k <m ；k ＝3＋1＝4，p ＝p (n －m ＋k )＝60×(6－4＋4)＝360，k ＝m ，所以输出p ，p ＝360. 7.【答案】C
【解析】依据题意可知：02122...2502(12...50)2550S =+⨯+⨯++⨯=+++=。

8．【答案】B ；
【解析】由题意知：034512S =+++=。

9．【分析】记数变量从开始，累加变量从开始，进入循环体后记数变量逐个增加，累加变量以记数变量的二倍累加，直到记数变量超过终止循环，故所求的是
．
【答案】选Ｃ． 【解析】由程序知，
10．【答案】B
【解析】按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：
，
此时，按终止条件结束，输出。

11.【答案】13
【解析】模拟执行程序框图，可得x =1满足条件x <2，x =2，不满足条件x <2，y =13，输出y 的值为13. 12.【答案】127
【解析】由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3、7、15、31、63、127，故输出
1050246100++++150
21222502502550.2
S +=⨯+⨯+
+⨯=⨯
⨯=720
,6;120,5;24,4;6,3;2,2;1,1============p k p k p k p k p k p k 720=p
的结果是127. 13．【答案】68
【解析】逐次计算．第一次y ＝70×2＋21×3＋15×5＝278；执行循环；第二次y ＝278－105＝173；再次循环，y ＝173－105＝68，此时输出，故输出结果是68. 14. 【解析】程序框图为
15.【解析】(1)由已知可得，程序框图表示的函数表达式为1,710
1,07
-<≤⎧=⎨
+≤≤⎩x x y x x
(2)当y<5时，若输出y =x +1(07≤≤x )则15+<x 解得04≤<x
若输出y =x -1(710<≤x ),则15-<x ，所以x <6，与x >7矛盾，所以此时无解. 所以输出y<5时x 的范围是：04≤<x
所以使得y<5的概率为402
1005
-=
=-p
(3)依题意当07≤≤x 时，y =x +1，令618<+≤x 解得57<≤x 当710<≤x 时，y =x -1，令618<-≤x 解得79<≤x
综上当输出的y 的取值范围为68<≤y 时x 的取值范围是59<≤x 所以输出的y 满足68<≤y 的概率为952
105
-==p
推理与证明、数学归纳法
【考纲要求】
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 【知识网络】
【考点梳理】
考点一：合情推理与演绎推理
1．推理的概念
根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
2．合情推理
根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．
3．演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊
推 理 与 证 明
归
推 理
证明
合情推演绎推
综合
分析
直接证
类比
间接证 反证
的推理．
三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：
合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：
①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：
①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。

合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
考点二：直接证明与间接证明 1．综合法
(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．
(2)综合法的思维框图：
用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
1P Q ⇒（）→12Q Q ⇒（）→23Q Q ⇒（）→.........n Q Q ⇒（）
2．分析法
(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．
(2)分析法的思维框图：
1Q P ⇐（）→12P P ⇐（）→23P P ⇐（）
→.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法
(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接。