级数知识点总结归纳考研

级数知识点总结归纳考研
一、级数的概念
级数是指由一列数相加而成的无穷和，通常表示为∑（从n=1到∞的累加求和）。

级数可
以是有限个数相加也可以是无穷个数相加，级数的和可以是有限的也可以是无限的。

二、级数的收敛性
1. 收敛级数：如果级数的部分和数列{Sn}有极限，则称级数是收敛的，极限等于级数的和，即∑an=S。

2. 发散级数：如果级数的部分和数列{Sn}没有极限，或者极限为无穷大，则称级数是发散的。

三、级数的性质
1. 级数的和的唯一性：级数的和是唯一的。

2. 收敛级数的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且
∑(an+bn)=∑an+∑bn。

3. 绝对收敛级数：如果级数∑|an|收敛，则称级数∑an是绝对收敛的。

4. 条件收敛级数：如果级数∑an是收敛的，但级数∑|an|是发散的，则称级数∑an是条件
收敛的。

四、级数的判定方法
1. 正项级数收敛判别法：如果级数的每一项都是非负的，且级数的部分和数列有上界，则
级数收敛；如果级数的每一项都是非负的，且级数的和为无穷大，则级数发散。

2. 比较判别法：如果级数∑an收敛，且0≤bn≤a n，则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且an≥bn≥0，则级数∑bn也发散。

3. 极限判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞bn/an=c（c>0），则级数∑bn也发散。

4. 比值判别法：如果级数∑an收敛，且limn→∞|an+1/an|=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an+1/an|=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。

5. 根值判别法：如果级数∑an收敛，且li mn→∞|an|^(1/n)=c（c<1），则级数∑an也收敛；如果级数∑an发散，且limn→∞|an|^(1/n)=c（c>1或c=1），则级数∑an也发散。

五、级数收敛的性质
1. 收敛级数的和的性质：如果级数∑an和∑bn都收敛，则有∑(an+bn)也收敛，且
∑(an+bn)=∑an+∑bn。

2. 收敛级数的和乘常数的性质：如果级数∑an收敛，则级数∑(kan)也收敛，且有
∑(kan)=k*∑an（k为常数）。

3. 部分和数列的性质：如果级数∑an收敛，则级数的任意部分和数列{Sn}有界。

六、级数的应用
级数在数学领域和其他领域有着重要的应用，如在微积分、数学分析、物理学、工程领域等，级数的收敛性可以指示某些物理过程的稳定性和可行性，对于微积分的极限和积分等运算也有着重要的作用。

七、级数的发散性
对于发散级数，有时可以通过级数的变换，或者利用级数部分和的性质予以改造，构造出收敛的级数或者收敛的子数列，该方法称为分部求和法。

结语
级数是数学中重要的概念之一，它涉及到了收敛性、发散性、判定方法、性质和应用等多个方面，掌握级数的理论和方法对于深入理解数学和解决实际问题具有重要意义。

希望本文能够为读者对级数有一个清晰的认识，为进一步学习和应用提供帮助。