安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三考前测试数学(理)试卷

数学试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|x≥2}，则A∩(∁R B)=()
A. (2,4)
B. (−2,4)
C. (−2,2)
D. (−2,2]
2.已知复数z满足(2−i)Z=|3+4i|，则Z=()
A. −2−i
B. 2−i
C. −2+i
D. 2+i
3.函数y=√log0.5(4x−3)的定义域是()
A. (3
4,+∞) B. (3
4
,1] C. (−∞,1] D. [1,+∞)
4.已知a⃗=(1,k)，b⃗ =(k,4)，那么“k=−2”是“a⃗，b⃗ 共线”的()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 非充分非必要条件
D. 充要条件
5.古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思
是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为()
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
6.设长方体的长、宽、高分别为√3a、√2a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()
A. 3πa2
B. 6πa2
C. 12πa2
D. 24πa2
7.某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是()
A. 70
B. 75
C. 68
D. 66
8.已知tanα=3，则cos(π
2
−2α)=()
A. 3
5B. 3
10
C. 3
4
D. 3√10
10
9.若a=∫sπ
0inxdx，则二项式(a√x−1
√x
)6的展开式中含x项的系数是()
A. 210
B. −210
C. 240
D. −240
10.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是()
A. 若l//α，l//β，则α//β
B. 若l//α，l⊥β，则α⊥β
C. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D. 若α⊥β，l//α，则l⊥β
11.函数y=(x3−x)2|x|图象大致是()
A. B. C. D. 12.斜率为2的直线l过双曲线C：x2
a2
−y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()
A. [2,+∞)
B. (1,√3)
C. (1,√5)
D. (√5,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f(x)={
log2x,x>0
3x,x≤0，则f[f(
1
4
)]=______．
14.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，则该数列前20项的和为______ ．
15.计算(25
16
)0.5+(27
8
)−13−2π0+4log45−lne5+lg200−lg2=______．
16.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的
解集是空集
(Ⅰ)求角C的最大值；
(Ⅱ)若c=7
2
，△ABC的面积S=3
2
√3，求当角C取最大值时a+b的值．
18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐
活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；
②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计
到班级宣传整理、打包衣物总计
20人30人50人
5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？
(Ⅱ)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．
19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E是CC1的中点，BC=1，BB1=2，AB=√2，
∠BCC1=60°．
(1)证明：B1E⊥AE；
(2)若AB=√2，求二面角A−B1E−A1的余弦值．
20. 已知椭圆中心在原点，
焦点在x 轴上，离心率e =√
3
2
，它与直线x +y +1=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ ，求椭圆方程．(O 为原点)．
21. 函数f(x)=xe x −ax +b 的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1．
(1)求a 和b 的值；
(2)若f(x)满足：当x >0时，f(x)≥lnx −x +m ，求实数m 的取值范围．
22. 在极坐标系中，
过曲线L ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)外的一点A(2√5,π+θ)(其中tanθ=2，θ为锐角)作平行于θ=π
4(ρ∈R)的直线l 与曲线分别交于B ，C ．
(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建系)；
(Ⅱ)若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a 的值．
23. 设函数f(x)=√|x +1|+|x −2|+a ．
(1)当a =−5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围．
答案和解析1.【答案】C
【解析】解：∁R B={x|x<2}；
∴A∩(∁R B)=(−2,2)．
故选：C．
进行交集、补集的即可．
考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
2.【答案】D
【解析】解：由(2−i)Z=|3+4i|=5，
得Z=5
2−i =5(2+i)
(2−i)(2+i)
=2+i．
故选：D．
把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：要使原函数有意义，则log0.5(4x−3)≥0，
即0<4x−3≤1，解得3
4
<x≤1．
所以原函数的定义域为(3
4
,1].
故选：B．
首先由根式有意义得到log0.5(4x−3)≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．
本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．
4.【答案】A
【解析】解：若k=−2，则a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−2,4)，满足b⃗ =−2a⃗，即a⃗，b⃗ 共线，充分性成立，
若a⃗，b⃗ 共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立，
故“k=−2”是“a⃗，b⃗ 共线”的充分不必要条件，
故选：A．
根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础．5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，先由等比数列前n项和公式求出a1=5
31
，再由等比数列前n项和公式列出不等式，能求出要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为多少天．【解答】
解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，
则由题意知：S5=a1(1−25)
1−2=5，解得a1=5
31
，
S n=5
31
(1−2n)
1−2
≥50，
解得2n≥311，由29=512，28=256，
∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9
天．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：设长方体的外接球的半径为R，则R=1
2
√(√3a)2+(√2a)2+a2=√6
2
a，
∴外接球的表面积为：4πR2=4π×6
4
a2=6πa2
故选：B．
利用长方体的外接球的直径为长方体的体对角线求解．
本题主要考查了长方体的外接球，是基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用频率分布直方图，求数据的平均数的问题，在频率分布直方图中，平均数是各小长方形底
边中点横坐标与对应小组频率之积的和．
根据频率分布直方图，求出该班的平均分是多少即可．
【解答】
解：根据频率分布直方图，得：
该班的平均分估计是
x=(0.005×30+0.01×50+0.02×70+0.015×90)×20=68；
故选C．
8.【答案】A
【解析】解：由tanα=3，
得cos(π
2
−2α)=sin2α=2sinαcosα
sin2α+cos2α
=2tanα
1+tan2α
=2×3
1+32
=3
5
．
故选：A．
利用诱导公式变形，再化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．
9.【答案】C
【解析】解：a=∫s
π
inxdx=−cosx|0π=2
∴(a√x−
√x
)6=(2√x
√x
)6展开式的通项为T r+1=(−1)r26−r C6r x3−r
令3−r=1得r=2，
故展开式中含x项的系数是16C62=240
故选C．
利用定积分求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于1，求出系数即可．
本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：由l 是直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若l//α，l//β，则α与β相交或平行，故A 错误；
在B 中，若l//α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确； 在C 中，若α⊥β，l ⊥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误； 在D 中，若α⊥β，l//α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误． 故选：B ．
在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C 中，l 与β相交、平行或l ⊂β；在D 中，l 与β相交、平行或l ⊂β．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 11.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．
根据函数y 为奇函数，它的图象关于原点对称，当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，结合所给的选项得出结论． 【解答】
解：由于函数y =(x 3−x)2|x|为奇函数， 故它的图象关于原点对称，
当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0， 故选B ．
12.【答案】D
【解析】解：依题意，斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2
a 2
−y 2
b 2=1的右焦点
且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率b
a 必大于2，即
b >2a ，
因此该双曲线的离心率e =c a =√a 2
+b 2
a 2=√1+b
2
a 2
>√1+4=√5． 故选：D ．
根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a ，b 的关系，然后求出离心率的范围．
本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题．
13.【答案】1
9
【解析】解：∵函数f(x)={log 2x,x >0
3x ,x ≤0，
∴f(1
4)=log 21
4=−2， f[f(1
4)]=f(−2)=3−2=1
9． 故答案为：1
9．
先求出f(14)=log 214=−2，从而f[f(1
4)]=f(−2)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 14.【答案】300
【解析】解：在等差数列{a n }中，
∵a 1+a 2+a 3=3，a 18+a 19+a 20=87， ∴a 1+a 2+a 3+a 18+a 19+a 20 =3(a 1+a 20)=3+87=90， 解得a 1+a 20=30， ∴S 20=
202
(a 1+a 20)=10×30=300．
故答案为：300．
由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出a 1+a 20=30，由此能求出该数列前20项的和． 本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的灵活运用．
15.【答案】23
12
【解析】解：原式=5
4+2
3−2+5−5+lg(2×100)−lg2=23
12−2+lg2+lg100−lg2=23
12−2+2=23
12， 故答案为：23
12．
利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．
本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．
16.【答案】−1
【解析】解：∵f(x)=2xf′(1)+lnx ，求导得：f′(x)=2f′(1)+1
x ，
令x =1，得到f′(1)=2f′(1)+1，解得：f′(1)=−1， 故答案为：−1．
对函数f(x)的解析式求导，得到其导函数，把x =1代入导函数中，列出关于f′(1)的方程，进而得到f′(1)的值．
此题考查了导数的运算，以及函数的值，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵不等式x 2cosC +4xsinC +6<0的解集是空集． ∴{
cosC >0△≤0，即{cosC >0
16sin 2C −24cosC ≤0，
即{cosC >0
cosC ≤−2或cosC ≥12
， 故cosC ≥1
2，∴角C 的最大值为60°．
(Ⅱ)当C =60°时，S △ABC =1
2absinC =√3
4ab =3
2√3，∴ab =6，
由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−2ab −2abcosC ， ∴(a +b)2=c 2+3ab =
1214，
∴a +b =
11
2
．
【解析】(Ⅰ)根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC >0，求得cos C 的范围，进而根据余
弦函数的单调性求得C 的最大值．
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中求得C ，利用三角形面积公式求得ab 的值，进而代入余弦定理求得a +b 的值． 本题主要考查了余弦定理的应用，解不等式问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
18.【答案】(Ⅰ)解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是550=1
10，
∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×1
10=2人， 参与整理、打包衣物者被抽中的有30×1
10=3人，
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P =1−C 3
2C 52=7
10．
(Ⅱ)解：女生志愿者人数X =0，1，2， 则P(X =0)=C 122
C 20
2=33
95，
P(X =1)=C 121C 81C 20
2=48
95，
P(X =2)=
C 8
2C 20
2=
1495
，
X 0 1 2 P
33
95
48
95
14
95
∴X 的数学期望EX =0×33
93+1×48
95+2×14
95=7695．
【解析】(Ⅰ)由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中
的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．
(Ⅱ)女生志愿者人数X =0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．
19.【答案】(1)证明：连接BC 1，BE ，
在△BCC 1中，BC =1，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=60°． ∴BC ⊥BC 1． ∴BE =1
2CC 1=1，
∵B 1E =√EC 12+B 1C 12
−2⋅EC 1⋅B 1C 1⋅cos120°=√3． ∴B 1E ⊥BE ，
又AB ⊥平面BB 1C 1C ，且B 1E ⊂平面BB 1C 1C ， ∵B 1E ⊥AB ，AB ∩BE =B ， ∴B 1E ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ， ∴B 1E ⊥AE ；
(2)以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,0，√2)，B 1(−1,√3,0)，B(12,√3
2,0)，A 1(−1,√3,√2)，
∴B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,
√3
2
,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−√2)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√3
2
,−√2)， 设平面AB 1E 的法向量为n
⃗ =(x,y,z)，设平面A 1B 1E 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√3y +√2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,√2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −b =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −√3b −2√2c =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗
|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=42×
√
6
=√6
3
， 即二面角A −B 1E −A 1的平面角的余弦值为√6
3
．
【解析】(1)证明：连接BC 1，BE ，则BC ⊥BC 1，求出BE 和B 1E ，并证得B 1E ⊥BE ，又AB ⊥平面BB 1C 1C ，
得B 1E ⊥AB ，得到B 1E ⊥平面ABE ，证得B 1E ⊥AE ； (2)以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面AB 1E 的法向量为n ⃗ ，设平面A 1B 1E 的
法向量为m
⃗⃗⃗ ，然后计算夹角即可． 本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题．
20.【答案】解：设椭圆方程为x 2
a 2+y
2
b 2=1， 由c
a
=
√3
2
得{c =
√32
a b =12a
∴椭圆方程为
x 24b
2+
y 2b 2
=1，即x 2+4y 2=4b 2设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，
则由OP ⊥OQ ⇒x 1x 2=−y 1y 2{y =−1−x x 2+4y 2=4b 2⇒5x 2+8x +4−4b 2=0由△>0⇒b 2>15X 1+X 2=−85，x 1x 2=
4−4b 2
5
y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=4−4b 2
5
+(−8
5)+1=
1−4b 2
5
∴
4−4b 2
5+
1−4b 2
5=0
b 2=5
8>1
5 ∴椭圆方程为
x 2
5
2
+
y 2
58
=1
【解析】先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a 和c 的关系，进而表示出b 和a 的关系，代入椭圆方程，根据OP ⊥OQ 判断出x 1x 2=−y 1y 2，直线与椭圆方程联立消去y ，进而根据表示出x 1x 2和y 1y 2，根据x 1x 2=−y 1y 2求得b 的值．进而椭圆的方程可得．
本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=xe x −ax +b ， ∴f′(x)=(x +1)e x −a ，
由函数f(x)的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1，知：
{f(0)=b =1f′(0)=1−a =−1
, 解得a =2，b =1．
(2)∵f(x)满足：当x >0时，f(x)≥lnx −x +m ， ∴m ≤xe x −x −lnx +1，①
令g(x)=xe x −x −lnx +1，x >0， 则g ′
(x)=(x +1)e x
−1−1
x
=
(x+1)(xe x −1)
x ，
设g′(x 0)=0，x 0>0，则e x 0=1
x 0
，从而lnx 0=−x 0，
g′(1
2)=3(
√e 2
−1)<0，g′(1)=2(e −1)>0，
由g′(1
2)−g′(1)<0，知：x 0∈(1
2,1)，
当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，
∴函数g(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增． ∴g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0+1=2． m ≤xe x −x −lnx +1恒成立⇔m ≤g(x)min ， ∴实数m 的取值范围是：(−∞,2]．
【解析】本题考查利用导数研究函数单调性与极值，构造函数，不等式恒成立问题，考查函数与方程思想，化归与转化思想，考查运算求解能力和思维能力，属于较难题． (1)求出f′(x)=(x +1)e x −a ，由{f(0)=b =1
f′(0)=1−a =−1
，能求出a ，b ．
(2)推导出m ≤xe x −x −lnx +1，令g(x)=xe x −x −lnx +1，x >0，由m ≤xe x −x −lnx +1恒成立⇔m ≤g(x)min ，利用导数性质能求出实数m 的取值范围．
22.【答案】解：(Ⅰ)根据极坐标的转化可得，曲线l 的方程为：ρy 2
ρ2=2a x
ρ即 y 2=2ax ，A(−2,−4)
直线L 的方程为y +4=x +2即y =x −2(3分) (Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =−2+√2
2t
y =−4+√2
2t
(t 为参数)，
代入y 2=2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1⋅t 2=8(4+a) 因为|BC|2=|AB|×|AC|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 2=t 1⋅t 2 解得 a =1(7分)
【解析】(I)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程 (II)写出直线l 的参数方程为{
x =−2+√22
t y =−4+
√22
t
，代入y 2=2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+
t 2=2√2(4+a),t 1⋅t 2=8(4+a)，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a 的值
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线与曲线的位置关系的应用，解题的关键是要熟练应用极坐标与直角坐标的互化．
23.【答案】解：(1)由题设知：|x +1|+|x −2|−5≥0， 如图，在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x −2|
和y =5的图象(如图所示)，知定义域为(−∞,−2]∪[3,+∞)；
(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|+a ≥0， 即|x +1|+|x −2|≥−a ，由(1)|x +1|+|x −2|≥3， ∴−a ≤3，即a ≥−3．
【解析】(1)由|x +1|+|x −2|−5≥0，然后构造函数y =|x +1|+|x −2|，在同一坐标系内画出函数y =|x +1|+|x −2|与y =5的图象得答案；
(2)函数f(x)的定义域为R ，说明当x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|+a ≥0，即|x +1|+|x −2|≥−a ，然后结合绝对值的几何意义求得a 的取值范围．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数形结合的解题思想方法，考查了绝对值的几何意义，是中档题．。