[精品]2019通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测三文

课时跟踪检测（三）
A 组——12＋4提速练
一、选择题
1．(2017·沈阳质量检测)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π
4，a ＝1，则b ＝( )
A ．2
B ．1 C. 3
D ． 2
解析：选D 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin
π4，即112＝b
2
2
，∴b ＝2，故选D.
2．(2017·张掖模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝1
2a sin C ，
则sin B ＝( )
A.74
B.34
C.73
D.13
解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，得b 2－a 2
＝12ac ，∵c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2
＋c 2
－b 2
2ac ＝a 2
＋4a 2
－2a 2
4a 2
＝3
4
，则sin B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342
＝74
. 3．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－1
2
D ．12
解析：选A ∵sin β＝35，且π
2<β<π，
∴cos β＝－45，tan β＝－3
4
.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， ∴tan α＝－1
2
，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β
＝－2.
4．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B ＝( ) A ．30° B ．60° C ．90°
D ．120°
解析：选B 由题意知2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ，解得cos B ＝1
2
，所以B ＝60°.
5．(2018届高三·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－72
10
B.7210 C ．－
210
D.210
解析：选D 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±
55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43
，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.
6．(2017·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝( )
A ．60°
B ．120°
C ．30°
D ．150°
解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a 2
＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2
＝b 2
＋c 2
＋bc .由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得cos A ＝－1
2
，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.
7．(2017·惠州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π
4，则△ABC
的面积为( )
A.2＋1
B.3＋1 C ．2
D. 5
解析：选B 由正弦定理b sin B ＝c
sin C ，得sin B ＝
b sin C
c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π
6
，所以A ＝
7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋2
4
＝3＋1. 8．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2
＋b 2
＝4a ＋2b －5且a 2
＝b 2
＋c
2
－bc ，则sin B 的值为( )
A.3
2 B.34 C.22
D.
35
解析：选B 由a 2
＋b 2
＝4a ＋2b －5可知(a －2)2
＋(b －1)2
＝0，故a ＝2且b ＝1.又a 2
＝b 2
＋c 2
－bc ，所以cos A
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析：选C ∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab
，即b 2－c 2＝0，∴b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形，故选C.
10．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则
AC 的长为( )
A ．2 3 B. 3 C.33
D.233
解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝25
5或cos ∠DCB
＝－
255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝25
5
.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010
.
在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝
BC sin B sin A ＝23
3
，故选D. 11．如图，在△ABC 中，∠C ＝π
3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，
DE ⊥AB ，E 为垂足，
若DE ＝22，则cos ∠A ＝( )
A.22
3 B.2
4 C.64
D.
63
解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin ∠A ，所以BD ＝AD ＝22
sin ∠A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，
所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin ∠C ＝BC sin ∠BDC ，得22
sin ∠
A 3
2＝4
sin 2∠A ，整理得cos ∠A
＝64
. 12．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0，∴cos 2
A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，
∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2
＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135
(舍去)．
二、填空题
13．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝2
2
， 因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝45°或135°.
因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°
14．(2017·广州模拟)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2
sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin
A －sin
B )＝sin
C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．
解析：由a 2
sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2
)得(a ＋b )(a －b )＝27－
c 2
，即a 2
＋c 2
－b 2
＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3
2
.
答案：3
2
15．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.
解析：由余弦定理得，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝4b 2
＋b 2
－2×2b ×b ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝7b 2，∴c ＝7b ，则cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc ＝b 2＋7b 2－4b 22×b ×7b
＝277，∴sin A ＝1－cos 2
A ＝
1－47＝217，∴tan A ＝sin A cos A ＝32
. 答案：
32
16．钝角三角形ABC 的面积是1
2
，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.
解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝2
2，所以B ＝45°或B ＝135°.当B
＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.
答案： 5
B 组——能力小题保分练
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2
，则tan C ＝( ) A.34 B ．43 C ．－43
D ．－34
解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2
－c 2
＝a 2
＋b 2
－c 2
＋2ab ，结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2
＝4，即sin 2
C －4sin C cos C ＋4cos 2
C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2
C －4tan C ＋4tan 2
C ＋1
＝4，解得tan C ＝－4
3
或tan C ＝0(舍去)，故选C.
2．(2017·合肥质检)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2
＋c 2
的取值范围是( )
A ．(5,6]
B ．(3,5)
C ．(3,6]
D ．[5,6]
解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，则A
＝
π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sin
π
3
＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2
(A ＋B )]＝4 ⎩
⎪⎨⎪⎧1－cos 2B 2＋
1－
A ＋B
2
⎭
⎪⎬⎪
⎫
＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以b 2＋c 2
的取值范围是(5,6]，故选A.
3.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，
已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.
解析：在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，
MA
sin 60°
＝
AC
sin 45°
，解得MA
＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003
＝sin 60°＝3
2，故MN ＝150，即山高MN 为150 m .
答案：150
4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则sin A ＝________.
解析：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝
1
3
BC ＝13a ，B ＝π4
，易知
BD ＝AD ＝13a ，
DC
＝23
a .
在Rt △ACD 中，AC ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝1
2BC ·AD ，
即12×23a ×53a ·sin∠BAC ＝12a ·1
3a ， ∴sin ∠BAC ＝31010.
答案：31010
＝
310
10
，cos ∠C ＝5.如图，在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC 25
5
，则AC ＝________. 解析：因为BD ＝2DC ，设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，因为cos ∠DAC ＝31010，cos ∠C ＝25
5，所以sin ∠DAC ＝
1010，sin ∠C ＝55，在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin ∠C ＝CD sin ∠DAC ，即y 55＝x
10
10
，即y ＝2x .又cos ∠ADB ＝cos(∠DAC ＋∠C )＝
31010×255－1010×55＝22，则∠ADB ＝π4.在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ×AD cos π4
，即2＝4x 2
＋2x 2
－2×2x ×2x ×22，即x 2
＝1，所以x ＝1，即BD ＝2，DC ＝1，AD ＝2，在△ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ×AD cos 3π4
＝5，得AC ＝ 5.
答案： 5
6．(2017·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为3
2
.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π
4
，则CD ＝________.
解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ，即32＝1
2×2×6×sin
∠BCA ，所以sin ∠BCA ＝12.因为∠BAC >∠BDC ＝π4，所以∠DAC <3π
4
，又∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB ，所以∠ACB <
3π
4
，则∠BCA ＝π
6，所以cos ∠BCA ＝
3
2
.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠BCA ＝2＋6－2×2
CD＝ 3.
答案： 3。