同步优化设计2021年高中数学第六章概率4.1二项分布课件北师大版选择性必修第一册

例1(1)某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击三次,且他每次
射击相互之间没有影响,有下列结论:
①他三次都击中目标的概率是0.93;
②他恰好在第三次击中目标的概率是0.9;
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1;
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是
一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功
的概率均为p,则X的分布列可以表示为 P(X=k)=nk pk(1-p)n-k(k=1,2,…,n).
若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简
记为X~B(n,p).显然,两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.设
p+q=1,p>0,q>0,服从二项分布的变量X的分布列如下表所示.
注意:上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
(q+p)n=n0 p0qn+n1 p1qn-1+…+nk pkqn-k+…+nn pnq0 中对应项的值.
名师点析判断二项分布的关键点
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三
微练习1
若X~B(10,0.8),则P(X=8)等于(
)
8
8
A. 10
×0.88×0.22 B. 10
×0.82×0.28
C.0.88×0.22
D.0.82×0.28
答案 A
8
解析 ∵X~B(10,0.8),∴P(X=8)=10
×0.88×0.22,故选 A.
微练习2
一枚硬币连掷三次,只有一次出现正面的概率为
2 2 1 2 1 2 20
即 P=( ) +C2 × × × = .
3
3 3 3 27
探究二
二项分布的概率及分布列
1
3
1
1 k 2 5-k
Hale Waihona Puke 解 (1)ξ~B(5, ),ξ 的分布列为 P(ξ=k)=C5 ( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4,5.
3
3 3
故ξ的分布列为
ξ
0
1
P
32
243
80
.
答案
3
8
解析
1
抛掷一枚硬币出现正面的概率为2,由于每次试验的结果互不影响,故由
n 重伯努利试验可知,所求概率为
1 1 1 2 3
P=3 ( )( ) = .
2 2
8
三、两点分布与二项分布的均值与方差
一般地,如果随机变量X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).特殊地,如果随机变
量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).
)
A.100 B.200 C.300 D.400
答案 B
解析 由题意可设,不发芽的种子数为Y,Y服从二项分布,即Y~B(1 000,0.1),所
以不发芽种子数的数学期望为EY=1 000×0.1=100,所以补种的种子数X的
数学期望为EX=E(2Y)=2EY=2×100=200.
探究四
概率知识的综合应用
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望;
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.
解 (1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
则EX=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则
EY=np=5×0.6=3.
反思感悟 常见的两种分布的均值与方差
设p为一次试验中成功的概率,则
(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式
及对立事件的概率公式.
变式训练49粒种子分种在3个坑内,每坑放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,
若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子
都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数
的分布列.
P(X=2)=C32
1 2 7 1 21
×( ) ×( ) =
,
8
8 512
P(X=3)=C33
13 70 1
×( ) ×( ) =
,
8
8 512
所以需要补种坑数的分布列为
X
P
0
343
512
1
147
512
2
21
512
3
1
512
素养形成
n重伯努利试验及二项分布的相关技巧与方法
1.n重伯努利试验必须具备的条件
13 1
解 因为单个坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为(2) =8,所以单个坑不需要补
1 7
种的概率为 1- = .
8 8
设需要补种的坑数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)=C30
1 0 7 3 343
×(8) ×(8) =512,
P(X=1)=C31
1 1 7 2 147
×(8) ×(8) =512,
反思感悟 1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的
试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X=k)= C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“n重伯努利试
验”时才能运用,否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次
个条件:①对立性:在一次试验中,事件A与 发生与否必居其一.②重复性:
试验可以独立重复地进行,且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p.③
X的取值从0到n,中间不间断.
微判断
(1)n重伯努利试验的每次试验结果可以有多种.( × )
(2)两点分布是特殊的二项分布.( √ )
(3)二项分布可以看作是有放回抽样.( √ )
(1)两点分布EX=p,方差DX=p(1-p);
(2)二项分布EX=np,方差DX=np(1-p).计算时直接代入求解,从而避免了繁
杂的计算过程.
变式训练3某种种子每粒发芽的概率为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽
的种子,每坑需再补种2粒,每个坑至多补种一次,补种的种子数记为X,则X
的数学期望为(
2021
高中同步学案优化设计
GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU
S
H
E
J
I
第六章
4.1 二项分布
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课前篇 自主预习
激趣诱思
要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.试想每次试验的前提是什
么?
知识点拨
一、n重伯努利试验
1
2
,且各人
解 (1)设事件 A 表示“甲选做 14 题”,事件 B 表示“乙选做 14 题”,则甲、乙 2
名考生选做同一道题的事件为“AB+ ”,且事件 A,B 相互独立.
∴P(AB+)=P(A)P(B)+P()P()
1 1
1
1 1
= × +(1- )×(1- )= .
2 2
2
2 2
(1)每次试验的条件完全相同,有关事件的概率不变;
(2)各次试验结果互不影响,即每次试验相互独立;
(3)每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.
2.n重伯努利试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样的问题,
用n重伯努利试验的概率公式计算更简单.
3.随机变量是 n 重伯努利试验中事件发生的次数,与 n 重伯努利试验恰有 k 次
发生的概率互应,分布列可用等式表示为 P(X=k)=C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
二项式(q+p)n(p+q=1)的展开式中,第 k+1 项为 Tk+1=C qn-kpk,可见 P(X=k)就是
二项式(q+p)n 的展开式中的第 k+1 项,故此公式称为二项分布公式.
典例为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民
31
3 3
1
×(3) =9,P(B2)=C2 ×(4) ×(1-4)=8.
4 3 1
由于甲、乙射击相互独立,故 P(A2B2)=9 × 8 = 6.
延伸探究在本例(2)②的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率.
解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3,则
P(A3)=C21
2 1 4
× 3 × 3 = 9,
试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进
行了n次.
变式训练2在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必
须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每道题的可能性均为
的选择相互之间没有影响.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ,求ξ的分布列.
微练习
同时抛掷两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则
Dξ=(
)
15
A.
8
15
B.
4
5
C.
2
D.5
答案 A
解析
1
4
1
两枚硬币同时出现反面的概率为2
1 15
×(1- )= .故选
4
8
A.
1
2
× =
1
,故
4
1
ξ~B(10,4),因此
Dξ=10×
课堂篇 探究学习
探究一
n重伯努利试验的概率
80
243 243
2
3
4
5
40
243
10
243
1
243
2k 1
(2)η 的分布列为 P(η=k)=P(前 k 个是绿灯,第 k+1 个是红灯)=(3) ·3,
k=0,1,2,3,4,
25
P(η=5)=P(5 个均为绿灯)=(3) .
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
1
3
2
9
4
27
8
81
16
243
32
243
3
P(B2)=8,
所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为
4 3 1
P(A3B2)=9 × 8 = 6.
反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤
变式训练1甲、乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队胜的概率
2
为 3 ,没有平局.若进行三局两胜制比赛,先胜两局者为胜,甲获胜的概率
为
.
20
答案
27
解析 “甲获胜”分两类:①甲连胜前两局;②前两局中甲胜一局,并胜最后一局.
.(把正确结论的序号都填上)
答案 ①④
解析 三次射击是3重伯努利试验,故正确结论的序号是①④.
(2)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是
2 3
和 ,假设每次射击是
3 4
否击中目标,相互之间没有影响.
①求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率;
②求两人各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
+
×
×
+
×
×
)=
,
2 3 3 2 3 3 2 81
1
4
)= ,
2 243
10
4
由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)= +
81 243
=
34
.
243
反思感悟 n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时,要判断问题中涉及的试验是
否为n重伯努利试验,判断时可依据n重伯努利试验的特征.
1
1 4-k
1 k
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 ξ~B(4,2).∴P(ξ=k)=C4 (2) (1-2)
1 4
=C4 (2) (k=0,1,2,3,4).
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
P
0
1
16
1
1
4
2
3
8
3
1
4
4
1
16
探究三
二项分布及两点分布的期望与方差
例3某运动员投篮命中率为p=0.6.
例 4 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本
2
队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为3,乙队中 3 人答对
2 2 1
的概率分别为3 , 3 , 2,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示甲队
的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得
所以ξ的分布列为
ξ
0
P
1
1
27
2
2
9
3
4
9
8
27
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事
件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,
又
2 2 1
2 2 2
P(C)=C3 (3) (1-3)(3 × 3
1
3 2 3 1
P(D)=C3 (3) (3 × 3
×
×
1 1 2 1 1 1 1 10
一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其
他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
微思考
n重伯努利试验必须具备哪些条件?
提示(1)每次试验的条件完全相同,相同事件的概率不变;
(2)各次试验结果互不影响;
(3)每次试验结果只有两种,这两种结果是对立的.
二、二项分布
解 ①记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击3次,相当
于3重伯努利试验.
2 3 19
故 P(A1)=1-P(1 )=1-(3) =27.
②记“甲射击 2 次,恰有 2 次击中目标”为事件 A2,“乙射击 2 次,恰有 1 次击中
目标”为事件 B2,则
P(A2)=C22
22 4
分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
解 (1)由题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,且
23 1
0
P(ξ=0)=C3 (1- ) = ,
3 27
22 2
12
P(ξ=1)=C3 3 (1-3) =9,
2 4
2 2 2
P(ξ=2)=C3 (3) (1-3)=9,
3 2 3 8
P(ξ=3)=C3 (3) =27.