江西省瑞金市四校联盟2020-2021学年高三第一次联考试卷数学理科试题

江西省瑞金市四校联盟2020-2021学年高三第一次联考试卷
数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．1
B ．i -
C ．i
D ．1-
2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42
B ．21
C ．7
D ．3
3．下列说法正确的个数是（ ）
①. “()00f =”是“定义在R 上函数()f x 是奇函数”的充要条件
②. 若p ：0x R ∃∈，2
0010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --<
③. “若6
π
α=
，则1
sin 2
α=
”的逆否命题是错误的 ④. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．P 是双曲线2
2:12
x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上
的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1||||PF PQ +的最小值为( )
A ．1
B ．25
+
C ．45
+
D ．1
5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%
6．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．函数
ln||
cos
x
y x x
x
的部分图象大致为（）
A． B．C．
D．
8．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）
A ．
9
64
B ．
449
C ．
225
D ．
27
9．已知圆O
的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP ⋅=，则()2
OA OP +的最小值为（ ）
A ．
23
2
B ．12
C ．
252
D ．13
10．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值
范围是（ ） A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
11．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2
π
，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的是（ ） ①当0,126x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，m
的取值范围是⎣； ②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π； ④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
上有且仅有一个零点. A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．②④
12．已知函数2
()ln 2,()ln x x
e f x xe x x g x x x x
-=---=+-的最小值分别为,a b ，则
（ ） A ．a b = B ．a b < C ．a b >
D ．,a b 的大小关
系不确定
二、填空题
13．若()()4
31ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．
14．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了(
)*
n n N ∈年后，
年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 的值为______.
15．已知抛物线2:8E x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于,A B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =______.
三、双空题
16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于
1BD 的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，
设BP x =，(0,x ∈.
（1）下列说法中，正确的编号为______.
①截面多边形可能为六边形；②2f ⎛= ⎝⎭
③函数()f x 的图象关于x =.
（2）当x =P ABC -的外接球的表面积为______.
四、解答题
17．在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知
)sin sin ()-=-≠A C a A c C a c ．
（1）求边AC 的长；
（2）若60B ︒∠=，D 为边BC 上的点且AB AD =，试求AD DC +的最大值．
18．如图,已知四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=︒,
SA SD SB ===点E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF SC λ=,SA
//平面BEF .
（1）求实数λ的值;
（2）求二面角S BE F --的余弦值.
19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1)2，A ，B ，C ，
D 为椭圆的四个顶点（如图），直线l 过右顶点A 且垂直于x 轴． （1）求该椭圆的标准方程；
（2）P 为l 上一点（x 轴上方），直线PC ，PD 分别交椭圆于E ，F 两点，若
2PCD PEF S S ∆∆=，求点P 的坐标．
20．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系．如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于
[)25,30，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今
年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量X （单位：公斤）的分布列和数学期望； （2
）设9月份一天销售特产水果的利润为Y （单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为n （单位：公斤）为多少时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为多少？ 21．已知函数()()2
ln 142
x a R f a x x =
-∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设4a =，且0,
6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，求证：1
1cos224
tan x
x e e -
<<.
22．已知曲线C 的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，
将曲线C 上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. （1）求曲线'C 的极坐标方程； （2）若过点A 且倾斜角为
6
π
的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛
⎫
+≥ ⎪⎝⎭
的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；
（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c
++=，证明：249a b c ++≥.
参考答案
1．A 【分析】
利用复数的模、复数的除法运算求得z ，由此求得z 的共轭复数，进而求得z 的共轭复数的虚部. 【详解】
由(1)|1|2z i +=+=得()()()()21212
11112
i i z i i i i ⋅-⋅-====-++-，所以1z i =+，虚部为1. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查复数的模和除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题. 2．B 【分析】
利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出
7S 的值.
【详解】
由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，
()174
7772732122
a a a S +⨯∴=
==⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 3．A 【分析】
逐一分析选项，对应①可根据特殊函数直接判断是否成立， ②根据特称命题的否定形式直接判断； ③根据原命题和逆否命题的关系判断真假；
④根据复合命题的真假判断方法直接判断. 【详解】
对于①()00f =时，函数()f x 不一定是奇函数，如()2
f x x =，x ∈R ，∴错误；
对于②命题p ：0x R ∃∈，2
0010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --≤，∴错误；
对于③，因为若6
π
α=
，则1
sin 2
α=
正确，所以它的逆否命题也正确，∴错误； 对于④若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一假命题，∴错误； 故选：A. 【点睛】
本题考查有关命题的判断，意在考查基本概念和基本知识和基本判断方法，属于基础题型. 4．D 【解析】
设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则12PF PQ PF PQ +=+
d ≥（d 为点
2F 到渐近线0x -=1=），即1PF PQ +的最
小值为1；故选D.
点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离. 5．B 【分析】
根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项 【详解】
对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A 正确； 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的
56%39.6%22.176%41%⨯=<,故B 错误；
对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的
56%12.3% 6.888%3%⨯=>,故C 正确；
对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%⨯=<,故D 正确, 故选：B 【点睛】
本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题 6．B 【分析】
根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】
（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】
本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题. 7．A 【分析】
根据函数的奇偶性，以及函数图像上的特殊点，对选项进行分析和排除，由此得出正确选项. 【详解】
()ln cos x
f x x x x =+
，定义域为{}|0x x ≠，()()ln cos x f x x x f x x ⎡⎤-=-+=-⎢⎥⎣⎦
，故
函数为奇函数，图像关于原点对称，排除,B C 两个选项.()ln π
ππ0π
f =-+<，排除D 选项，故选A. 【点睛】
本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8．B 【分析】
求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积
与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：
18060120ADB ∠=︒-︒=︒，
在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为2
2
2
153253492AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749
DEF ABC
S
S
∴
==． 故选：B ． 【点睛】
本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 9．C 【分析】
画出图形，根据2OA OP ⋅=
，求得OP =0cos 1POA <∠≤，从
而得出()2
OA OP +的最小值
.
【详解】
如图所示，因为OA =22cos 2OA OP OP POA ⋅=∠
=，
所以OP =
<，且1
cos 14
POA <∠≤，
所以()
2
22
2125
2842cos 2
OA OP
OA OA OP OP POA +=+⋅+=++
≥∠,
当cos 1POA ∠=时取等号， 所以()
2
OA OP +的最小值为
252
. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 10．A 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 11．B 【分析】
根据函数()f x 相邻对称轴之间的距离为
2
π
，求得函数的最小正周期，从而求得ω，再利用辅助角公式，求得函数的解析式，逐项分析，即可求解. 【详解】
由题意，函数()sin cos )f x x m x x ωωωϕ=+=+，其中tan m ϕ=，
因为函数()f x 相邻对称轴之间的距离为2
π
，可得最小值周期为T π=， 又由22T
π
ω=
=，所以2ω=±， 当2ω=时，则(
))f x x ϕ=+，
对于①中，由函数()f x 在0x x =出取得最大值，可得022,2
x k k Z π
ϕπ+=+∈，
解得022,2
k x k Z π
ϕπ=
+-∈，所以001
tan(22)2tan 2m k x x ππ=+-=，
又由0,126x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，
所以01[tan 23x ∈，
即01[tan 23m x =∈，所以是正确的；
对于②中，不妨令m ，则()2sin(2)3
f x x π
=+
，可解得一个012
x π
=
，那么()f x 的
图象向左平移04x 个单位后得到函数2sin[2()]2sin 233
y x x π
π
=++=-，此时函数为奇
函数，所以是不正确的；
对于③中，由于()f x 的周期为π，可得函数()f x 的周期为2
π
，即函数()()y f x f x =+的最小正周期应满足max{,}2
T π
ππ≥=，所以是正确的；
对于④中，()(
)))y f x f x x x ϕϕ=+=++
),sin(2)00,sin(2)0
x x x ϕϕϕ⎧⎪++≥=⎨+<⎪⎩， 由③可知函数的最小正周期为π，由函数()f x 在0x x =处取得最大值可知，在其后1
4
T 上满足sin(2)0x ϕ+≥，而当超过这区间的时候，存在sin(2)0x ϕ+<的情况， 即当00,4
3x x x π
π⎛⎫
∈+
+
⎪⎝
⎭
时，函数值一直为0，显然不止一个零点，所以是错误的. 当2ω=-时，同理可验证得到以上结论， 综上可得正确的是①③. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，三角恒等变换的化简，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于难题.
12．A 【分析】
分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系. 【详解】
由题意得：2'
11(1)(1)
()1x x x x
x
xe x e x x xe f x e xe x x x
+--+-=+--==
， 易得0,10x x >+>，设'
()0f x =，可得10x xe -=，可得1x
e x
=
，由x
y e =与1y x =图像
可知存在0(0,1)x ∈，使得0
1x e x =
，可得当0(0,)x x ∈，'
()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即00000
1
()ln 21x a f x x e x x -==⋅
---=-； 同理：2222'
222
1(1)(1)(1)()
()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x
------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2
x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，
使得12
1x e
x -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'
()0g x >，当(1,)
x ∈+∞时，'
()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得
1112
211112()ln 121x x x e b g x e x x x e
---==+-=+--=-，故1a b ==-，
故选：A. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 13．64 【分析】
先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和 【详解】
由题,x 的系数为10
4431213C aC a +=+=,则1a =,
所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4
311164+⨯+=,
故答案为：64 【点睛】
本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和 14．3 【分析】
根题意，建立等差数列的模型，利用等差数列的性质以及前n 项和公式，即可求解. 【详解】
设该设备第n 年营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以2n a n =，可得设备使用了n 年的营运费用总和为2(22)
2
n n n T n n +=
=+万元， 设第n 年的盈利总和为n S ，则22
11()9109n S n n n n n =-+-=-+-，
所以年平均盈利额为2109910()104n S n n n n n n -+-==-+≤-=，
当且仅当9
n n
=
时，即3n =时，取得等号， 即年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 的值为3. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查了与数列相关的实际应用问题，其中解答中根据条件利用等差数列的通项公式和求和公式，求得年平均盈利总额的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 15．9 【详解】
由题意，抛物线2
:8E x y =，可得4P =，焦点为(0,2)F ，
因为A 为线段CF 的中点，可得(-，则
AF k =
=，
所以直线AF 的方程为2y x =
+，
联立方程组224
8y x x y ⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
，整理得2160x --=， 设1122(,),(,)A x y B x y
，则12x x +=
1212()454
y y x x +=++=， 所以12549AB y y p =++=+=. 故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 16．①③ 9π 【分析】
（1）运用正方体的对角线的性质和对称性，得到截面为正三角性或正六边形，计算即可得到结论；
（2）确定外接圆的球心在OP 上，运用勾股定理求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】
（1）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2
，可得对角线长为 对于①中，由线面垂直的判定定理和性质，可得1BD ⊥平面1AB C ，
当截面经过111111,,,,,A B B C CC BC AB AA 中点时，此时得到的截面垂直与1BD ，且为正六边形，所以截面多边形可能为六边形，所以是正确的；
对于②中，当x 时，可得截面为等边EFG ∆，如图所示，
设等边EFG ∆的边长为a ，可得PF =
，BF =
在直角BPF ∆中，可得2
2
2
BF
PF BP =+，即222(
)()(232
a a =+，
解得2
a =
，所以截面EFG ∆的周长322y =⨯=
，所以②不正确；
③根据正方体的对称性，可得函数()f x 的图象关于x =
（2）由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得对角线长为
当x =P 恰为对角线1BD 的中点，则P 在底面上的射影为AC 的中点O '， 由球的性质，可得球心O 在O P '上，
设球的半径为R ，可得2
2
2
()OP R OB R -+=，即222(1)R R -+=，解得3
2
R =， 所以三棱锥PABC 为外接球的表面积为2
2
344()92
S R πππ==⨯=. 故答案为：①③，9π.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，正方体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用结合体的几何结构特征和正方体的性质进行分析是解答的关键，着重考查了分析
问题和解答问题的能力.
17．（1）（2）8 【分析】
（1）由正弦差角公式展开，并结合正弦定理与余弦定理将角化为边，化简后结合a c ≠即可求得b ，即为边AC 的长；
（2）根据题意可得120ADC ︒∠=，结合余弦定理及基本不等式，即可求得AD DC +的最大值． 【详解】
（1）根据正弦差角公式展开可得
可得cos sin sin sin -=-A C A C a A c C ，
结合正弦定理化简可得22cos cos C A a c -=-．
由余弦定理代入可得2222222222a b c c b a a c ab cb
+-+--=-，
)()
2222∴-=-a c b a c ，
a c ≠，
∴=b AC =
（2）
AB AD =，
120︒∴∠=ADC ，
由2222cos120︒=+-⋅AC AD CD AD CD ，
得22
2
2
2
()3()()()44
AD CD AD CD AD CD AD CD AD CD +-=--⋅≥--=
8AD CD ∴+≤，当且仅当AD CD =时，等号成立， ∴+AD CD 的最大值为8．
【点睛】
本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，正弦差角公式及基本不等式的应用，属于中档题.
18．（1）见解析（2 【解析】
试题分析：（Ⅰ）若线面平行，则线线平行，所以连结AC BE G =，连结GF ，
可得//SA FG ，根据~GEA GBC ∆∆，可得比例关系，和平行线比例关系可得
λ；（Ⅱ）根据长度以及垂直关系可证明SE ⊥平面ABCD ，所以以点E 为原点
建立如图坐标系，分别求两个平面,SBE BEF 的法向量，根据cos ,m n <>求值.
试题解析：
（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G ⋂=， 则平面SAC ⋂平面EFB FG =，
SA //平面EFB ，SA ∴//FG ，
GEA ∆∽GBC ∆，1
2
AG AE GC BC ∴
==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13
λ∴=；
（Ⅱ）,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=，
又
2,60AB AD BAD ==∠=︒，BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，
以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则()()
()1,0,0,,0,0,2A B S ，平面SEB 的法向量()1,0,0m EA ==， 设平面EFB 的法向量(),,n x y z =，
则()()
,,00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，
()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，
令1z =，得()2,0,1n =，25
cos ,5m n
m n m n
⋅∴=
=⋅
即所求二面角的余弦值是
5
． 19．（1）2
214
x y +=（2）
【分析】
（1）利用椭圆的离心率和经过的点12⎫
⎪⎭
，列方程组求解即可．
（2）设P （2，m ），m ＞0，得直线PC 方程与椭圆联立，利用韦达定理，推出E 的坐标， 同理求F 点横坐标，由S △PCD ＝2S △PEF ，转化求解即可． 【详解】
（1
）因22221(0)x y a
b a b +=>>的离心率2
e =
，且经过点
12⎫⎪⎭，
所以2
221
1,
4c a a
b ⎧=⎪
⎪
⎨⎪+=⎪⎩ 解得2
4a =，2
1b =．所以椭圆标准方程为2
214
x y +=．
（2）由（1）知椭圆方程为2
214
x y +=，所以直线l 方程为2x =，()0,1C ，()0,1D -．
设()2,P m ，0m >，则直线PC 的方程为1
12
m y x -=
+， 联立方程组2211,21,4
m y x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()22
22410m m x m x -++-=，
所以E 点的横坐标为()24122
E m x m m --=
-+；
又直线PD 的方程为1
12
m y x +=
- 联立方程组2211,21,4
m y x x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()22
22410m m x m x ++-+=，
所以F 点的横坐标为()24122
F m x m m +=++．
由2PCD PEF S S ∆∆=得
11
sin 2sin 22
PC PD DPC PE PF EPF ⋅∠=⨯⋅∠， 则有2PC PD
PE PF
⋅=⋅，则()()222020
24141222222m m m m m m --⋅=-++--+++，
化简得44
4
2m m
+=，解得22m =，因为0m >
，所以m =， 所以点P
的坐标为(． 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力和转化思想的应用.
20．（1）见解析（2）3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900 【分析】
（1）根据题意可知9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；
（2）结合（1）的分布列，分别讨论当35005000n ≤≤和20003500n ≤<时，利润的数学期望，即可求出期望的最大值以及期望最大时n 的值． 【详解】
解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量X 的可能取值为2000、3500、5000公斤，
()41420000.290P X +==
=，()36
35000.490P X ===， ()2115
50000.490P X +===
于是X 的分布列为：
X 的数学期望为：20000.235000450000.44800EX =⨯+⨯+⨯=．
． （2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑20005000n ≤≤， 当35005000n ≤≤时， 若气温不低于30度，则4Y
n =；
若气温位于[25,30)，则()3500435003245003Y n n =⨯--⨯=-； 若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()()2211
424500314000312600119005555
EY n n n n =
⨯+⨯-+-=-≤ 当20003500n ≤<时， 若气温不低于25度，则4Y
n =；
若气温低于25度，则()2000420003140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时()4113
4140003280011900555
EY n n n =
⨯+-=+<； 所以3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900． 【点睛】
本题考查分布列以及数学期望的求法，属于中档题．
21．（1）当0a ≤时，()f x 单调递减；当0a >时，在(0,2上()f x 单调递增，在()
2
+∞上()f x 单调递减； （2）证明见解析. 【分析】
（1）求得函数的导数()2
44f x a x x
-'=，分类讨论，即可求得函数的单调区间；
（2）由（1）的单调性，根据()()12f x f x <，化简可得22121()1
22
x x x e x -<，得到221
(sin cos )2
sin cos x x x
e x
-<，再利用三角函数则111cos 2(,)224x -∈--，所以11cos224x e e --<，代入即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()()2ln 142x a R f a x x =-∈，则()2
4,044a a x x x x x
f x -'=-=>， 当0a ≤时，0f x
，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；
当0a >时，
当x ∈时，0f x
，函数()f x 单调递增；
当)x ∈+∞时，0f x
，函数()f x 单调递减.
（2）当4a =时，()()2
1ln 2
x x f a R x =-
∈， 由（1）可知，()f x 在(0,1)上单调递增，
设12,(0,1)x x ∈且12x x <，则()()12f x f x <，即22
112211ln ln 22
x x x x -
<-， 化简可得2211221ln ()2x x x x <-，所以
22121()122
x x x e x -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin cos 1x x <<<，所以221
(sin cos )2
sin cos x x x
e x
-< ，即1cos22tan x x e -<， 又因为0,6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则20,
3x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，可得1cos 2(,1)2
x ∈，
则111
cos 2(,)224
x -
∈--，所以11cos224x e e --<， 综上可得：1
1cos22
4
tan x x e e -
<<.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22．（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）5
4
【分析】
(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；
(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可. 【详解】
解：（1）曲线C 的普通方程为：2
213
x y +=，
将曲线C
上的点按坐标变换'3'x x y y
⎧=⎪⎨⎪=⎩
得到''x y y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，代入()()22
''1x y +=得'C 的方程为：2
2
1x y +=. 化为极坐标方程为：1ρ=. （2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 因为直线l 过点A 且倾斜角为
6
π， 设直线l
的参数方程为3212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
，
代入2
2
:1C x y +=
得：25
04
t +=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，
则12125
4
t t t t +=
=.
所以1254
AM AN t t ⋅==. 【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.
23．（1）1m =（2）证明见解析 【分析】
(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛
⎫
+≥ ⎪⎝⎭
的解集求出m 的值； (2)将1代换为111
24a b c
++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】 （1）由102f x ⎛⎫
+
≥ ⎪⎝⎭
得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝
⎭的解集为{}11x x -≤≤，
所以1m =. （2）由（1）得
111
124a b c
++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++=++++++++≥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 当且仅当24a b c ==时，等号成立. 所以249a b c ++≥成立. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。