工程力学第十三章
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2 2 2
３.单元体与应力圆的对应关系 点面对应；转向相同，转角二倍。 点面对应；转向相同，转角二倍。
证明： 证明：
应力状态分析
§13-3 极值应力与主应力 13正应力的极值——主应力、主平面的确定 主应力、 一、正应力的极值 主应力 dσ α =0 得 根据式（13- ），由求极值条件 由求极值条件， 根据式（13-1），由求极值条件， dα
n
xy x yx y
∑F
τ α dA (τ xy dA cos α )cos α (σ x dA cos α ) sin α
+ (σ y dA sin α )cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
t
=0
考虑切应力互等和三角变换， 考虑切应力互等和三角变换，得：
σα =
正应力取极值的面（也是切应力为零的面） 主平面， 正应力取极值的面（也是切应力为零的面）为主平面， 主方向， 主平面的外法线方向称主方向 正应力的极值称主应力 主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力 对平面一般应力状态通常有两个非零主应力： ，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力σ 、σ ：
σx
τzx B
τxz
C
τ xy
主平面、主单元体、 六、主平面、主单元体、主应力
σ σyy
y
y
主平面( １.主平面(Principal Plane)： ) 切应力为零的截面。 切应力为零的截面。 主单元体(主平面微体) ２.主单元体(主平面微体)：各侧 面上切应力均为零的单元体。 面上切应力均为零的单元体。 主平面上的正应力。 主平面上的正应力。 区分： 区分：正应力和主应力 ４.主应力排列规定：按代数值大小 主应力排列规定： 代数值大小
pD σ = 4δ
'
D 远小于直径D δ < 壁厚 δ 远小于直径 20
pD σ = 2δ
''
2.弯曲与扭转组合作用下的圆轴 弯曲与扭转组合作用下的圆轴
3.受横向载荷作用的深梁 受横向载荷作用的深梁
4.螺旋桨轴 螺旋桨轴
5.导轨与滚轮的接触处（三向应力状态的工程实例） 导轨与滚轮的接触处（三向应力状态的工程实例） 导轨与滚轮的接触处
My σ= Iz
F S S z τ = τ (y) = bI z
应力状态分析
应力状态分析
2.通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。 2.通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。 通过同一点不同 例如， 通过轴向拉伸杆件同一点的不同（ 例如，图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向 截面上具有不同的应力。 ）截面上具有不同的应力。
σ xx、σ yy、σ zz τ xy、τ yz、τ zx
应力状态分析
五、补充:原始单元体（已知单元体） 补充:原始单元体（已知单元体） 例
P y B C z P M x
画出下列图中的A、 、 点的已知单元体 点的已知单元体。 画出下列图中的 、B、C点的已知单元体。
A P
σx
A
σx τ yx σx
σ x + σ y σ x σ y
2 + 2
cos2α τ xy sin 2α (131)
τα =
σ x σ y
2 σ α 、τ α 都是α的函数
sin 2α + τ xy cos 2α (13 2)
应力圆法（图解法） 二、应力圆法（图解法） 1.应力圆 1.应力圆 以α为参数的参数方程 σ x + σ y σ x σ y σα = 2 + 2 cos2α τ xy sin2α(131) τ = σ x σ y sin2α +τ cos2α (13 2) xy α 2
应力状态分析 第十三章 应力状态分析
§13-1 应力状态概述 13§13-2 平面应力状态应力分析 13§13-3 极值应力与主应力 1313§13-4 复杂应力状态的最大应力 13§13-5 广义胡克定律
应力状态分析
一、引言 铸铁与低碳钢的拉、 扭试验现象是怎样产生的？ 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
(σ x σ y ) dσ α = 2 sin 2α + τ xy cos 2α = 0 dα 2
即有
பைடு நூலகம்
tan 2α 0 =
2τ xy
σ x σ y
+ 90°
(13 4 )
0
可求出相差90 可求出相差900两个解 且有
0
τα = τα
α 0、（ α 0 + 90 ）
0
=0
从公式13从公式13-4求出 13
sin 2α 0 =
(σ
x σ y ) + 4τ xy 2
σ x σ y
2
cos 2α 0 =
(σ
x σ y ) + 4τ xy 2
2τ xy
2
代入公式13代入公式13-1，求得正应力的最大和最小值为 13
，
σ max，=
min
σ x +σ y
2
± (
σ x σ y
2
) +τ
2
2 xy
(13 3)
σ α = σ cos θ
2
τα =
σ
2
sin 2θ
应力状态分析
二、一点的应力状态 过一点有无数的截面， 过一点有无数的截面，通过一点不同截面上的应力 情况，或所有方位截面上应力的集合， 情况，或所有方位截面上应力的集合，称为这点的应 力状态（ 力状态（State of Stress at a Given Point）。 ）。 应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方 应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方 向的变化规律。如图8 向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不 方向）截面上的应力情况（集合）。 同（方向）截面上的应力情况（集合）。
四、普遍状态下的应力表示 应力分量的下标记法 第一个下标指作用面（ 下标记法： 应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线 方向表示），第二个下标指作用方向。 ），第二个下标指作用方向 方向表示），第二个下标指作用方向。 共有9个应力分量 共有 个应力分量 独立的应力分量有6个 独立的应力分量有 个
6.滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点（三向应力状态） 滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点（三向应力状态） 滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点
§13-2 平面应力状态应力分析 13平面一般应力状态
σ x、σ y、τ xy、τ yx τ xy = τ yx 共有4个应力分量 个应力分量： 共有 个应力分量： σ x、σ y、τ xy 独立的应力分量有3个 独立的应力分量有 个
§13-1 应力状态概述 13-
脆性材料： [τ ] < [σ t ] = [σ c ] 脆性材料：[σ t ] < [τ ] < [σ c ] 塑性材料： 塑性材料：
P 铸铁拉伸 铸铁压缩 P M 低碳钢 铸铁 P
应力状态分析
凡提到“应力” 必须指明作用在哪一点，哪个（ 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向 截面上。 ）截面上。 1.受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。 1.受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。 受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的 例如， 例如，图8-1横力弯曲梁的横截面上各点具有不同的 正应力与切应力。 正应力与切应力。
σ x + σ y σ x σ y cos2α τ xy sin2α = σα 2 2 τ = σ x σ y sin2α +τ cos2α xy α 2 对上述方程消去参数2 对上述方程消去参数2α得：
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σ α +τα = 2 + τ xy 2
max
min
*最大主应力位置的确定
σmax在切应力相对的项限内， 在切应力相对的项限内， 代数值） 且偏向于σx 及σy大（代数值）
的一侧。 的一侧。
σ 1 = σ max ; σ 2 = σ min
应力圆的应用
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σ max = OC ± R半径 = ±（ ） + τ xy 2 2 σ min
2τ xy τ xy tan 2α 0 = ____ = = σ x σ y σ x σ y CF DF 2
σy σα τα
y
２.应力圆的画法
n
α
τxy
σx
建立应力坐标系， 建立应力坐标系，如下图所 注意选好比例尺） 示,（注意选好比例尺） 坐标系内画出点D( 在坐标系内画出点 (σ x，τxy) 和 D' (σy，τyx) σ 轴的交点C便是圆心 便是圆心。 DD'与σα 轴的交点C便是圆心。
τα n E( σα , τα)
σx
A
σx
τ yx
C
τ xy
σx
τzx
B
τxz
σx
3.三向（空间）应力状态（ 3.三向（空间）应力状态（ Three—Dimensional State 三向 of tress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 ）： 三个主应力都不为零的应力状态。
八、二向和三向应力状态的工程实例 １.薄壁圆筒压力容器
2 2
σ x、σ y、τ xy 为已知量 以σ α、τ α 为变量的圆周方程
圆心坐标
σ
x
+σ 2
y
,0 半径 R =
σ x σ y 2
2 + τ xy
2
此方程曲线为圆—应力圆 此方程曲线为圆 应力圆 或称莫尔圆，由德国工程师： Mohr引入 引入） （或称莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）
平面应力状态任意斜截面上的应力（解析法） 一、平面应力状态任意斜截面上的应力（解析法） 已知： 已知：
σ x、σ y、τ xy
求：
σ α 、τ α
1.符号规定 符号规定
σα以拉应力为正，压应力为负； 以拉应力为正，压应力为负；
绕研究对象顺时针转为正； 绕研究对象顺时针转为正；
τα 倾角α 倾角α自x 轴开始逆时针转动
σ σzz
z z
σ σx x ３.主应力(Principal Stress ）： 主应力(
x
x
σ 22 σ
σ σ1 1
σ33 σ
σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3
应力状态分析
七、应力状态的分类 1.单向应力状态（ 1.单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 单向应力状态 ）： 只有一个主应力不为零的应力状态。 只有一个主应力不为零的应力状态。例：轴向拉压 2.二向（平面）应力状态（ ）：两 2.二向（平面）应力状态（Plane State of tress）：两 二向 ）： 个主应力不为零的应力状态。 扭转、 个主应力不为零的应力状态。例：扭转、横力弯曲
C O D (σy ,τyx)
/
O
x
x D(σx ,τxy)
2α
σα
为圆心， 以C为圆心，以 CD 为半径 为圆心 画圆——应力圆； 应力圆； 画圆 应力圆
证明： 证明：
OC = OB + BC 1 = OB + OA OB 2 1 = OA + OB 2 σ x +σ y = 2
(
(
)
)
σ x σ y 2 CD = CA + AD = 2 + τ xy
σ α = σ cos α
2
τα =
σ
2
sin 2α
轴逆时针转向外法线n， 为正；反之为负； 轴逆时针转向外法线 α —自x轴逆时针转向外法线 ， α 为正；反之为负；
应力状态分析
补充:单元体(微体) 三、补充:单元体(微体) 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体 单元体（ 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体（微 正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。 正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 构件内的点的代表物， １.单元体 构件内的点的代表物 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 各微面上的应力均匀分布； ２.单元体的性质——各微面上的应力均匀分布； 单元体的性质 各微面上的应力均匀分布 相互平行的两个侧面上应力性质相同、大小相等、 相互平行的两个侧面上应力性质相同、大小相等、方向 相反； 相反； 互相垂直的两个侧面上切应力服从切应力互等关系。 互相垂直的两个侧面上切应力服从切应力互等关系。
为正。 为正。
2.公式推导 公式推导 斜截面ef平行于 轴且与x面成倾角 平行于z轴且与 面成倾角α 斜截面 平行于 轴且与 面成倾角α 斜截面面积为 dA，由保留部分的平衡得： ，由保留部分的平衡得：
∑ F =0 σ α dA + (τ dA cos α ) sin α (σ dA cos α ) cos α + (τ dA sin α )cos α (σ dA sin α ) sin α = 0
３.单元体与应力圆的对应关系 点面对应；转向相同，转角二倍。 点面对应；转向相同，转角二倍。
证明： 证明：
应力状态分析
§13-3 极值应力与主应力 13正应力的极值——主应力、主平面的确定 主应力、 一、正应力的极值 主应力 dσ α =0 得 根据式（13- ），由求极值条件 由求极值条件， 根据式（13-1），由求极值条件， dα
n
xy x yx y
∑F
τ α dA (τ xy dA cos α )cos α (σ x dA cos α ) sin α
+ (σ y dA sin α )cos α + (τ yx dA sin α ) sin α = 0
t
=0
考虑切应力互等和三角变换， 考虑切应力互等和三角变换，得：
σα =
正应力取极值的面（也是切应力为零的面） 主平面， 正应力取极值的面（也是切应力为零的面）为主平面， 主方向， 主平面的外法线方向称主方向 正应力的极值称主应力 主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力 对平面一般应力状态通常有两个非零主应力： ，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力σ 、σ ：
σx
τzx B
τxz
C
τ xy
主平面、主单元体、 六、主平面、主单元体、主应力
σ σyy
y
y
主平面( １.主平面(Principal Plane)： ) 切应力为零的截面。 切应力为零的截面。 主单元体(主平面微体) ２.主单元体(主平面微体)：各侧 面上切应力均为零的单元体。 面上切应力均为零的单元体。 主平面上的正应力。 主平面上的正应力。 区分： 区分：正应力和主应力 ４.主应力排列规定：按代数值大小 主应力排列规定： 代数值大小
pD σ = 4δ
'
D 远小于直径D δ < 壁厚 δ 远小于直径 20
pD σ = 2δ
''
2.弯曲与扭转组合作用下的圆轴 弯曲与扭转组合作用下的圆轴
3.受横向载荷作用的深梁 受横向载荷作用的深梁
4.螺旋桨轴 螺旋桨轴
5.导轨与滚轮的接触处（三向应力状态的工程实例） 导轨与滚轮的接触处（三向应力状态的工程实例） 导轨与滚轮的接触处
My σ= Iz
F S S z τ = τ (y) = bI z
应力状态分析
应力状态分析
2.通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。 2.通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。 通过同一点不同 例如， 通过轴向拉伸杆件同一点的不同（ 例如，图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向 截面上具有不同的应力。 ）截面上具有不同的应力。
σ xx、σ yy、σ zz τ xy、τ yz、τ zx
应力状态分析
五、补充:原始单元体（已知单元体） 补充:原始单元体（已知单元体） 例
P y B C z P M x
画出下列图中的A、 、 点的已知单元体 点的已知单元体。 画出下列图中的 、B、C点的已知单元体。
A P
σx
A
σx τ yx σx
σ x + σ y σ x σ y
2 + 2
cos2α τ xy sin 2α (131)
τα =
σ x σ y
2 σ α 、τ α 都是α的函数
sin 2α + τ xy cos 2α (13 2)
应力圆法（图解法） 二、应力圆法（图解法） 1.应力圆 1.应力圆 以α为参数的参数方程 σ x + σ y σ x σ y σα = 2 + 2 cos2α τ xy sin2α(131) τ = σ x σ y sin2α +τ cos2α (13 2) xy α 2
应力状态分析 第十三章 应力状态分析
§13-1 应力状态概述 13§13-2 平面应力状态应力分析 13§13-3 极值应力与主应力 1313§13-4 复杂应力状态的最大应力 13§13-5 广义胡克定律
应力状态分析
一、引言 铸铁与低碳钢的拉、 扭试验现象是怎样产生的？ 铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
(σ x σ y ) dσ α = 2 sin 2α + τ xy cos 2α = 0 dα 2
即有
பைடு நூலகம்
tan 2α 0 =
2τ xy
σ x σ y
+ 90°
(13 4 )
0
可求出相差90 可求出相差900两个解 且有
0
τα = τα
α 0、（ α 0 + 90 ）
0
=0
从公式13从公式13-4求出 13
sin 2α 0 =
(σ
x σ y ) + 4τ xy 2
σ x σ y
2
cos 2α 0 =
(σ
x σ y ) + 4τ xy 2
2τ xy
2
代入公式13代入公式13-1，求得正应力的最大和最小值为 13
，
σ max，=
min
σ x +σ y
2
± (
σ x σ y
2
) +τ
2
2 xy
(13 3)
σ α = σ cos θ
2
τα =
σ
2
sin 2θ
应力状态分析
二、一点的应力状态 过一点有无数的截面， 过一点有无数的截面，通过一点不同截面上的应力 情况，或所有方位截面上应力的集合， 情况，或所有方位截面上应力的集合，称为这点的应 力状态（ 力状态（State of Stress at a Given Point）。 ）。 应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方 应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方 向的变化规律。如图8 向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不 方向）截面上的应力情况（集合）。 同（方向）截面上的应力情况（集合）。
四、普遍状态下的应力表示 应力分量的下标记法 第一个下标指作用面（ 下标记法： 应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线 方向表示），第二个下标指作用方向。 ），第二个下标指作用方向 方向表示），第二个下标指作用方向。 共有9个应力分量 共有 个应力分量 独立的应力分量有6个 独立的应力分量有 个
6.滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点（三向应力状态） 滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点（三向应力状态） 滚珠轴承中滚珠与外圈的接触点
§13-2 平面应力状态应力分析 13平面一般应力状态
σ x、σ y、τ xy、τ yx τ xy = τ yx 共有4个应力分量 个应力分量： 共有 个应力分量： σ x、σ y、τ xy 独立的应力分量有3个 独立的应力分量有 个
§13-1 应力状态概述 13-
脆性材料： [τ ] < [σ t ] = [σ c ] 脆性材料：[σ t ] < [τ ] < [σ c ] 塑性材料： 塑性材料：
P 铸铁拉伸 铸铁压缩 P M 低碳钢 铸铁 P
应力状态分析
凡提到“应力” 必须指明作用在哪一点，哪个（ 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向 截面上。 ）截面上。 1.受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。 1.受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。 受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的 例如， 例如，图8-1横力弯曲梁的横截面上各点具有不同的 正应力与切应力。 正应力与切应力。
σ x + σ y σ x σ y cos2α τ xy sin2α = σα 2 2 τ = σ x σ y sin2α +τ cos2α xy α 2 对上述方程消去参数2 对上述方程消去参数2α得：
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σ α +τα = 2 + τ xy 2
max
min
*最大主应力位置的确定
σmax在切应力相对的项限内， 在切应力相对的项限内， 代数值） 且偏向于σx 及σy大（代数值）
的一侧。 的一侧。
σ 1 = σ max ; σ 2 = σ min
应力圆的应用
σ x +σ y σ x σ y 2 2 σ max = OC ± R半径 = ±（ ） + τ xy 2 2 σ min
2τ xy τ xy tan 2α 0 = ____ = = σ x σ y σ x σ y CF DF 2
σy σα τα
y
２.应力圆的画法
n
α
τxy
σx
建立应力坐标系， 建立应力坐标系，如下图所 注意选好比例尺） 示,（注意选好比例尺） 坐标系内画出点D( 在坐标系内画出点 (σ x，τxy) 和 D' (σy，τyx) σ 轴的交点C便是圆心 便是圆心。 DD'与σα 轴的交点C便是圆心。
τα n E( σα , τα)
σx
A
σx
τ yx
C
τ xy
σx
τzx
B
τxz
σx
3.三向（空间）应力状态（ 3.三向（空间）应力状态（ Three—Dimensional State 三向 of tress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 ）： 三个主应力都不为零的应力状态。
八、二向和三向应力状态的工程实例 １.薄壁圆筒压力容器
2 2
σ x、σ y、τ xy 为已知量 以σ α、τ α 为变量的圆周方程
圆心坐标
σ
x
+σ 2
y
,0 半径 R =
σ x σ y 2
2 + τ xy
2
此方程曲线为圆—应力圆 此方程曲线为圆 应力圆 或称莫尔圆，由德国工程师： Mohr引入 引入） （或称莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）
平面应力状态任意斜截面上的应力（解析法） 一、平面应力状态任意斜截面上的应力（解析法） 已知： 已知：
σ x、σ y、τ xy
求：
σ α 、τ α
1.符号规定 符号规定
σα以拉应力为正，压应力为负； 以拉应力为正，压应力为负；
绕研究对象顺时针转为正； 绕研究对象顺时针转为正；
τα 倾角α 倾角α自x 轴开始逆时针转动
σ σzz
z z
σ σx x ３.主应力(Principal Stress ）： 主应力(
x
x
σ 22 σ
σ σ1 1
σ33 σ
σ 1 ≥σ 2 ≥σ 3
应力状态分析
七、应力状态的分类 1.单向应力状态（ 1.单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 单向应力状态 ）： 只有一个主应力不为零的应力状态。 只有一个主应力不为零的应力状态。例：轴向拉压 2.二向（平面）应力状态（ ）：两 2.二向（平面）应力状态（Plane State of tress）：两 二向 ）： 个主应力不为零的应力状态。 扭转、 个主应力不为零的应力状态。例：扭转、横力弯曲
C O D (σy ,τyx)
/
O
x
x D(σx ,τxy)
2α
σα
为圆心， 以C为圆心，以 CD 为半径 为圆心 画圆——应力圆； 应力圆； 画圆 应力圆
证明： 证明：
OC = OB + BC 1 = OB + OA OB 2 1 = OA + OB 2 σ x +σ y = 2
(
(
)
)
σ x σ y 2 CD = CA + AD = 2 + τ xy
σ α = σ cos α
2
τα =
σ
2
sin 2α
轴逆时针转向外法线n， 为正；反之为负； 轴逆时针转向外法线 α —自x轴逆时针转向外法线 ， α 为正；反之为负；
应力状态分析
补充:单元体(微体) 三、补充:单元体(微体) 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体 单元体（ 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体（微 正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。 正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 构件内的点的代表物， １.单元体 构件内的点的代表物 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 各微面上的应力均匀分布； ２.单元体的性质——各微面上的应力均匀分布； 单元体的性质 各微面上的应力均匀分布 相互平行的两个侧面上应力性质相同、大小相等、 相互平行的两个侧面上应力性质相同、大小相等、方向 相反； 相反； 互相垂直的两个侧面上切应力服从切应力互等关系。 互相垂直的两个侧面上切应力服从切应力互等关系。
为正。 为正。
2.公式推导 公式推导 斜截面ef平行于 轴且与x面成倾角 平行于z轴且与 面成倾角α 斜截面 平行于 轴且与 面成倾角α 斜截面面积为 dA，由保留部分的平衡得： ，由保留部分的平衡得：
∑ F =0 σ α dA + (τ dA cos α ) sin α (σ dA cos α ) cos α + (τ dA sin α )cos α (σ dA sin α ) sin α = 0