广东省珠海二中高三数学练习(2) 理

珠海二中2012届高三数学练习二 （理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只
有一项是符合题目要求的．
1．设U R =, 2{|0}M x x x =-≤
，函数()f x =N ,则()U M N =I ð A ．[0,1)
B ．(0,1)
C ．[0,1]
D ．{}1
2．已知,x y R ∈，则“x y =”是“x y =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x
A ．2y x =±
B ．x y 2±=
C ．x y 2
2
±= D ．12y x =±
4．下列命题不正确．．．
的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直； B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行； C ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行；
D ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直. 5．不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为
6．从2,1,0,1,2,3--这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数2y ax bx c =++的系数a b c 、、，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为
A ．6
B ．20
C ．100
D ． 120 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，为了
得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像
A ．向右平移6
π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6
π个单位长度 D ．向左平移12π
个单位长度
第7题图
A
C
D
8．以下有关命题的说法错误的是（）
A．命题“若
23201
x x x
-+==
则”的逆否命题为“若2
1,320
x x x
≠-+≠
则”
B．若
p q
∧为假命题，则p、q均为假命题
C．“1
x=”是“2320
x x
-+=”的充分不必要条件
D．对于命题
2
:10,:
p x R x x p x R
∃∈++<⌝∀∈
使得则，均有210
x x
++≥
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.
(一)必做题(9—13题)
9.复数
12
1
i
i
+
-
的值是．
10.若对于任意实数x，有323
0123
(2)(2)(2)
x a a x a x a x
=+-+-+-，
则
123
a a a
++的值为__________.
11．在ABC
△中，AB BC
=，
7
cos
18
B=-．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．
12.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能
输出数对（x，y）的概率是▲.
13．在平面几何中，ABC
∆的内角平分线CE AB
分所成线段的比
为
AE AC
EB BC
=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD
-中
（如图所示），平面DEC平分二面角A CD B
--且与AB相交于E，
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如上图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点于C，AD CE
⊥于D，若AD＝1，30
ABC
∠=︒，则圆O的面积是
15．（坐标系与参数方程选做题）已知点P（x,y）在曲线
2cos
sin
x
y
θ
θ
=-+
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数，[,2)
θππ
∈）上，则
y
x
的取值范围为.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分）
已知向量(cos ,sin )OA αα=,02
π
α<<.向量(2,1)=m
，=n ,
且m (OA ⊥-)n . (Ⅰ) 求向量OA ； (Ⅱ)
若sin()2
10
π
β+=
,0βπ<<，求2αβ+的值.
17．（本题满分12分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个 频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间
的中点值作为代表，据此估计本次考试的 平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的
学成绩在[)60,40记0分，在[)80,60记1分， 在[]100,80记2分，用ξ表示抽取结束后的 总记分，求ξ的分布列和数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图,正三棱柱'''
-ABC A B C 中
, '
2,BC CC =. (1)求证: ''
AC BC ⊥;
(2)请在线段'
CC 上确定一点P,使直线'
A P 与平面'
A BC
所成角的正弦等于5
.
第17题图
C'
B
19．（本小题满分14分）
已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <． 记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．
（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （2）若曲线2
2
2
51
:24025
G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值．
20．（本小题满分14分）
（16分）已知数列}{n a 满足：).0(,121>==a a a a 数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+。

（1）若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （2）若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前项和n S ；
（3）当}{n b 是公比为1-a 的等比数列时，}{n a 能否为等比数列？若能，求出a 的值；
若不能，请说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知a ∈R ，函数()()2f x x x a =-．
（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫
⎪⎝⎭内是减函数，求实数a 的取值范围；
（2）求函数
()
f x 在区间
[]1,2上的最小值()h a ；
（3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程
()12h a m a ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭有两个不相等的实数解， 求实数m 的取值范围．
珠海二中2012届高三数学练习三答案 （理） 2011年8月16日 一、选择题
1.C
2. A
3. C
4.D
5. C
6. A
7.D
8.B
二、填空题 （第一空3分，第二空2分）
9．
1322i -+ 10．19； 11. 38c e a ==；12.1π； 13.ACD BCD
S
AE EB S
=
14．4,π 15．
[0,3
三、解答题
16． (Ⅰ
)2()55
OA = (Ⅱ) 324παβ+= 17．(Ⅰ) 0.3 （Ⅱ）71x =．
（Ⅲ）7272078151
01234 2.1118118590295590
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 18．(1)略（2
）'C P =.
19．(Ⅰ)211152(8
4
y x x x =-+
-<<. （Ⅱ）a 的最小值为20．（1） 2.n a a n ==.
（2）22122(1)(1)11
(1)
n n n a a a a
a S a a n a +⎧--=≠⎪
=--⎨⎪=⎩
.
（3）数列{}n a 不能为等比数列.
21． （1）
[)1,+∞ （2）()331,,
243
,
3,272
84, 3.
a a h a a a a a ⎧
-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩ （3）
()4,1--
珠海二中2012届高三数学练习二答案（理）
一、选择题
1.C
2. A
3. C
4.D
5. C
6. A
7.D
8.B
二、填空题 （第一空3分，第二空2分）
9．
1322i -+ 10．19； 11. 38c e a ==；12.1π； 13.ACD BCD
S
AE EB S
=
14．4,π
15．
[0,3
三、解答题 16．（本题满分12分）
解
: (Ⅰ)(cos ,sin OA n αα-=， ………………………………1分 又
()m OA n ⊥
-，∴2cos sin 0αα+
=，即sin 2cos αα，① ……2分
又2
2
sin cos 1αα+=
②将①代入②中，可得cos α= ③ ………………
4分
将③代入①中，得sin 5
α=
(5)
分∴2(
)55
OA = ……………………………………6分 (
Ⅱ) 方法一 ∵sin()210πβ+=,
0βπ<<，∴c o s 10
β=，且02πβ<<
………7分
∴sin 10
β==从而sin tan 7cos βββ==. …………………8分
由(Ⅰ)知1tan 2α=， 2
2tan 4
tan 21tan 3ααα==-； ………………………………9分 ∴tan 2tan tan(2)11tan 2tan αβ
αβαβ++=
=--. ……………………………………………10分 又∵02πα<<，∴02απ<<， 又02πβ<<，∴3022
π
αβ<+< …………11分
综上可得 324
π
αβ+=
…………………………………12分
方法二∵sin()210πβ+=
,0βπ<<，∴cos 10
β=，且02πβ<<
…………7分
∴sin 10
β==………………………………8分
由(Ⅰ)知2
3cos 22cos 15αα=-=，4sin 25
α= .
…………………………9分
∴cos(2)cos 2cos sin 2sin 2
αβαβαβ+=-=- ………………………10分
∵02πα<<，且注意到34
cos 20,sin 2055αα=>=>，
∴022πα<<，又02
π
β<<，∴02αβπ<+< ………………………11分
综上可得 324π
αβ+= ………………………12分
（若用sin(2)sin 2cos cos 2sin 2
αβαβαβ+=+=， 又∵02αβπ<+< ∴ 324
π
αβ+=，酌情扣1分.） 17．（本题满分12分）
(Ⅰ)设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图， 则有(0.010.01520.0250.005)101x +⨯++⨯+=， 可得0.3x =，所以频率分布直方图如右图所示.
（求解频率3分，画图1分）………………………4分 （Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………7分 （Ⅲ）学生成绩在[)60,40的有0.256015⨯=人，在[)80,60的有0.456027⨯=人， 在[]100,80的有0.36018⨯=人.并且ξ的可能取值是0,1,2,3,4. …………8分
则2152607(0)118C P C ξ===；11152726027(1)118C C P C ξ===； 1121518272
60207
(2)590C C C P C ξ+===； 11271826081(3)295C C P C ξ===；2182
6051
(4)590
C P C ξ===. 所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
3
4 P
7118 27118 207590
81295 51590
………………………………………11分
727207815101234 2.1118118590295590
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………………12分 18．(1)略（2
）'C P =.
19．【解析】联立2
20
x y y x -+=⎧⎨=⎩
,可得(1,1)A -,(2,4)B , 故线段AB 的中点15
(,22
Q ,设PQ 中点(,)M x y ,
从而有15
2,222x s y t =+=+,
解得15
2,222
s x t y =-=-, 因点(,)P s t 在曲线C 上,
∴2512(2)22
y x -=-,整理得211
28y x x =-+,又12s -<<,
∴1
1222
x -<-<即1544x -<<
∴线段PQ 的中点M 的轨迹方程为2
11152()
844
y x x x =-+-<<.
（Ⅱ）曲线(圆)G :2249
()(2)25
x a y -+-=
, 圆心在直线2y =上,要使a 最小,只需圆G 位于直线l 的上方,且与直线l 相切,
75
=,
解得a =
其中
a =
). ∴要使曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点,则a
的最小值为20．解：（1）{}n a 是等差数列，121,(0),1(1)(1)n a a a a a n a ==>∴=+--.--- 1分 又33412,12,(21)(32)12b a a a a =∴=--=即, ………………………3分 解得5
26
a a ==-
或， …………………………4分 0, 2.n a a a n >∴==从而. …………………………5分
（2）{}n a 是等比数列，1121,(0),n n a a a a a a -==>∴=，则211n n n n b a a a -+==.…7分
21
.n n
b a b +=∴数列{}n b 是首项为a ，公比为2a 的等比数列， 当1n a S n ==时，； ………………8分
当1a ≠时，22122(1)11
n n n a a a a
S a a +--==--. ……………10分
（3）数列{}n a 不能为等比数列. …………………11分
11222131,,1,1n n n n n n n n n n n n n
b a a a a
b a a a a a b a a a a +++++++=∴===-∴=-则， ………13分
假设数列{}n a 能为等比数列，由21231,,a a a a a ===得， ………………14分
221,10a a a a ∴=--+=即，此方程无解，
∴数列{}n a 一定不能为等比数列. ………………16分
21． 解：∵
()32
f x x ax =-，∴
()2'32f x x ax
=-.
∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，
∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪
⎝⎭上恒成立．…2分
即32x a ≥在
20,3⎛⎫ ⎪
⎝⎭上恒成立， 3321
223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为
[)1,+∞．…3分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()'0f x =得
203x a =或．…4分 ①若0a ≤，则当
12
x ≤≤时，
()'0f x >，所以
()f x 在区间
[]1,2上是增函数，
所以
()()11h a f a
==-．…5分
②若
302a <<
，即2
013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以
()()11h a f a
==-．…6分
③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当
213x a
<<时，()'0f x <； 当2
23a x <<时，()'0f x >．
所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23
a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以
()3
24327h a f a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭．…7分 ④若3a ≥，即2
23a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间
[]1,2上是减函
数．所以
()()284h a f a
==-．…8分
综上所述，函数()f x 在区间
[]1,2的最小值()33
1,,
243
,
3,272
84, 3.
a a h a a a a a ⎧
-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩ …9分
（3）解：由题意
()12h a m a ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭
即（2）中函数()h a 的图像与直线
12y m a ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭有两个 不同的交点．…11分
而直线
12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪
⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是
()4,1--．…12分
1。