矩阵的初等变换

Br13 r4
=− −
22r1 332r1
− 01
−
03 06
− 21 − 51 − 39
− 12 − 15 − 73
2 2 92−43
r3 r−4 −
360−−32=rr11
B2
r2 ÷ 2 r3 + 5r2
r4 − 3r2
1 1 − 2 1 4
Leabharlann Baidu


0 0
2−3 3 −21
4 −31
−
2 x2 5 x2
− +
2 x3 5 x3
+ −
2 x4 3 x4
= =
0, −6,
2 3
3 x2 − 3 x3 + 4 x4 = −3, 4
(B1 ) (B2 )
2 ×1 2
3 +52 4 −32
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4,

x2 − x3 + x4 = 0, 2x4 = −6,

x4 = −3,
1 2 3 4
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
3 ↔ 4
4 −23

x2 − x3 + x4 = 0, x4 = −3,
2 3

0 = 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值.
逆变换 逆变换 逆变换
ri ↔ rj;
ri
×(1) k
或
ri
÷
k;
ri + (−k )rj 或 ri − krj .
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩
阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A ⇔ A； （2）对称性 若 A ⇔ B ,则 B ⇔ A; （3）传递性 若 A ⇔ B, B ⇔ C,则 A ⇔ C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
1 0 − 1 0 4
例如，
B5
=
0 0
1 0
−1 0
0 1
3 − 3
0 0 0 0 0
c3 ↔ c4 c4 + c1 + c2
c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3
1 0
−1 0
1 2
−
0 6
=
B3
0 0 0 1 − 3
1 rBr343↔ −=2rr43000
11 10 0000
−12 −11 00 00
−12 −11 20 10
14 10 −16 −03

−
0430rr34↔ −=2Brr344
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri + krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri ↔ rj ri × k ri + krj
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩 阵 的 初 等 变 换
一、矩阵的初等变换 二、消元法解线性方程组
一、矩阵的初等变换
1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行（对调 i, j 两行,记作ri ↔ rj）； (2)以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri × k）
1 0 − 1 0 4
0 0
1 0
−1 0
0 1
−
3 3
=
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
行阶梯形矩阵 B5 还称为行最简形矩阵 , 即非 零行的第一个非零元为1 , 且这些非零元所在的列 的其他元素都为零.
010011 000000
000 111 000 000
000 000 111 000
−001 −001 000 000
0000−−4330=0334
F
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全 为零.
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, 1
4
x1 + x2 − 2 x3 + x1 − 6 x2 + 2 x3 −
x4 = 2 x4
4, = 4,
2
3÷2
(1)
3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i + k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
i↔j 若( A)
i↔j (B), 则(B)
( A);
若( A) i × k (B), 则(B) i ÷ k ( A);
若( A) i + k j (B), 则(B) i − k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
令x3 = c,方程组的解为
x1 = c + 4
x2 = c + 3

x3
=
c
x4 = −3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ）
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 − 1 − 1 1 2
B
=
(
A
b)
=

1 4
1 −6
−2 2
1 −2
4 4
3 6 − 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组 (1) 的增广矩阵）的变换．
用矩阵的初等行变换 解方程组（2）：
E 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
x
=

x2 x3 x4

=
c + 3

c −3

=
c
1 1 0

+
3

0 −3

其中c为任意常数 .
4、 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵
特点：
（1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零；
（2）每个台 阶 只有一行，
m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形 F = Er O O O m×n
此标准形由 m,n,r 三个数唯一确定，其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
例 将下列矩阵化为标准型：
1 2 3 (1) 2 2 1
3 4 3 1 2 2 1 (2) 2 1 − 2 − 2 1 − 1 − 4 − 3
解
(1)
1↔ 2 3 ÷2
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1

2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2,
2 3
3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 1
r1 − r2 r2 − r3
1 0 −1 0 4


0 0
1 0
−1 0
0 1
−
3 3
=
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
= =
x3 x3
+ +
4 3
x4 = −3
或令x3 = c,方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4
2 − 1 − 1 1 2
B
=

1 4
1 −6
−2 2
1 −2
− 4 4
3 6 − 9 7 9
1 1 − 2 1 4
r1 ↔ r2 r3 ÷ 2
2 2 3
−1 −3
6
−1 1
−9
1 −1
7

2 2
=
B1
9
r2 − r31 1 − 12 − 12 41 r2 4−r3