数学人教版九年级下册规律探索问题
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2 n 2
)
2．(2015· 十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三 角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建 正三角形和正六边形共用了 2 016 根火柴棍， 并且正三 角形的个数比正六边形的个数多 6 个，那么能连续搭 建正三角形的个数是( )
A． 222
B． 280
C． 286
D． 292
1．数字类规律探索问题 解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会 问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳， 得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分 数据的“规律”． 2．图形类规律探索问题 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证．
1 1 2 1 【点拨】a1＝－ ，a2＝ ＝ ，a3＝ ＝3， 2 1 3 2 1－ 1－－2 3 1 1 a4＝ ＝－ ，观察发现，数的循环周期为 3, 2 1－3 2 2 015÷ 3＝671„„2，∴a2 015＝a2＝ 3 类：一类是每个数与序号 有关系，另一类是循环类，即几个数后就会出现循环. 因此解决数字类问题，一般是计算前面几个简单的数 的结果，观察结果的变化是哪一类，若和序号有关， 则第 n 个数用含有 n 的式子表示；若是循环类，则找 出循环节，用 n 除以循环节，找出余数即可找到对应 的结果 .
2 1 2 ＝ 2 × 015 2 015－ 1 2 1 ＝ 2 012
.故
3．将一组数
3，
6 ，3,2
3，
15 ，„，
3 10，按下面的方法进行排列： 3， 6，3,2 3， 15； 3 2， 21，2 6，3 3， 30； „ 若2 3的位置记为(1,4)，2 6的位置记为(2,3)，则 这组数中最大的有理数的位置记为( A．(5,2) B．(5,3) C．(6,2) ) D．(6,5)
方法总结： 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变化规律，一要合理猜想，二要加以实际验证 .
专题训练
一、选择题 (每小题 4 分，共 32 分 ) 1． 请你计算： (1－ x)(1＋ x)， (1－ x)(1＋ x＋ x )， „， 猜想 (1－ x)(1＋ x＋ x ＋„＋ x )的结果是 ( A． 1－ xn＋1 C． 1－ xn 答案： A B． 1＋ xn＋1 D． 1＋ xn
2 2 2 2
二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 1 ． (2015· 安 徽 )按一 定规 律排列 的一 列数： 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ，„，若 x， y， z 表示这列数中的连续 三个数，猜测 x， y， z 满足的关系式是 xy＝ z .
1 2 3 5 8 13
2．如图，在等腰 Rt△ OAA1 中，∠ OAA1 ＝ 90° ， OA＝ 1，以 OA1 为直角边作等腰 Rt△ OA1 A2，以 OA2 为直角边作等腰 Rt△ OA2 A3， „„， 则 OA6 的长度为 .
考点一 数字类规律探索问题 例 1(2015· 巴中)定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数是 ＝－1，－1 1－a 1－2 1 1 1 的差倒数是 ＝ .已知 a1＝－ ， a2 是 a1 的差倒数， 2 2 1－－1 a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，„„，以此类推， 则 a2 015＝________.
4．(2015· 宜宾)如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆， 它们的半径从小到大依次是 1,2,3,4，„，20，阴影部分 是由第 1 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆，„„， 第 19 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的 面积为( ) B．210π D．171π A．231π C．190π
2 3 3 3 3 3 3 故 S1＝ · .同理可得 S2＝ S1＝ 4 · ， S3＝ S2 4 2 4 4 2 3 n 3 3 3 3 ＝ 4 · ，故 Sn＝ 4 · . 2 2 n 3 3 答案： 4 · 2
(1)
(2)
(3)
【解析】认真观察图形，确定图形变化规律：第 1个图案是由4个基础图形组成，第2个图案是由7个基 础图形组成，以后每个图案都比前一个图案多3个基 础图形，∴第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个 数为3n＋1. 答案：3n＋1
三、解答题 (共 28 分 ) 1． (8 分 )观察下列关于自然数的等式： (1)3 － 4× 1 ＝ 5 (2)5 － 4× 2 ＝ 9 (3)72－ 4× 32＝ 13 „
【解析】 易发现这组数的规律为从第 2 个数开始， 每个数都比上个数的被开方数大 3； 位置排列规律为每 一行有 5 个数，每个数的位置用一对有序数对表示， 其中第 1 个数代表行数，第 2 个数代表列数．所给的 81 这组数中最大的有理数为 81，即 9.由于 ＝ 27， 所以 3 81为这组数的第 27 个数， 所以 81位于第 6 行，第 2 列，记为 (6,2)．故选 C. 答案： D
4．(2015· 潍坊)如图，正△ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正△AB1C1， △ABC 与△AB1C1 公共 部分的面积记为 S1；
再 以正△ AB1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正 △ AB2C2 ，△ AB1C1 与△ AB2C2 公共部分的面积记为 S2； „„， 以此类推， 则 Sn＝ .(用含 n 的式子表示 )
2 2 2 2
① ② ③
根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式： 9 － 4× (______) ＝ (______)； (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)， 并验证其正确性． 解： (1)4
2 2 2
17
2
(2)(2n＋ 1) － 4× n ＝ 4n＋ 1.证明如下： ∵左边＝ 4n2＋ 4n＋ 1－ 4n2＝ 4n＋ 1＝右边， ∴等式成立．
【解析】第 1 个圆和第 2 个圆之间的阴影部分的 面积为 (22－ 12)π＝ 3π；第 3 个圆和第 4 个圆之间的阴 影部分的面积为 (42－ 32)π＝ 7π；第 5 个圆和第 6 个圆 之间的阴影部分的面积为 (6 － 5 )π＝ 11π； „，第 19 个圆和第 20 个圆之间的阴影部分的面积为 (20 － 19 )π ＝ 39π；∴阴影部分的面积为 3π＋ 7π＋ 11π＋ 15π＋ 19π ＋ 23π＋ 27π＋ 31π＋ 35π＋ 39π＝ 210π.故选 B. 答案：B
【解析】在等腰 Rt△ OAA1 中， ∠ OAA1＝ 90° ， OA＝ 1， ∴ OA1＝ 2.同理可求 OA2＝ ( 2) ， OA3＝ ( 2) . 依此类推 OA6＝ ( 2) ＝ 8. 答案：8
6 2 3
3．(2015· 安顺)如图所示是一组有规律的图案，第 1 个图案是由 4 个基础图形组成，第 2 个图案是由 7 个基础图形组成，„„，第 n(n 是正整数)个图案中的 基础图形的个数为 (用含 n 的式子表示)．
【解析】 由 ∠AB1B ＝ ∠AB2B1 ＝ 90° ， ∠BAB1 ＝
2 AB 1 ∠B1AB2，可得△AB1B2∽△ABB1，故 ＝ AB ＝ S△ABB1
S1
32＝3，故 S ＝3S△ABB .由题意可知 AB＝2，BB 2 4 1 1 1 4
1 3 ＝1，故 AB1 ＝ 3，故 S△ABB1＝ ×1× 3＝ . 2 2
，在接下来的图案都依次
增加一个
，可知第 1 个图案有 6 根小棒，
第 2 个图案有(6＋ 5)根小棒，第 3 个图案有 (6＋ 5＋ 5) 根小棒，第 4 个图案有 (6＋ 5＋ 5＋ 5)根小棒，„„，则 第 n 个图案中有 6＋ 5(n－ 1)＝ 6＋ 5n－ 5＝ (5n＋ 1)根小 棒，故答案为 5n＋ 1. 【答案】 5n＋ 1
专题二
规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题， 其特点是： 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给 出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的 规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．规律探索型 问题包括两类问题：数字类规律探索问题、图形类规 律探索问题．
考点二 图形类规律探索问题 例 2 (2015· 益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规 律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个 图案中有 11 根小棒，„„，则第 n 个图案中有________ 根小棒．
【点拨】 第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案
比第 1 个图案多一个
3． 根据下图中箭头的指向规律， 从 2 014 到 2 015 再到 2 016，箭头的方向是下面图示中的 ( )
A
B
C
D
【解析】∵通过观察，每 4 个数为一个循环组， 又 ∵2 014÷ 4＝ 503„„ 2， ∴2 014 为第 504 循环组的第 三个数，因此箭头方向为 答案：B .故选 B.
【解析】设能连续搭建正三角形的个数是 n，则 正六边形的个数为 (n－ 6)， 观察图形可知，搭建一个正 三角形用 3 根火柴棍，搭建 n 个正三角形用 (2n＋ 1)根 火柴棍；搭建一个正六边形用 6 根火柴棍，搭建 (n－ 6)个正六边形用 [5(n－ 6)＋ 1]根火柴棍，正三角形 和正六边形共用了 2 016 根火柴棍，故可得 2n＋ 1＋ 5(n－ 6)＋ 1＝ 2 016，解得 n＝ 292.故选 D. 答案： D
2． (2015· 六盘水 )毕达哥拉斯学派对”数”与” 形”的巧妙结合作了如下研究：
请写出第六层各个图形的几何点数， 并归纳出第 n 层各个图形的几何点数．
第六层的几何点数分别为 6,11,16,21； 第 n 层的几何点数分别为 n,2n－1,3n－2,4n－3.
2． (2015· 烟台)如图，正方形 ABCD 的边长为 2， 其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形， 以该等腰直角 三角形的一条直角边为边向外作 正方 形，其面积标记为 S2，„„，按照此规律继续下去， 则 S2 015 的值为 ( )
22 012 A. 2
2 012 1 C. 2
2 2 013 B. 2
2 013 1 D. 2
1 【解析】∵ S1＝ 4，S2＝ 2，S3＝ 1，S4＝ ，∴可推 2 知从第 2 个正方形起，每一个正方形的面积是上一个 1 正方形面积的 ， ∴ S2 2 选 C. 答案： C
)
2．(2015· 十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三 角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建 正三角形和正六边形共用了 2 016 根火柴棍， 并且正三 角形的个数比正六边形的个数多 6 个，那么能连续搭 建正三角形的个数是( )
A． 222
B． 280
C． 286
D． 292
1．数字类规律探索问题 解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会 问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳， 得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分 数据的“规律”． 2．图形类规律探索问题 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证．
1 1 2 1 【点拨】a1＝－ ，a2＝ ＝ ，a3＝ ＝3， 2 1 3 2 1－ 1－－2 3 1 1 a4＝ ＝－ ，观察发现，数的循环周期为 3, 2 1－3 2 2 015÷ 3＝671„„2，∴a2 015＝a2＝ 3 类：一类是每个数与序号 有关系，另一类是循环类，即几个数后就会出现循环. 因此解决数字类问题，一般是计算前面几个简单的数 的结果，观察结果的变化是哪一类，若和序号有关， 则第 n 个数用含有 n 的式子表示；若是循环类，则找 出循环节，用 n 除以循环节，找出余数即可找到对应 的结果 .
2 1 2 ＝ 2 × 015 2 015－ 1 2 1 ＝ 2 012
.故
3．将一组数
3，
6 ，3,2
3，
15 ，„，
3 10，按下面的方法进行排列： 3， 6，3,2 3， 15； 3 2， 21，2 6，3 3， 30； „ 若2 3的位置记为(1,4)，2 6的位置记为(2,3)，则 这组数中最大的有理数的位置记为( A．(5,2) B．(5,3) C．(6,2) ) D．(6,5)
方法总结： 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变化规律，一要合理猜想，二要加以实际验证 .
专题训练
一、选择题 (每小题 4 分，共 32 分 ) 1． 请你计算： (1－ x)(1＋ x)， (1－ x)(1＋ x＋ x )， „， 猜想 (1－ x)(1＋ x＋ x ＋„＋ x )的结果是 ( A． 1－ xn＋1 C． 1－ xn 答案： A B． 1＋ xn＋1 D． 1＋ xn
2 2 2 2
二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 1 ． (2015· 安 徽 )按一 定规 律排列 的一 列数： 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ，„，若 x， y， z 表示这列数中的连续 三个数，猜测 x， y， z 满足的关系式是 xy＝ z .
1 2 3 5 8 13
2．如图，在等腰 Rt△ OAA1 中，∠ OAA1 ＝ 90° ， OA＝ 1，以 OA1 为直角边作等腰 Rt△ OA1 A2，以 OA2 为直角边作等腰 Rt△ OA2 A3， „„， 则 OA6 的长度为 .
考点一 数字类规律探索问题 例 1(2015· 巴中)定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数是 ＝－1，－1 1－a 1－2 1 1 1 的差倒数是 ＝ .已知 a1＝－ ， a2 是 a1 的差倒数， 2 2 1－－1 a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，„„，以此类推， 则 a2 015＝________.
4．(2015· 宜宾)如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆， 它们的半径从小到大依次是 1,2,3,4，„，20，阴影部分 是由第 1 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆，„„， 第 19 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的 面积为( ) B．210π D．171π A．231π C．190π
2 3 3 3 3 3 3 故 S1＝ · .同理可得 S2＝ S1＝ 4 · ， S3＝ S2 4 2 4 4 2 3 n 3 3 3 3 ＝ 4 · ，故 Sn＝ 4 · . 2 2 n 3 3 答案： 4 · 2
(1)
(2)
(3)
【解析】认真观察图形，确定图形变化规律：第 1个图案是由4个基础图形组成，第2个图案是由7个基 础图形组成，以后每个图案都比前一个图案多3个基 础图形，∴第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个 数为3n＋1. 答案：3n＋1
三、解答题 (共 28 分 ) 1． (8 分 )观察下列关于自然数的等式： (1)3 － 4× 1 ＝ 5 (2)5 － 4× 2 ＝ 9 (3)72－ 4× 32＝ 13 „
【解析】 易发现这组数的规律为从第 2 个数开始， 每个数都比上个数的被开方数大 3； 位置排列规律为每 一行有 5 个数，每个数的位置用一对有序数对表示， 其中第 1 个数代表行数，第 2 个数代表列数．所给的 81 这组数中最大的有理数为 81，即 9.由于 ＝ 27， 所以 3 81为这组数的第 27 个数， 所以 81位于第 6 行，第 2 列，记为 (6,2)．故选 C. 答案： D
4．(2015· 潍坊)如图，正△ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正△AB1C1， △ABC 与△AB1C1 公共 部分的面积记为 S1；
再 以正△ AB1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正 △ AB2C2 ，△ AB1C1 与△ AB2C2 公共部分的面积记为 S2； „„， 以此类推， 则 Sn＝ .(用含 n 的式子表示 )
2 2 2 2
① ② ③
根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式： 9 － 4× (______) ＝ (______)； (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)， 并验证其正确性． 解： (1)4
2 2 2
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2
(2)(2n＋ 1) － 4× n ＝ 4n＋ 1.证明如下： ∵左边＝ 4n2＋ 4n＋ 1－ 4n2＝ 4n＋ 1＝右边， ∴等式成立．
【解析】第 1 个圆和第 2 个圆之间的阴影部分的 面积为 (22－ 12)π＝ 3π；第 3 个圆和第 4 个圆之间的阴 影部分的面积为 (42－ 32)π＝ 7π；第 5 个圆和第 6 个圆 之间的阴影部分的面积为 (6 － 5 )π＝ 11π； „，第 19 个圆和第 20 个圆之间的阴影部分的面积为 (20 － 19 )π ＝ 39π；∴阴影部分的面积为 3π＋ 7π＋ 11π＋ 15π＋ 19π ＋ 23π＋ 27π＋ 31π＋ 35π＋ 39π＝ 210π.故选 B. 答案：B
【解析】在等腰 Rt△ OAA1 中， ∠ OAA1＝ 90° ， OA＝ 1， ∴ OA1＝ 2.同理可求 OA2＝ ( 2) ， OA3＝ ( 2) . 依此类推 OA6＝ ( 2) ＝ 8. 答案：8
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3．(2015· 安顺)如图所示是一组有规律的图案，第 1 个图案是由 4 个基础图形组成，第 2 个图案是由 7 个基础图形组成，„„，第 n(n 是正整数)个图案中的 基础图形的个数为 (用含 n 的式子表示)．
【解析】 由 ∠AB1B ＝ ∠AB2B1 ＝ 90° ， ∠BAB1 ＝
2 AB 1 ∠B1AB2，可得△AB1B2∽△ABB1，故 ＝ AB ＝ S△ABB1
S1
32＝3，故 S ＝3S△ABB .由题意可知 AB＝2，BB 2 4 1 1 1 4
1 3 ＝1，故 AB1 ＝ 3，故 S△ABB1＝ ×1× 3＝ . 2 2
，在接下来的图案都依次
增加一个
，可知第 1 个图案有 6 根小棒，
第 2 个图案有(6＋ 5)根小棒，第 3 个图案有 (6＋ 5＋ 5) 根小棒，第 4 个图案有 (6＋ 5＋ 5＋ 5)根小棒，„„，则 第 n 个图案中有 6＋ 5(n－ 1)＝ 6＋ 5n－ 5＝ (5n＋ 1)根小 棒，故答案为 5n＋ 1. 【答案】 5n＋ 1
专题二
规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题， 其特点是： 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给 出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的 规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．规律探索型 问题包括两类问题：数字类规律探索问题、图形类规 律探索问题．
考点二 图形类规律探索问题 例 2 (2015· 益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规 律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个 图案中有 11 根小棒，„„，则第 n 个图案中有________ 根小棒．
【点拨】 第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案
比第 1 个图案多一个
3． 根据下图中箭头的指向规律， 从 2 014 到 2 015 再到 2 016，箭头的方向是下面图示中的 ( )
A
B
C
D
【解析】∵通过观察，每 4 个数为一个循环组， 又 ∵2 014÷ 4＝ 503„„ 2， ∴2 014 为第 504 循环组的第 三个数，因此箭头方向为 答案：B .故选 B.
【解析】设能连续搭建正三角形的个数是 n，则 正六边形的个数为 (n－ 6)， 观察图形可知，搭建一个正 三角形用 3 根火柴棍，搭建 n 个正三角形用 (2n＋ 1)根 火柴棍；搭建一个正六边形用 6 根火柴棍，搭建 (n－ 6)个正六边形用 [5(n－ 6)＋ 1]根火柴棍，正三角形 和正六边形共用了 2 016 根火柴棍，故可得 2n＋ 1＋ 5(n－ 6)＋ 1＝ 2 016，解得 n＝ 292.故选 D. 答案： D
2． (2015· 六盘水 )毕达哥拉斯学派对”数”与” 形”的巧妙结合作了如下研究：
请写出第六层各个图形的几何点数， 并归纳出第 n 层各个图形的几何点数．
第六层的几何点数分别为 6,11,16,21； 第 n 层的几何点数分别为 n,2n－1,3n－2,4n－3.
2． (2015· 烟台)如图，正方形 ABCD 的边长为 2， 其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形， 以该等腰直角 三角形的一条直角边为边向外作 正方 形，其面积标记为 S2，„„，按照此规律继续下去， 则 S2 015 的值为 ( )
22 012 A. 2
2 012 1 C. 2
2 2 013 B. 2
2 013 1 D. 2
1 【解析】∵ S1＝ 4，S2＝ 2，S3＝ 1，S4＝ ，∴可推 2 知从第 2 个正方形起，每一个正方形的面积是上一个 1 正方形面积的 ， ∴ S2 2 选 C. 答案： C