差分方程建模示例1

生存资源是重要的因素，修改的模型为： 其中－ b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数 记a=r+1，那么 xn+1= a xn- bxn2 这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2 数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较) 基本接近 存在极限值
四．问题的讨论和分析
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Logistic映射
分叉值如何求?
依赖于数值方法 任务：求分叉值和画分叉图
2．浑沌与遍历性 当c*<a<4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出 的是： ■ 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期 轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何 一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感 性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨 道也终将以某种方式分离. ■ 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍 周期分叉，例如a＝3.835附近
■
这四个数满足
x f ( x), x f ( x), x f ( x), x f ( x),
4 2 3
称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 又失稳)
若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周 期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依 次出现周期16点，周期32点…. ，(请考虑什么是周期 n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为 c*=3.569945557391…。
差分方程建模示例1:人口增长模型
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Malthus 模型
设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末 时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为 r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原 人口数成正比,从而 xn+1＝ xn ＋r xn 即 xn+1 = a xn 其中 a=r+1.
这是一个如下线性映射的迭代 f (x) = a x
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a=3.6
(进入浑沌区)
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a= 4
(最浑沌状态)
任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图, 考察Logstic映射在a逐步变化时由同 一点出发的轨道情况. 任务：用密度图的方法在计算机上作图,考 察Logstic映射在a逐步变化时由同一 初值点出发的{xn}的分布.
进一步的任务 考察映射
f ( x ) sin( x ),
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Feigenbaum常数 比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k 趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016 这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口也适用， 还适用其他映射 任务：验证遍历性、敏感性 周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数 )
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五. 图象方法
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蛛网迭代
在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作 抛物线弧： xn+1＝a xn(1- xn)
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密度图 横轴为区间 [0,1], 纵轴为概率 p. 每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上 密度
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a=3.2 (m=100
N=10000
x0= 0.1)
(这是周期2情况)
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a=3.45
(这是周期4情况)
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a=3.55
(周期8的情况)
以上密度图显示在 0<a<c*的情况下,{xn}只有 极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相 等的概率落在周期点所在的小区间。
通过变量代换简化为logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在[0,1]内变化
相应的迭代为
xn+1=a xn(1-xn)
从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一 个序列，即 xn=f n(x0), 序列{xn}称为x0的轨道 n = 0,1,2,…
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数值迭代
1．倍周期分叉现象
作图 的过程
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任取(0,1)中的点x0,可以通过作 图来取得迭代的数值序列{xn},从而 也通过图象直观地看出由 x0出发的 轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛 织网,故称为蛛网迭代.
1<a<3 从(0,1)中 任何初值 出发的轨 道趋向不 动点 (周 期1点)
■
■3<a<61/2+1
从任何初值 出发的轨道 趋向周期2 点
■61/2+1<a<
3.54409035
从任何初 值出发的 轨道趋向 周期4点
a=3.58轨 道进入浑沌 状态
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■
a= 4 轨
道的浑沌 性表现充 分
蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺 点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节
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密度分布图
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密度 从一个初始点 x0出发，由迭代所 产生的序列{xn} (n一般很大)在区间 [0,1]上的 概率分布密度. 具体算法 将[0,1]区间分成m个长度为 h=1/m的小区间，序列{xn}nN=0 落在各个小区间 [ih,(i+1)h]的个数为ki,则该序列落在各小区间 的概率（即密度)为 pi=ki/N i=0,1,2,…,m
{xn}趋向稳定点
当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, 例a =3.2 x2k-1 →0.799455 x2k →o.513045
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这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期 点失稳) 当1+61/2<a<3.5440903506…时, 从任意的点x0出 发的轨道将逐渐沿着四个数值振动 例a=3.45 x4k → 0.44391661 x4k+1 → 0.84768002 x4k+2 → 0.44596756 x4k+3 → 0.85242774
从而
xn= a xn－1= a2xn－2 =…= an x0
Malthus的结论：人口增长呈几何级数
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 口统计结果一致 与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
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Logistic模型
xn+1 － xn= r xn－ b xn2
[0,1]
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试考察当a逐渐增大时, 有没有倍周期分叉情况出现? 求出第一个分叉值和第二个分叉值 利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑 沌可能在何时出现 验证第三个分叉值 作出分叉图 与Logistic映射的分叉图比较
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作出蛛网迭代或密度分布图
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考察帐篷映射
1 xn 1 (1 2 xn ) 2
先取
1 (0, ) 2
(0,1]
然后由1/2开始慢慢地增加其值, 用数值方 法和用密度图的方法考察由初始值出发的轨 道，能否看到倍周期分叉的情况?
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当0<a <1时，由于0<xn<axn+1 xn →0 物种逐渐灭亡
当1<a<3时，任何(0,1f(x)=x的解，为映射f 的不动点(周期1点) 例：a=1.5时 xn → 1/3.
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两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道