北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题_Word版含解析

北京市东城区 2017-2018 学年第一学期期末教学统一检 高三数学 （理科）
本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合U  {1, 2,3, 4}，集合 A  {1,3, 4} ， B  {2, 4} ，那么集合 (C A) I B  U
（A）{2}
（B）{4}
【考点】集合的运算
（C） {1, 3}
（D）{2, 4}
【试题解析】 【答案】A
，所以
，故选 A
（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于
3
3
3
正（主）视图
1
侧（左）视图
1
3
俯视图
3 （A） 2 cm3
（B）3 cm3
【考点】空间几何体的三视图与直观图
（C）3 cm3
【试题解析】由三视图可知，直观图为底面积为
（D）9 cm3
，高
的三棱锥，所以体积为
，故选 A 【答案】A
（3）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足 (1 2i)z  5i ，那么 z 的虚部为


（A） 1
（B）1
【考点】复数综合运算
（C） i
（D） i
【试题解析】 【答案】B
，虚部为 1，故选 B
（4）已知 m  (0,1) ，令 a  logm 2 ， b  m2 ， c  2m ，那么 a,b, c 之间的大小关系为
（A） b  c  a
（B） b  a  c
【考点】对数与对数函数指数与指数函数
（C） a  b  c
（D） c  a  b
【试题解析】因为
，所以
，
，
【答案】C
（5）已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k ，那么“   ”是“ k  3
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
3 ”的
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件
，即
，故选 C
【试题解析】当
时， ，当
时，
，所以“
”是“
”的必要而
不充分条件，故选 B 【答案】B
（6）已知函数
f
(x)

 1 x
1,
0  x  2 ，如果关于 x 的方程 f (x)  k 有两个不同的实根，那么实数 k 的
ln x, x  2
取值范围是
（A） (1, )
（B）[ 3 , ) 2
3
（C）[e2 , )
【考点】零点与方程 【试题解析】在同一坐标系内作出函数与的图象（如图），
（D）[ln 2, )
关于 x 的方程
有两个不同的实，等价于直线
与图象有两个不同的交点，所以 的取值范围是


，故选 B 【答案】B
（7）过抛物线 y2  2 px（p  0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，如果 BF  3 ，
BF  AF ， BFO  2 ，那么 AF 的值为 3
( A) 1
【考点】抛物线
3 (B)
2
(C) 3
（D） 6
【试题解析】由已知直线的斜率为
，则方程为
，联立方程
得
，即
因为
，所以
，
依题意
，所以
，则
，故选A
【答案】A
（8）如图所示，正方体 ABCD  ABCD 的棱长为 1, E, F 分别是棱 AA ，CC 的中点，过直线 E, F 的平
面分别与棱 BB、 DD 交于 M , N ，设 BM  x ， x  (0,1) ，给出以下四个命题：
① 四边形 MENF 为平行四边形；
D'
② 若四边形 MENF 面积 s  f (x) , x  (0,1) ,则 f (x) 有最
N
小
A'
值；
C'
B' F
③ 若四棱锥 A MENF 的体积V  p(x) ， x  (0,1) ，则 E
D
p(x) 常函数；
C M
④ 若多面体 ABCD MENF 的体积V  h(x) ， x  (1 ,1) ， A
B
2
则 h(x) 为单调函数．
其中假．命．题．为


( A) ①
(B) ②
【考点】立体几何综合
【试题解析】对①，因为平面
(C) ③
平
面，平面
（D）④ 平面
，平面
平面
，所以
，同理
，所以四边形
为平行四边形。

正确
对②，因为
平面
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
所以四边形
的面积
有最小值，正确。

对③，
，因为 为定值，所以当 ， 分别为 ， 的中点时
，因为 为定值， ， 到平面 的距离为定值，所以
的
体积为定值，即 对④，如图
为常函数，正确
过 作平面 则多面体 而
平面
，分别交 ， ， 于 ， ， ，
的体积为
，
，
，
所以
，常数，错，
所以错误命题的序号为④，故选D 【答案】D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.


（9） 在 ABC 中， a、b 分别为角 A、B 的对边，如果 B  300 ， C  1050 ， a  4 ，那么 b  .
【考点】解斜三角形
【试题解析】
，由正弦定理
，所以
【答案】
（10）在平面向量 a,b 中，已知 a  (1,3) ， b  (2,y) .如果 a b  5，那么 y = ；如果 a + b  a-b ，那 么y= .
【考点】数量积及其应用
【试题解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，即
，所以
【答案】 ；
x+y  10 , （11）已知 x, y 满足满足约束条件 x  y  2 , ，那么 z  x2  y2 的最大值为___.
x  3
【考点】线性规划 【试题解析】
做出可行域如图，
的几何意义为可行域内的点到原点的距离的平方，


当点 位于点
，此时 取得最大值
所以 的最大值为。

【答案】58
（12）如果函数 f (x)  x2 sin x  a 的图象过点 (π,1) 且 f (t)  2 ．那么 a  ；
f (t)  ．
【考点】函数的奇偶性 【试题解析】由已知
，所以
，所以
，
而
，所以
，
所以
【答案】1，0
（13）如果平面直角坐标系中的两点 A(a 1, a 1) ， B(a, a) 关于直线 l 对称，那么直线 l 的
方程为__. 【考点】直线方程
【试题解析】直线 斜率为
，所以 斜率为 ，设直线方程为
，
由已知直线过点
，所以
，即
， 所以直线方程为
，即
【答案】
（14）数列{an}满足： an1  an1  2an (n  1, n  N *) ，给出下述命题：
①若数列{an}满足： a2  a1 ，则 an  an1 (n  1, n  N *) 成立；
②存在常数 c ，使得 an  c (n  N *) 成立；
③若 p  q  m  n (其中p, q, m, n  N *) ，则 ap  aq  am  an ；
④存在常数 d ，使得 an  a1  (n  1)d (n  N *) 都成立．
上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 【考点】数列综合应用
【试题解析】对①；因为
，所以
由已知
，
所以
，即
，正确


对②； 假设存在在常数 ，使得
，则有
，所以
应有最大值，错。

对③，因为
，
为递增数列，错
，所以假设
，则应有
对④，不妨设 ，
，则
，若存在常数 ，使得
，即原数列应 ，
应有
，显然成立，正确
所以正确命题的序号为①④ 所以正确命题的序号为①④ 【答案】①④ 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题共 13 分）
设{an}是一个公比为 q (q  0, q  1) 等比数列， 4a1 , 3a2 , 2a3 成等差数列,且它的前 4 项和 s4  15 . （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令 bn  an  2n, (n  1, 2,3......) ,求数列{bn}的前 n 项和.
【考点】等比数列等差数列 【试题解析】
（1）因为 是一个公比为
等比数列，所以
．
因为
成等差数列，所以
即
．
解得
.
又它的前 4 和
，得
，解得
所以
.
（2）因为
， 所以
．
【答案】（1）
；（2）
（16）（本小题共 13 分）
已知函数 f (x)  sin2 x  2 3sin x cos x  cos2 x (x R) ．
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期和在 [0, π]上的单调递减区间；


（Ⅱ）若 为第四象限角，且 cos  3 ，求 f (  7π ) 的值.
5
2 12
【考点】三角函数综合
【试题解析】
（1）由已知
所以 最小正周期
由
得
， 故函数 在 上的单调递减区间
（2）因为 为第四象限角，且
，所以
．
所以
=
．
【答案】（1） ，
； （2）
（17）（本小题共 14 分）
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为正方
PA  底面 ABCD ， AB  AP , E 为棱 PD 的中点.
（Ⅰ）证明: AE  CD ；
（Ⅱ）求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点 M ，使
FM  AC ，若存在， 求出 PM 的值，若不存在，说明理由. MC
【考点】立体几何综合 【试题解析】
P E D
A
（1）证明：因为
底面
， 所以
． 因为
，
所以
.由于
，所以有
．
形，
C得 B


（2）解：依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设
，
，
.由 为棱 的中点，得
.
，
.
设
为平面
的法向量，则
即
．
不妨令
，可得 （1，1，1）为平面
的一个法向量.所以
所以，直线 与平面
所成角的正弦值为 .
，可得
，
向量
.
（3）解：向量
由
，得
，
，
.故
， 因此，
解得
. 所以
.
. 由点 在棱 上，设 . ，
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
（18）（本小题共 13 分）
已知椭圆 x2 a2

y2 b2
 1（ a  b  0 ）的焦点是 F1、F2 ，且
F1F2
 2 ，离心率为 1 2
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；


（Ⅱ）若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，求| AF2 |g| F2B | 的取值范围．
【考点】圆锥曲线综合 【试题解析】
（1）因为椭圆的标准方程为
，
由题意知
解得
．
所以椭圆的标准方程为
．
（2）因为
，当直线 的斜率不存在时，
，
，
则
，不符合题意.
当直线 的斜率存在时，直线 的方程可设为
．
由
消得
（*）．
设
，
，则 、 是方程（*）的两个根，
所以 所以 所以 所以
，
．
，


当
时，
取最大值为 ，所以
的取值范围
.
又当 不存在，即
轴时，
取值为 ．
所以
的取值范围
.
【答案】（1）
；（2）
（19）（本小题共 14 分）
已知函数 f (x)  ex  a(x  ln x) ． x
（Ⅰ）当 a  1时，试求 f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a  0 时，试求 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若 f (x) 在 (0,1) 内有极值，试求 a 的取值范围．
【考点】导数的综合运用 【试题解析】
（1）当 时，
，
，
．方程为
．
（2）
，
．
当
时，对于
，
恒成立，所以
Þ；
Þ
0.
所以 单调增区间为
，单调减区间为
．
（3）若 在 内有极值，则
在
内有解．


令
Þ
Þ
.设
，
所以 又因为
，当
时，
恒成立，所以 单调递减.
，又当
时，
，即 在
上的值域为
，
所以 当
时，
有解.
设
，则
，
所以
在
单调递减.
因为
，
，
所以 所以有：
在
有唯一解 .
所以 当
时，
在
内有极值且唯一.
当
时，当
时，
恒成立，
单调递增，不成立．
综上， 的取值范围为
．
【答案】
（1）
； （2）单调增区间为
（20）（本小题共 13 分）
，单调减区间为
； （3）
已知曲线 Cn 的方程为： x n  y n  1 (n  N *) .
（Ⅰ）分别求出 n  1, n  2 时，曲线 Cn 所围成的图形的面积;
（Ⅱ）若 Sn (n  N  ) 表示曲线 Cn 所围成的图形的面积，求证： Sn (n  N  ) 关于 n 是递增的;


(III) 若方程 xn  yn  zn (n  2, n  N ) ，xyz  0 ，没有正整数解，求证：曲线 Cn (n  2, n  N  ) 上 任一点对应的坐标 (x, y) ， x, y 不能全是有理数.
【考点】数列综合应用
【试题解析】（1）当
时， 由图可知
，
.
（2）要证
是关于 递增的，只需证明：
．
由于曲线 具有对称性，只需证明曲线 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．
现在考虑曲线 与 ，
因为
因为
在(1)和(2)中令
，
当
，存在
此时必有
．
使得
，
成立，
因为当
时
，
所以
．
两边同时开n次方有，
这就得到了
，
．（指数函数单调性）
从而
是关于 递增的．
（3）由于 反证：若曲线
可等价转化为 上存在一点对应的坐标
， ， 全是有理数，
不妨设
，
，且 互质， 互质．


则由
可得，
．
即 这时
． 就是
的一组解，
这与方程
，
，没有正整数解矛盾，
所以曲线
上任一点对应的坐标
， 不能全是有理数．
【答案】（1）
，
； （2）见解析； （3）见解析













。