0410构造与论证

0410构造与论证（一）
1、有一把长为9厘米的直尺，厘米的直尺，你能否在上面只标出你能否在上面只标出3条刻度线，条刻度线，使得用这把直尺可以量出从使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？任意整数厘米的长度？
答：可以。

答：可以。

（1）标3条刻度线，刻上A ，B ，C 厘米（都是大于1小于9的整数），那么，的整数），那么，A A ，B ，C ，9这4个数中，大减小两两之差，至多有6个：个：9-A 9-A 9-A，，9-B 9-B，，9-C 9-C，，C-A C-A，，C-B C-B，，B-A B-A，加上这，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。

个不同的数。

（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：所有整数：11，2，9-6=39-6=3，，6-2=46-2=4，，6-1=56-1=5，，6，9-2=79-2=7，，9-1=89-1=8，，9。

（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：个刻度线：11，9-7=29-7=2，，4-1=34-1=3，，4，9-4=59-4=5，，7-1=67-1=6，，7，9-1=81=8，，9。

另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。

也是可以的。

2、一个三位数，一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。

例如，数“吃掉”。

例如，241241被352吃掉，吃掉，123123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。

现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。

问这6个三位数分别是多少？个三位数分别是多少？
答：答：66个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。

个数位相同。

由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。

百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。

这样先保证前两位没有完全一样的。

即：11*11*，，12*12*，，13*13*，，21*21*，，22*22*，，23*23*。

11*11*最小，个位应取取最大的，最小，个位应取取最大的，最小，个位应取取最大的，44，它要求另外5个数个位均小于4。

114
12*12*较小，个位应取较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*12*的数，个位小于的数，个位小于3。

123
13*13*个位取个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*13*的数个位小于的数个位小于2。

132
21*21*较小，个位应取较小，个位应取3，才能不被23*23*和和22*22*吃。

吃。

吃。

213 213
22*22*个位取个位取2即可。

即可。

222 222
23*23*各位必须取各位必须取1。

231
所以这6个数是114114，，123123，，132132，，213213，，222222，，231231。

3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。

已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。

问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？ 答：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。

但是这种情况并不能保证出现。

例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。

求。

所以，不一定能选出。

所以，不一定能选出。

4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？边是白色的？
答：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。

如图就是一种。

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5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？ 答：答：22×2棋盘，棋盘，11个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；格；33×3棋盘，棋盘，11个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；格；44×4棋盘，中心在交点上，棋盘，中心在交点上，11个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。

所以至少要放2个皇后。

如图所示。

个皇后。

如图所示。

6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？
答：设第二行从左到右填入A ，B ，C ，D ，E ，则A+B+C+D+E=5
若E 大于0，如E=1E=1，则，则B=1B=1，，A+C+D=3A+C+D=3，小于，小于4，矛盾，可得：，矛盾，可得：E=0E=0E=0，，A 大于0小于4；
若D 大于0，如D=1D=1，则，则B 大于0，因A 大于0，则A 和C 无法填写，所以D=0D=0，，A 必等于2；
A=2A=2，可知，可知B+C=3B+C=3，只有当，只有当B=1B=1，，C=2时，时，ABCDE=21200ABCDE=21200ABCDE=21200，符合要求。

，符合要求。

，符合要求。

所以第二行的5个数字是2，1，2，0，0。

7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。

请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

答：给100个人分别编号1-1001-100，他们知道的消息也编上相同的号码。

，他们知道的消息也编上相同的号码。

（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，次，11，50号得到1-50号消息。

同时，号消息。

同时，52-10052-100号每人给51号打1次电话，共49次，次，515151，，100号得到51-100号消息。

号消息。

（2）1号和51号通1次电话，次电话，5050号和100号通1次电话，这时1，5050，，5151，，100号这4个人都知道了1-100号消息。

号消息。

（3）2-49号，号，52-9952-99号，每人与1号（或者5050，，5151，，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。

号消息。

这个方案打电话次数一共是（49+4949+49））+2+96=196+2+96=196（次）。

（次）。

（次）。

8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。

能否适当涂色，使得每个3×4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？个蓝格？
答：能。

答：能。

33×4=124=12，有，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。

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9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，依此类推，第第1993次翻动其中的一枚。

次翻动其中的一枚。

能否恰当地选择每次翻动的硬币，能否恰当地选择每次翻动的硬币，能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？一面都朝上？
答：可以。

答：可以。

按要求一共翻动1+2+3+1+2+3+…………+1993=1993+1993=1993××997997，平均每个硬币翻，平均每个硬币翻997次，是奇数。

而每个硬币翻奇数次，
结果都是把原来朝下的一面翻上来。

因为：因为：199319931993××997=1993+997=1993+（（1992+11992+1））+（1991+21991+2））+……
+（997+996997+996）） 所以，可以这样翻动：所以，可以这样翻动：
第1次翻1993个，每个全翻1次；次；
第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；
第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，……，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。

这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。

1010、能否在、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，
2424，，2525，使得从每行中都可以选择若干，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
答：不能。

答：不能。

假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，数，55行之和也必定为偶数。

行之和也必定为偶数。

1+2+3+1+2+3+1+2+3+…………
+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。

1111、把图、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
此主题相关图片如下：此主题相关图片如下：
答：不能。

答：不能。

假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。

另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。

两者矛盾，假设不成立。

所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。

1212、在、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。

已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。

枚真币的重量。

今有能标明两盘重量之差的天平，今有能标明两盘重量之差的天平，今有能标明两盘重量之差的天平，证明：证明：证明：只要称一次即可辨别出预只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。

答：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。

数。

如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。

如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。

所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。

1313、在象棋比赛中，胜者得、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。

今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。

现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。

试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。

少有过一次平局。

答：设7分者胜X 局，负Y 局；局；2020分者胜M 局，负N 局，则有X-Y=7X-Y=7，，M-N=20
假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N X+Y=M+N，，X+Y+M+N 为偶数。

为偶数。

另一方面，因为X-Y=7X-Y=7，，X 和Y 两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20M-N=20，可知，可知M 和N 奇偶性相同，那么M+N 为偶数。

得出的结果是：为偶数。

得出的结果是：X+Y+M+N X+Y+M+N 之和为奇数。

之和为奇数。

矛盾。

说明没有平局的假设不成立。

所以，比赛过程中至少有一次平局。

14、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。

如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。

问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？。