10电磁场与电磁波复习纲要要点

5、场论的两个重要定理: 散度定理（高斯定理）
性质1旋度的散度恒等于0
性质2:标量的梯度的旋度恒等于高斯散度定理和斯托克斯定理。

计算公式:
dl
=lim —
% A/->0 A/
du du du
—ax H-------- dv + —dz
a* d 丿n
ox dy dz dl
梯度的表达式: 直角坐标系
2、通量的表达式;
du du q du
-—cos«+—cosp +—cosy
ox cy uz
Su
A V
a, ------
dx
:u
e
y z
c y c z
散度的计算式。

F e n dS
：F
z
z
3、旋度的计算式；旋度的两个重要性质。

4、
F z F y F z F y：F
x
y
e x
x
F x e
y
y
F y
■z
F z
第一早矢量分析
1方向导数和梯度的概念；方向导数和梯度的关系；直角坐标系中方向导数和梯度的表达式梯度是一个矢量。

标量场U在某点梯度的模等于该点的最大方向导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。

记为gradu 方向导数：标量场u自某点沿某一方向上的变化率标量场u在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在
该方向上的投影。

矢量场在空间任意闭合曲面S 的通量等于该闭合曲面S 所包含体积V 中
矢量场的散度的体积分，即
斯托克斯定理 矢量场F 沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
6、 无旋场和无散场概念。

旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。

矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。

矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 场
7、 理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义
格林定理反映了两种标量场（区域V 中的场与边界S 上的场之间的关系） 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定
在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。

第二章电磁现象的普遍规律 ；
1、电流连续性方程的微分形式。

v
J =-—
静电场为无旋场
恒定磁场为无散 之间满足的关系。

2、磁通连续性原理的微分形式、积分形式
匚
B （r ） dS =
0 磁通连续性原理（积分形式）
v
B(r) = O
恒定磁场的散度（微分形式）
3、介质中高斯定理的微分形式和积分形式。

用高斯定理求场强方法与实例。

解: (1)球外某点的场强
q 14 3 dS 兀a 0
3
0 '0
(2)求球体内一点的场强
?
od V -0
E = 1
3
4n a 3 3 3 "e r (r < a )
3；。

S
D dS 二 V
dV
用第二章电磁场的基本规律
例2 :求真空中均匀带电球体的场强分布。

已知球体半径为 a ，电
4、磁介质中的安培环路定律的积分形式微分形式。

用安培环路定律计算磁感应强度。

其积分形式为
S J
dS=
1
°C H dl
磁场强度
c H dl =2~-H = I
4 「 ”2 n u
e •
eA --- 甲2n
山％1
a
B 呻
磁化强度M 飞-H
2n
■ 第二章电磁场的基本规律
例4 有一磁导率为 卩，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴 线处有无限长的线电流I ，圆柱外是空气（岛），试求圆柱内 外的B 、H 和M 的分布。

解：应用安培环路定理，得
5、 媒质的本构关系。

各向同性线性媒质的本构关系为（电磁场的辅助方程）
■
N
N
N
乂
.
D =
E B = H J …E
6、 感应电场的特点（有旋无源场）。

感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度 源）和时变
磁场（旋度源）
7、位移电流密度的求解。

.2 n < P < a
< p < «
p <
磁感应强度 B
二
例1
1 MHz
时，
解: 设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为
其振幅值为
J
dm
「；°；r E m =4.5 10‘E m
传导电流的振幅值为J cm二E
m 二
4E
m
:t /戶
1®dS
S
■ 第二章电磁场的基本规律
海水的电导率为4S/m,相对介电常数为81,求频率为位移电流振幅与传导电流振幅的比值。

Jdm- = 1.125 10"
J
cm 6
S B
dS = 0
S
D d^ V P dV
6 麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式；这些方程的物理意义。

利用麦克斯韦方程组进行计算。

麦克斯韦方程组的微分形式与麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场
.B
E = _
:t
E x
对时间t积分，得B
= e y cos( t - kz)
■.第二章
-4
B =」H 三ik,
-----------------------
4H 二
e y
D e x
E m cos（ t - kz）
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H和D 代入式
'、H 二
e
-
2-c H y
■:z
sin( t - kz)
■ 第二章电磁场的基本规律
例2在无源（：=0、＞匸=0）的电介质= 0）中，若已知电场强
彳 4 一
度矢量E e x E m cos（ kz） V/m，式中的E）为振幅、①为角频率、k为相位常数。

试确定k与3之间所满足的关系，并求出与E相应的其他场矢量。

解：E是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。

因此，利用麦克斯韦方程组可以确定k与3之间所满足的关系，以及与E
相应的其他场矢量。

d c4 c 4
e e z ) ©E x
.x : y :z
c - .
=-e y ------ - e y——.E m cos( t - kz) — e y kE m sin( t - kz)
:z :z
H x H y H z
cD 4 仇4
—弋=「。

卡5（十炫）-t
：t k2
电磁场的基本规律
二
.k E m
9、电磁场的边界条件
1■两种理想介质分界面上的边界条件
第三章静态电磁场及其边值问题
理想导体表面上的边界条件
1电位梯度和电场强度的关系
E - 7 :
2、求导体的电容的方法与实例。

■第三章静态电磁场及其边值问题
例3.1.5同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为；的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。

解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为应用
高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
* l 和- 'l,
内外导体间的电位差
b・
U = E(「)
a
二」ln (b/a)
2 n 同轴线
故得同轴线单位长度的电容为
2 n
in (b/a)
(F/m)
■第三章］静态电磁场及其边值问题
3.1.4 静电场的能量
1.静电场的能量
1 电量为q的带电体具有的电场能量W W^
2 q
对于电荷体密度为P的体分布电荷，体积元dV中的电荷P dV 具有的电场能量为
1
dW e dV
2
故体分布电荷的电场能量为W e二1('dV
2V
对于面分布电荷，电场能量为W e :1L% dS
2S
对于线分布电荷，电场能量为W e 二1
二■Tdl 2c
电场能量密度：w e= 2D E
4、恒定电场的概念。

静电比拟法的应用。

由J=；「E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。

只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。

这种求解场的方法称为比拟法。

5、矢量磁位和磁感应强度的关系式
电流为I 的载流回路具有的磁场能量
Wm
W m =丄阳=1
1 q A dl
2 2 C
对于N 个载流回路，则有
W m
1 二 LI 2
1 N
=_送
2 j =i
对于体分布电流，则有
W m
1
j 」AdV
磁场能量密度:
■第三章静态电磁场及其边值问题
3.3.4 恒定磁场的能量
1. 磁场能量
1 T —B H
2
7、静态场的边值问题；边值问题的类型；唯一性定理的表述。

第三章静态电磁场及其边值问题
341
边值问题的类型
曜 第一类边值问题（狄里赫利问题）
已知场域边界面上的位函数值，即 ®l s= f i
（S ）
二I 第二类边值问题（纽曼问题）
c W
已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 |s= f 2
（S ）
◎n
、第三类边值问题（混合边值问题）
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
知位函数的法向导数值，即
治f l（S）、菇f2金）
2H
E-2E
I 惟一性定理的表述
在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或Laplace方程在场域V具有惟一值。

8镜像法的理论依据；确定镜像电荷的原则；导体劈的镜像电荷的确定。

镜像法的理论基础一一解的惟一性定理
确定镜像电荷的两条原则
噪镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。

瞬镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域的边界条件来确定
■第三章静态电磁场及其边值问题
I ■
2•点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
对于半无限大导体平面形成的劈形边界，当导体劈的夹角满足a =18（0/n （n为整数）时，也可采用镜像法，镜像电荷为2n-1个。

分布在半径为r0的圆上（r0为点电荷到角顶点的距离）。

镜像的角度为2仲士日，m= 1,2,…
电荷量为士q,T为点电荷与劈的夹角。

如果口鼻1800/n，则无法应用镜像原理。

第四章时变电磁场
1.无源区域中E和H满足的波动方程。

洛仑兹规范条件和库仑规范条件
定义：
2. 坡印廷矢量的定义和物理意义
(W/m 2 )
、物理意义：
方向 —— 电磁能量传输的方向，与电场和磁场垂直 大小一一通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率
3. 坡印廷定理及其物理意义，每一项所代表的物理意义。

■ 第四章]时变电磁场
It 坡印廷（Poynting ）定理
表征电磁能量守恒关系的定理
.：111[
- I-
微分形式： 八（E H ） = ' （ E D H B ） E J
瞇2 2
积分形式：- （E H ）dS= （ED H B ）dV E J dV sdt v 2 2 V 其中：d （1 E D 1 H B ）dV ——单位时间内体积V 中所增加 dt V 2
2
的电磁能量
J E JdV ——单位时间内电场对体积V 中的电流所做的功；
V
在导电媒质中，即为体积V 内总的损耗功率
-<f s （^ H ） dS ――通过曲面S 进入体积V 的电磁功率
盪 物理意义：单位时间内，通过曲面 S 进入体积V 的电磁能量等 于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗
的能量之和
4.时谐电磁场的复数表示、瞬时表示。

e-jt]
A（r,t）= Re A0e jr r（r）b = Re[A（：）e j t] A（,,t） = A o cos[ t（：）]
2
5.时谐电磁场的坡印廷矢量的瞬时表示和平均坡印廷矢量(能流密度矢量)的计算。

■ 第四章I时变电磁场
I ■
4.5.5 平均能量密度和平均能流密度矢量(复坡印廷定理)
口电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。

在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期T中的平均值，即
1 T 1 T 1 呻-
平均电场能量密度W eav = £(0 W e dt=〒J。

？Edt
1 T 1 T 1 B_ 4 _______
平均磁场能量密度W mav = T J。

W m dt = T ： H Bdt
1 T 1 T
平均能流密度矢量S av = T J。

S dt = T J。

(E汇H )dt
在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可直接由复矢量计算，有
1 1 1
S av 二-Re(^H ), W ea厂-Re(E D ) , W ma厂-Re(H B )
2 4 4
第五章均匀平面波在无界空间中的传播
1•均匀平面波的概念。

e均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波 2.理想介质中的均匀平面波的传播特点
波阻抗
377 1 2兀
T = 2 T⑸频率f ：
(rad/m)
「4 二10-7 110-9 V 36兀二 3 108m/s
■ 第五章均匀平面波在无界空间中的传播
4、理想介质中的均匀平面波的传播特点
根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：
电场、磁场与传播方向之间相互垂直，且满足右手螺旋关系是横电磁波（TEM波）祷无衰减，电场与磁场的振幅不变
盪波阻抗为实数，电场与磁场同相位
盪电磁波的相速与频率无关
电场能量密度等于磁场能量密度
3.周期、角频率、频率、波长、相位常数（波数）、相
速（波速）、波阻抗的计算
角频率3 :表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s 周期T :时间相
位变化2n的时间间隔，即
相位常数：表示波传播单位距离的相位变化量：
相速V：电磁波的等相位面在空间中的移动速度，真空中
平面波的速度与媒质特性有关，与频率无关，媒质中平面波的速度通常小于真空中的速度。

T 为透射
s- 1
i z
4. 磁场和电场之间的关系式。

E =
H e z
5. 电磁波的极化的判断。

电磁波的极化状态取决于 Ex 和Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、 椭圆极化。

即由电磁波电场场量或磁场场量两个正交分量间的幅度和相位关系，可以判断波 的极化方式。

0 线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段 0 圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 0
椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆
6. 色散现象。

色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。

具有色散效应的波称为色散波＜ 导电媒质是色散媒质 7.趋肤效应和趋肤深度。

趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能
存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应
趋肤深度（6）:电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的
1/e 时所传播的距离。

即
E m
第六章 均匀平面波的反射与透射
1.反射系数r 、透射系数T 及驻波比s 的定义。

定义分界面上的反射系数r 为反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比、透射系数 波电场的振幅与入射波电场振幅之比
驻波系数S 定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即
『 =
2.均匀平面波对理想导体表面的垂直入射时反射系数 r 、透射系数T 值，合成波的特点。

合成波的特点
L
E/z ）二 e x E j m （e —j
j | e j 1z
）
=e<
E im
（1 ： ）e
j1z
-：
（e j1z
-e 川）
二 I x E im 。

* j j2 sin 1z
若媒质为理想导体，即-2=:
:,则n 2= 0，故有
3•均匀平面波对无耗媒质分界面的垂直入射时，合成波为行驻波。

第七章导行电磁波
1.导波系统中的其他分量均可由导波系统中电磁场的纵向分量求得。

■ 第七章导行电磁波
电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向场方程。

E z(x,y,z) = E z(x,y)e「z
由于z
H z(x,y,z)= H z(x, y)e
_ 2 _ 2
" " 2
(一2「一2 k c)E z(x, y) =0
ex cy
_ 2 _ 2
" " 2
(—2- —2- k；)H z(x, y) 7
x : y
k：k2 3 2
k c为截止波数，其值由波导的形状、大小和传播的波型决定。

2 矩形波导不能传输TEM波。

矩形波导可以传播TM波和TE波，不能传播TEM波
3 TEM波、TM 波、TE波的定义。

如果Ez= 0，Hz= 0, E、H完全在横截面内，这种被称为横电磁波，简记为TEM 波, 这种波型不能用纵向场法求解；
如果Ez = 0，Hz= 0，传播方向只有电场分量，磁场在横截面内，称为横磁波，简称为TM波或E波；
如果Ez= 0，Hz = 0，传播方向只有磁场分量，电场在横截面内，称为横电波，简称为TE波或H波。