第三章周期信号的傅立叶级数表示
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将两边在一个周期内（从0～T）对t积分，可得
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
❖ 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个 要求： 1) 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号
2) 本身简单，以便LTI系统对它的响应简便得到
本章将找到另一种满足上述要求的
基本信号单元--复指数信号 e st ,zLnTI
系统对复指数信号的响应是十分简单。
j k0t
k
k
k
比较两个表达式，对比红线圈起来的部分，发现
a k
ak
所以实信号x（t）的傅里叶级数可化为：
1
xt a kej k 0 t a kej k 0 t a kej k 0 t a kej k 0 t
k
k 0
k 1
k
a0 akejk0t akejk0t
k1
k1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k1, kω0T1 0T 1
2. 矩形脉冲谱线随参数的变化 ak2TT 01Sa k0T12TT 01Sak2 T0T1
1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度 2T1 不变，周期 T 0 增
大时，具体看频谱如何变化？
T1 T0
1 4
,
ak2 T T 01Sa k2 T 0 T12 1Sa k2
直流 分量
基波分量 k =1
谐波分量 k>1
上面两个式子是傅里叶级数的三角函数表示式。
四.频谱的概念
复指数形式的傅里叶级数的综合公式和分析公式分别为：
x t
akejk0t
akejk
2
T
t
k
k
ak
1 T
x
T
t
ejk0tdt
频谱系数
成谐波关系的信号，每一个信号随时间t的变化规律的
差别，仅仅在于频率 k 0 的不同；在傅里叶级数的表示式
ak
1 Sak
2 2
ak
1Sak
4 4
ak
1Sak
8 8
2） 设矩形脉冲的高度不变，周期 T 0 不变，脉冲宽度
T 1 减小时，观察频谱变化情况
ak2 T T 01Sa k0T12 T T 01Sak2 T0 T1
T1
T1 T0
1 4
ak2 T T 01S a k2 T 0 T1 2 1S a k 2 k2 k 0k 22 为0 第,一 个0零 点2 ， 对应T 0
§3.2 LTI系统对复指数信号的响应
一个LTI系统对复指数信号的响应十分简单，结果也
同样是一个复指数信号，发生变化的只是幅值，即
连续时间： e st
离散时间： z n
Hsest Hzzn
复振幅因 子
如果系统对一个信号的输出响应仅仅是一个常 数（可能是复数）乘以输入，则该信号称为系统的 特征函数。幅值因子称为特征值。
第三章
周期信号的傅里叶级数表示
FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS
主要内容
LTI系统对复指数信号的响应 周期信号的傅里叶级数表示 傅里叶级数的性质 LTI系统的频域分析
§3.0 引 言
❖ 第二章时域分析方法的基础 ： 1) 信号在时域的分解--基本单元信号
主要内容
成谐波关系的复指数信号的线性组合
连续时间傅里叶级数表示及系数的确定 三角形式的傅里叶级数表示式
频谱概念 周期性矩形脉冲（方波）的频谱分析
一.成谐波关系的复指数信号的线性组合
对复指数信号 e st
取 s j0 , 则
e e st
j0t
易知 T 2
0
与上述信号成谐波关系的的复指数信号集为：
② x2t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 s 1 2 e j4 t 1 2 e j4 t 1 2 e j7 t 1 2 e j7 t
以上4个特征函数的输出，分别为：Hs e3s
1ej4t 1Hj4ej4t 1ej1e2j4t, 1ej4t 1Hj4ej4t1ej1e2j4t
分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据 ytHsest
令x(t) (t) ht
只需求出系统的特征值
H
s
,即可求出①的输出。
Hs
hesd
解：① H s 3 e s d e 3 s
x 1 t ej2 t sj2
H j2 ＝ ej6
y 1 t H j 2 e j 2 t e j 6 e j 2 t
k k2 为第一个零点，对应
2k02 0,02 T 0
T1 T0
1 8
,
ak2T T 01Sak2 T0 T14 1Sak4
k k4 为第一个零点，对应
4k04 0,02 T 0
T1 T0
1 16
,
ak2TT 01Sak2T0 T18 1Sak8
k k8 为第一个零点，对应
8
k08 0,02 T 0
ak
1Sak
2 2
ak
1Sak
4 4
ak
1Sak
8 8
3）谱线随参数变化的结论： ak2 T T 01Sa k0T12 T T 01Sa k2 T 0T1
，，， kt e j k 0 t e j2 k T t, 其 k 0 中 1 2
各个信号对应的基波周期为：
Tk
2
k0
T k
一个由成谐波关系复指数线性组合成形成的信号，
其表达式可以写为：
xt
akej k0t
akejk 2Tt
k
k
这的基波周期为
t0
3 Sa t 0 , t n ππ, n 1 ,2 ,3
4 sin t dt π ,
0t
2
sin t dt π
t
5 lim Sa t 0
t
6
sin
c t sin
πt πt
周期性矩形脉冲信号如图所示
ak
1 T
xt
T
ejk0tdt
其频谱系数为：
？
这表明： 用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。 也即，连续周期时间信号可以分解成无数多个谐波分。
P135例题：3.3
二.连续时间傅里叶级数表示及系数的确定
一个周期为T的信号的傅里叶表示式为：
x t akejk0t
e 两边同乘以 jn0t ，可得
k
xtejn 0t akejk0tejn 0t k
E/2
0 T1/2
-T1/2
t
-E/2
f(t) E(si1 t n1 2si2 n 1 t1 3si3 n 1 t....)
三.三角形式的傅里叶级数表示式
当 xt 是个实信号，则有 xtxt 所以
xt
aejk0t k
ae jk0t k
k
k
设 kk ，则
xt a e a e jk0t k
22
2
22
2
1ej7t 1Hj7ej7t 1ej2e1j7t, 1ej7t 1Hj7ej7t1ej2e1j7t
22
2
22
2
由叠加原理
y2t
1ej1e 2j4t 2
1ej1e 2j4t 2
1ej2e 1j7t 2
1ej2e 1j7t 2
co 4ts3co 7ts3
§3.3 连续时间周期信号的 傅里叶级数表示
例如 输入信号 xt a 1 e s 1 t a 2 e s 2 t a 3 e s 3 t
由特征函数的性质，系统对各个分量的响应分别为：
a 1 es1 t a 1 H s1es1 t
y t a 1 H s 1 e s 1 t a 2 H s 2 e s 2 t a 3 H s 3 e s 3 t
K不等于0
1. 矩形脉冲频谱分析 ak2T T 01Sa k0T12T T 01Sak2 T0T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
2
k T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T 1 成正比，与周期 T 0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2 T 1
得
ak
1 T
xt
T
ejk0tdt
分析公式，ak频谱系 数或傅立叶级数系数
a0
1 T
T
xtdt
信号在一个周期内的平均值 称直流分量
注意：周期函数在任意一个周期间隔积分，积分的结果不变。
奇偶性质不同信号的讨论：
ak
1 xt ejk0tdt TT
当 xtxt时，有
结论：偶信号的频谱系数，为关于k的偶函数、实函数， 谱系数只含直流分量和余弦项。
a0 akejk0t akejk0t
k1
aejk0t k
akejk0t
实信 xta 号 0 2Ra k e ej k0 t
k 1
若用极坐标表示傅里叶系数 ak Akejk
xta02Akco0sk tk k1
若用直角坐标表示傅里叶系数 ak Bk jCk
xta02 B kco k0 s tC ksik n0t k 1
下面证明一下复指数e st 是连续时间LTI系统的特征函数。
假设有一系统如下： x ( t ) h ( t ) ytxtht
如果 xtest
那么 y th x tdh e st d
hese t sd est he sd
假设上式中右边的积分收敛，可设 hesdHs
级数时，就可以将其表示为图示形式：
x t
Aej k0t k
k
0 0 0 2 0
频谱图
频谱图实际上就是 Ak 的关系图。
由于信号的频谱完全代表了信号，研究它等于研究信 号本身，因此这种表示信号的方法，称为频域表示法。
五.周期性矩形脉冲信号的频谱
关于抽样函数
抽样函数的性质:
1 Sa t Sa t , 偶函数 2 t 0 ,Sa t 1 , 即 lim Sa t 1
当 xtxt时，有
结论：奇信号的频谱系数，为关于k的奇函数、 虚函数，谱系数只含有正弦项。
例如:周期三角函数是偶函数
f(t) E
-T1/2
T1/2
t
f(t) E 2 4 E 2(c1 to 9 1 s c3 o1 ts 2 1c55 o1 ts ....
例如 周期锯齿波是奇函数
f(t)
则系统对 e st 的响应就是：ytHsest
从而证明了 e st 是LTI系统的特征函数，其中 Hs是特征值。
同理可证明复指数 z n是离散时间LTI系统的特征函数。
设一离散LTI系统的单位冲激响应为：h n
输入序列设为： xnzn
输出为：
y n h k x n k h k z n k z n h k z k
k
k
k
如果右边求和收敛
设为： hkzk Hz
k
则系统对z n 的响应就是： ynH zzn
从而证明了 z n 也是LTI系统的特征函数，而是 Hz特征值。
结论：通过上述证明过程，可以知道复指数 e st、z n是一切
LTI系统的特征函数。注意：z、s是复数
因此一般的信号可以由几个复指数函数的线性组合来表示
T 1
T0
1 8
ak2 T T 01S a k2 T 0 T 1 4 1S a k4 k4 k 0 k 44 为第0,一 个0 零 点，2 对应T 0
T1
T0
1 16
ak2 T T 01Sa k2 T 0 T18 1Sa k8k8 k0 k 88 为第0,一个0 零 点，2 对应T 0
Txtej 0
n0td t T 0
akej k0tej
n0td
t
k
右边交换积分与求和的次序 k ak0Tejkn0tdt
又右边积分
0Tejkn0tdt 0T, ,
nk nk
k ak0 Txtejn 0tdtTna
即 0 Txte jn 0 td t0 T a k ejk n 0 td t T a n k
那么系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合；
②输出式中的系数，可以用输入信号中相应的系数与系统 特征值相乘来求得。
例3.1 已知系统的输入输出关系为 ytxt3，求：
① x1tej2t时，系统的输出 y1t ; ② x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 时s ，系统的输出y2t 。
中，各个信号分量也仅仅是幅度和频率的不同。
因此，可以用一根线段的长来表示某个分量的幅度，线段 的位置表示相应的频率。如下图示：
e 如分量 j0t、 co s0t2 1ej0t ej0t 可表示为下图
e j0t
co s0t2 1ej0t ej0t
因此，当把周期信号xt 表示成复指数形式的傅里叶
a 2 e s2 t a 2 H s2e s2 t
a 3es3 t a 3H s3es3 t
更一般地，对于
x ta k e s k t y ta k H s k e s k t
k
k
对应地
x n a k z k n y n a k H z k z k n
k
k
上式可以看出：
①如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，
2) LTI系统满足线性、时不变性
❖ 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个 要求： 1) 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号
2) 本身简单，以便LTI系统对它的响应简便得到
本章将找到另一种满足上述要求的
基本信号单元--复指数信号 e st ,zLnTI
系统对复指数信号的响应是十分简单。
j k0t
k
k
k
比较两个表达式，对比红线圈起来的部分，发现
a k
ak
所以实信号x（t）的傅里叶级数可化为：
1
xt a kej k 0 t a kej k 0 t a kej k 0 t a kej k 0 t
k
k 0
k 1
k
a0 akejk0t akejk0t
k1
k1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k1, kω0T1 0T 1
2. 矩形脉冲谱线随参数的变化 ak2TT 01Sa k0T12TT 01Sak2 T0T1
1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度 2T1 不变，周期 T 0 增
大时，具体看频谱如何变化？
T1 T0
1 4
,
ak2 T T 01Sa k2 T 0 T12 1Sa k2
直流 分量
基波分量 k =1
谐波分量 k>1
上面两个式子是傅里叶级数的三角函数表示式。
四.频谱的概念
复指数形式的傅里叶级数的综合公式和分析公式分别为：
x t
akejk0t
akejk
2
T
t
k
k
ak
1 T
x
T
t
ejk0tdt
频谱系数
成谐波关系的信号，每一个信号随时间t的变化规律的
差别，仅仅在于频率 k 0 的不同；在傅里叶级数的表示式
ak
1 Sak
2 2
ak
1Sak
4 4
ak
1Sak
8 8
2） 设矩形脉冲的高度不变，周期 T 0 不变，脉冲宽度
T 1 减小时，观察频谱变化情况
ak2 T T 01Sa k0T12 T T 01Sak2 T0 T1
T1
T1 T0
1 4
ak2 T T 01S a k2 T 0 T1 2 1S a k 2 k2 k 0k 22 为0 第,一 个0零 点2 ， 对应T 0
§3.2 LTI系统对复指数信号的响应
一个LTI系统对复指数信号的响应十分简单，结果也
同样是一个复指数信号，发生变化的只是幅值，即
连续时间： e st
离散时间： z n
Hsest Hzzn
复振幅因 子
如果系统对一个信号的输出响应仅仅是一个常 数（可能是复数）乘以输入，则该信号称为系统的 特征函数。幅值因子称为特征值。
第三章
周期信号的傅里叶级数表示
FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALS
主要内容
LTI系统对复指数信号的响应 周期信号的傅里叶级数表示 傅里叶级数的性质 LTI系统的频域分析
§3.0 引 言
❖ 第二章时域分析方法的基础 ： 1) 信号在时域的分解--基本单元信号
主要内容
成谐波关系的复指数信号的线性组合
连续时间傅里叶级数表示及系数的确定 三角形式的傅里叶级数表示式
频谱概念 周期性矩形脉冲（方波）的频谱分析
一.成谐波关系的复指数信号的线性组合
对复指数信号 e st
取 s j0 , 则
e e st
j0t
易知 T 2
0
与上述信号成谐波关系的的复指数信号集为：
② x2t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x 2 t c4 t o 3 s c7 t o 3 s 1 2 e j4 t 1 2 e j4 t 1 2 e j7 t 1 2 e j7 t
以上4个特征函数的输出，分别为：Hs e3s
1ej4t 1Hj4ej4t 1ej1e2j4t, 1ej4t 1Hj4ej4t1ej1e2j4t
分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据 ytHsest
令x(t) (t) ht
只需求出系统的特征值
H
s
,即可求出①的输出。
Hs
hesd
解：① H s 3 e s d e 3 s
x 1 t ej2 t sj2
H j2 ＝ ej6
y 1 t H j 2 e j 2 t e j 6 e j 2 t
k k2 为第一个零点，对应
2k02 0,02 T 0
T1 T0
1 8
,
ak2T T 01Sak2 T0 T14 1Sak4
k k4 为第一个零点，对应
4k04 0,02 T 0
T1 T0
1 16
,
ak2TT 01Sak2T0 T18 1Sak8
k k8 为第一个零点，对应
8
k08 0,02 T 0
ak
1Sak
2 2
ak
1Sak
4 4
ak
1Sak
8 8
3）谱线随参数变化的结论： ak2 T T 01Sa k0T12 T T 01Sa k2 T 0T1
，，， kt e j k 0 t e j2 k T t, 其 k 0 中 1 2
各个信号对应的基波周期为：
Tk
2
k0
T k
一个由成谐波关系复指数线性组合成形成的信号，
其表达式可以写为：
xt
akej k0t
akejk 2Tt
k
k
这的基波周期为
t0
3 Sa t 0 , t n ππ, n 1 ,2 ,3
4 sin t dt π ,
0t
2
sin t dt π
t
5 lim Sa t 0
t
6
sin
c t sin
πt πt
周期性矩形脉冲信号如图所示
ak
1 T
xt
T
ejk0tdt
其频谱系数为：
？
这表明： 用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。 也即，连续周期时间信号可以分解成无数多个谐波分。
P135例题：3.3
二.连续时间傅里叶级数表示及系数的确定
一个周期为T的信号的傅里叶表示式为：
x t akejk0t
e 两边同乘以 jn0t ，可得
k
xtejn 0t akejk0tejn 0t k
E/2
0 T1/2
-T1/2
t
-E/2
f(t) E(si1 t n1 2si2 n 1 t1 3si3 n 1 t....)
三.三角形式的傅里叶级数表示式
当 xt 是个实信号，则有 xtxt 所以
xt
aejk0t k
ae jk0t k
k
k
设 kk ，则
xt a e a e jk0t k
22
2
22
2
1ej7t 1Hj7ej7t 1ej2e1j7t, 1ej7t 1Hj7ej7t1ej2e1j7t
22
2
22
2
由叠加原理
y2t
1ej1e 2j4t 2
1ej1e 2j4t 2
1ej2e 1j7t 2
1ej2e 1j7t 2
co 4ts3co 7ts3
§3.3 连续时间周期信号的 傅里叶级数表示
例如 输入信号 xt a 1 e s 1 t a 2 e s 2 t a 3 e s 3 t
由特征函数的性质，系统对各个分量的响应分别为：
a 1 es1 t a 1 H s1es1 t
y t a 1 H s 1 e s 1 t a 2 H s 2 e s 2 t a 3 H s 3 e s 3 t
K不等于0
1. 矩形脉冲频谱分析 ak2T T 01Sa k0T12T T 01Sak2 T0T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
2
k T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T 1 成正比，与周期 T 0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2 T 1
得
ak
1 T
xt
T
ejk0tdt
分析公式，ak频谱系 数或傅立叶级数系数
a0
1 T
T
xtdt
信号在一个周期内的平均值 称直流分量
注意：周期函数在任意一个周期间隔积分，积分的结果不变。
奇偶性质不同信号的讨论：
ak
1 xt ejk0tdt TT
当 xtxt时，有
结论：偶信号的频谱系数，为关于k的偶函数、实函数， 谱系数只含直流分量和余弦项。
a0 akejk0t akejk0t
k1
aejk0t k
akejk0t
实信 xta 号 0 2Ra k e ej k0 t
k 1
若用极坐标表示傅里叶系数 ak Akejk
xta02Akco0sk tk k1
若用直角坐标表示傅里叶系数 ak Bk jCk
xta02 B kco k0 s tC ksik n0t k 1
下面证明一下复指数e st 是连续时间LTI系统的特征函数。
假设有一系统如下： x ( t ) h ( t ) ytxtht
如果 xtest
那么 y th x tdh e st d
hese t sd est he sd
假设上式中右边的积分收敛，可设 hesdHs
级数时，就可以将其表示为图示形式：
x t
Aej k0t k
k
0 0 0 2 0
频谱图
频谱图实际上就是 Ak 的关系图。
由于信号的频谱完全代表了信号，研究它等于研究信 号本身，因此这种表示信号的方法，称为频域表示法。
五.周期性矩形脉冲信号的频谱
关于抽样函数
抽样函数的性质:
1 Sa t Sa t , 偶函数 2 t 0 ,Sa t 1 , 即 lim Sa t 1
当 xtxt时，有
结论：奇信号的频谱系数，为关于k的奇函数、 虚函数，谱系数只含有正弦项。
例如:周期三角函数是偶函数
f(t) E
-T1/2
T1/2
t
f(t) E 2 4 E 2(c1 to 9 1 s c3 o1 ts 2 1c55 o1 ts ....
例如 周期锯齿波是奇函数
f(t)
则系统对 e st 的响应就是：ytHsest
从而证明了 e st 是LTI系统的特征函数，其中 Hs是特征值。
同理可证明复指数 z n是离散时间LTI系统的特征函数。
设一离散LTI系统的单位冲激响应为：h n
输入序列设为： xnzn
输出为：
y n h k x n k h k z n k z n h k z k
k
k
k
如果右边求和收敛
设为： hkzk Hz
k
则系统对z n 的响应就是： ynH zzn
从而证明了 z n 也是LTI系统的特征函数，而是 Hz特征值。
结论：通过上述证明过程，可以知道复指数 e st、z n是一切
LTI系统的特征函数。注意：z、s是复数
因此一般的信号可以由几个复指数函数的线性组合来表示
T 1
T0
1 8
ak2 T T 01S a k2 T 0 T 1 4 1S a k4 k4 k 0 k 44 为第0,一 个0 零 点，2 对应T 0
T1
T0
1 16
ak2 T T 01Sa k2 T 0 T18 1Sa k8k8 k0 k 88 为第0,一个0 零 点，2 对应T 0