2021届湖南省长沙市一中高三月考八文科数学试卷
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24．设函数
（1）解不等式 ；
（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．
解：由N={x|x2+x=0}，
得N={﹣1，0}．
∵M={﹣1，0，1}，
∴N⊂M，
三、解答题
17．某市抽样调查了100位居民的某年的月均用水量（单位：吨）数据如下表：
（1）某市若规定人均月用水量的标准是3吨，并希望85%以上的居民的用水量不超过此标准，请估计是否能达预期希望？
（2）请估计该样本数据的中位数．
（3）拟抽查上表中月均用水量在 的6位居民中的2位进行调查，求恰好抽到一位在 ，另一位在 的概率．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图中，输入 ，则输出结果是（）
A．74B．37C．101D．202
6．已知实数 满足 ，则 的最大值为（）
A．-1B．0C．1D．3
7．如图，已知四边形 是等腰梯形， 是腰 中点， 是 两个三等分点，下底是上底2倍，若向量 ，向量 ，则向量 用 表示为（）
A． B． C． D．
15．如图， ， 的面积为 ，则以 为长半轴， 为短半轴， 为一个焦点的椭圆方程为________．
16．正方形 的边长为1，把三角形 沿对角线 翻折，使得面 面 后，有如下四个结论：（1） ；（2） 是等边三角形；（3）四面体 的表面积为 ．（4）四面体 的内切球半径是 ，则正确结论的序号为_________．
【详解】
对A，“ ”是“ ”的必要不充分条件．因为“ ”等价于“ ， ”所以：“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错误．
对B，对于命题 ，使得 ，则 均有 ．因为否命题是对条件结果都否定，所以B正确．
对C，若 为假命题，则 ， 均为假命题．因为若“ 且 ”为假命题，则 、 中有一个为假命题，不一定 、 均为假命题；故C错误．
2．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为（）
A．-3B．-1C．1D．3
3．下列命题正确的是（）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．对于命题 ： ，使得 ，则 ： 均有
C．若 为假命题，则 ， 均为假命题
D．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
4．下列四个结论中，正确的个数有（）
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
（3）若 （ 是自然对数的底）时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．如图， 是圆的切线， 是切点， 是 的中点，过点 作圆的割线交圆于点 ，连接 分别交圆于点 与 的交点为 ．
求证：（1） ；
（2） ．
23．已知直线： （ 为参数）恒过椭圆 （ 为参数）的右焦点 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆交于 两点，求 的最大值．
20．已知圆 ，圆 ．
（1）过 的直线 截圆 所得的弦长为 ，求该直线 的斜率；
（2）动圆 同时平分圆 与圆 的周长．
①求动圆圆心 的轨迹方程；
②问动圆 是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．
21．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，试判断方程 有几个实数根，并说明理由；
18．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．如图，空间几何体 中，四边形 是梯形，四边形 是矩形，且平面 平面 ， ， 是线段 上的动点．
（1）试确定点 的位置，使 平面 ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，平面 将几何体 分成两部分，求空间几何体 与空间几何体 的体积之比；
8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）
A． B． C． D．
9．函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知 ， ，则函数 的零点个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知 是双曲线 上的一点， 是左，右焦点， 与渐近线平行， ，则双曲线的离心率为（）
2021年湖南省长沙市一中高三月考八文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1}和N={ x |x +x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）
A． B． C． D．
A． B． C．2D．
12．设函数 在 上存在导数 ，对任意的 有 ，且 时 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 =___________.
14．利用计算机模拟来估计未来三天中恰有两天下雨的概率过程如下：先产生0到9之间均匀整数随机数，用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，每三个随机数作为一组，共产生20组：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989，则三天中两天下雨概率是_________．
对D，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 则 ”．因为否命题是对条件结果都否定，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断问题，都是概念性问题属于基础题型．
4．B
【解析】
试题分析：（1） ，所以（1）正确；（2） 为增函数且 ， ，所以（2）正确；（3） 为减函数且 ， ，所以（3）错误；（4） 为增函数且 ， ，所以（4）错误，故正确的命题个数为 个，选B.
故选B．
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
2．D
【解析】
试题分析：因为 ，所.
3．B
【分析】
首先对于选项B和D，都是考查命题的否命题的问题，如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题．即可得出B正确，D错误．对于选项A因为“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选项A错误．对于选项C，因为若“ 且 ”为假命题，则 、 中有一个为假命题，不一定 、 均为假命题；故C错误．即可根据排除法得到答案．
（1）解不等式 ；
（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．
解：由N={x|x2+x=0}，
得N={﹣1，0}．
∵M={﹣1，0，1}，
∴N⊂M，
三、解答题
17．某市抽样调查了100位居民的某年的月均用水量（单位：吨）数据如下表：
（1）某市若规定人均月用水量的标准是3吨，并希望85%以上的居民的用水量不超过此标准，请估计是否能达预期希望？
（2）请估计该样本数据的中位数．
（3）拟抽查上表中月均用水量在 的6位居民中的2位进行调查，求恰好抽到一位在 ，另一位在 的概率．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图中，输入 ，则输出结果是（）
A．74B．37C．101D．202
6．已知实数 满足 ，则 的最大值为（）
A．-1B．0C．1D．3
7．如图，已知四边形 是等腰梯形， 是腰 中点， 是 两个三等分点，下底是上底2倍，若向量 ，向量 ，则向量 用 表示为（）
A． B． C． D．
15．如图， ， 的面积为 ，则以 为长半轴， 为短半轴， 为一个焦点的椭圆方程为________．
16．正方形 的边长为1，把三角形 沿对角线 翻折，使得面 面 后，有如下四个结论：（1） ；（2） 是等边三角形；（3）四面体 的表面积为 ．（4）四面体 的内切球半径是 ，则正确结论的序号为_________．
【详解】
对A，“ ”是“ ”的必要不充分条件．因为“ ”等价于“ ， ”所以：“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A错误．
对B，对于命题 ，使得 ，则 均有 ．因为否命题是对条件结果都否定，所以B正确．
对C，若 为假命题，则 ， 均为假命题．因为若“ 且 ”为假命题，则 、 中有一个为假命题，不一定 、 均为假命题；故C错误．
2．设 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 的值为（）
A．-3B．-1C．1D．3
3．下列命题正确的是（）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．对于命题 ： ，使得 ，则 ： 均有
C．若 为假命题，则 ， 均为假命题
D．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
4．下列四个结论中，正确的个数有（）
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
（3）若 （ 是自然对数的底）时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．如图， 是圆的切线， 是切点， 是 的中点，过点 作圆的割线交圆于点 ，连接 分别交圆于点 与 的交点为 ．
求证：（1） ；
（2） ．
23．已知直线： （ 为参数）恒过椭圆 （ 为参数）的右焦点 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆交于 两点，求 的最大值．
20．已知圆 ，圆 ．
（1）过 的直线 截圆 所得的弦长为 ，求该直线 的斜率；
（2）动圆 同时平分圆 与圆 的周长．
①求动圆圆心 的轨迹方程；
②问动圆 是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．
21．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，试判断方程 有几个实数根，并说明理由；
18．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．如图，空间几何体 中，四边形 是梯形，四边形 是矩形，且平面 平面 ， ， 是线段 上的动点．
（1）试确定点 的位置，使 平面 ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，平面 将几何体 分成两部分，求空间几何体 与空间几何体 的体积之比；
8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）
A． B． C． D．
9．函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
10．已知 ， ，则函数 的零点个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知 是双曲线 上的一点， 是左，右焦点， 与渐近线平行， ，则双曲线的离心率为（）
2021年湖南省长沙市一中高三月考八文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1}和N={ x |x +x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）
A． B． C． D．
A． B． C．2D．
12．设函数 在 上存在导数 ，对任意的 有 ，且 时 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的图象重合，则 =___________.
14．利用计算机模拟来估计未来三天中恰有两天下雨的概率过程如下：先产生0到9之间均匀整数随机数，用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，每三个随机数作为一组，共产生20组：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989，则三天中两天下雨概率是_________．
对D，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 则 ”．因为否命题是对条件结果都否定，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断问题，都是概念性问题属于基础题型．
4．B
【解析】
试题分析：（1） ，所以（1）正确；（2） 为增函数且 ， ，所以（2）正确；（3） 为减函数且 ， ，所以（3）错误；（4） 为增函数且 ， ，所以（4）错误，故正确的命题个数为 个，选B.
故选B．
考点：Venn图表达集合的关系及运算．
2．D
【解析】
试题分析：因为 ，所.
3．B
【分析】
首先对于选项B和D，都是考查命题的否命题的问题，如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题．即可得出B正确，D错误．对于选项A因为“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选项A错误．对于选项C，因为若“ 且 ”为假命题，则 、 中有一个为假命题，不一定 、 均为假命题；故C错误．即可根据排除法得到答案．