数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)

数学初中竞赛方程与不等式专题训练
一．选择题
1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）
A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米
3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
4．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）
A．25本B．20本C．15本D．10本
6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）
A．B．
C．D．
7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、
54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次
n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）
A．0个B．1个C．10个D．无穷多个
9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
10．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）
A．a＜p＜q＜b B．＞
C．＜＜＜D．＜＜＜
11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．
A．20 B．21 C．30 D．33
12．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）
A．22 B．24 C．25 D．26
二．填空题
13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．
15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．
17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．
组别第一组第二组第三组
每人搬花盆数 5 4 10
18．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．
19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．
20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．
三．解答题
21．解方程组：
22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x
1，x
2
．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x
1|﹣|x
2
|＝2，求k的值．
23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．
24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．
25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例如，ab＝1求证：＝1
证明：原式＝＝＝1
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：
基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题
的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴
当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知ab＝1，求下列各式的值：
＝；
②＝．
（2）若abc＝1，解方程＝1
（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，
∵34与2y2是偶数，
∴x+y必须是偶数，
设x+y＝2t，
则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，
∴2t2+y2＝17，
它的整数解为，
则当y＝3，t＝2时，x＝1；
当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；
当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；
当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．
∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．
2．解：依题意，得：，
整理，得：，
（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．
故选：C．
3．解：分别设三种票买了x、y、z张．
则根据题意，得，
由②，得：y＝40﹣x﹣z，③
将③代入①，得：x﹣z＝24．
故选：D．
4．解：，
由①，得
x＝y+1③，
将③代入②，得
（x﹣1）2+x2+4＝0，
化简，得
2x2﹣2x+5＝0，
故选：D．
5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．
故选：C．
6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，
∴2022用算筹可表示为
故选：C．
7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，
因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，
所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．
综上，最少调动16辆次．
故选：B．
8．解：根据题意，得
，
由②﹣①，得
4b+40c＝1，③
∵a、b、c都是整数，
∴③的左边是4的倍数，与右边不等，
所以，这样的代数式不存在；
故选：A．
9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，
必定△≥0，即方程必有实根，
∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），
∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，
∴b＝1成立，
当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，
∴方程有可能为无理数解，
同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，
故b的值为1．
故选：A．
10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），
则此二次函数开口向上，
当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，
即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），
当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，
∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，
∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），
根据二次函数的增减性，可得：
当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，
故＜＜＜
当p，q同为负数不合题意，
故＞不成立，
故选：C．
11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．
解得：x≤20
∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．
12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，
2号给4＝2+2名打电话，
3号给5＝2+3名打电话，
…
n号给2+n＝24名打电话，
所以n＝22，48﹣22＝26，
该班有女生26名，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
13．解：
x 1+x
2
＝
x 1x
2
＝＝287q＝7×41×q
x 1和x
2
都是质数
则只有x
1和x
2
是7和41，而q＝1
所以7+41＝
p＝336
所以p+q＝337
故填：337
14．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，
则10x+9y+6z＝108，
∴x＝＝，
∵0＜x＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，
当z＝7时，y＝4，x＝3，
当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，
当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴6﹣2z＝3，
∴z＝（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n
，n C﹣1，
B
设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，
w
+16，w C﹣43，
B
根据题意得：
由③得，n B＝20
∴36.2＜＜37，
即724＜w B＜740
又∵n A+n B+n C＝60
∴n C＝40﹣n A④
整理得：
由①得
∴w C+w A＝2500﹣56n A
又∵
∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A
∴724＜﹣670+56n A＜740
解得
∵n A为正整数，所以n A＝25
所以本题答案为25
16．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得
ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，
化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，
两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，
所以（x﹣150）（a+150）＝54100．
即10月4日这一天收入54100元．
故答案为：54100．
17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100
∴x＝
∵x，y为正整数，
∴100﹣6y为5的整数倍，
∴y＝5或10或15
∴x＝14或8或2
故答案为：14或8或2
18．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；
a+30b＝30c①，
a+10b＝2×10c②，
a+5b≤5×x×c，
由①﹣②得：c＝2b，
a＝30c﹣30b＝30b，
30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，
∵b＞0，
∴在不等式两边都除以10b得：
x≥3.5，
答：至少要同时开放4个检票口．
19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，
根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，
得y＝x+15，
又知xy＞900，
即x（x+15）＞900，
x2+15x﹣900＞0，
解得：x＞或x＜（舍去）
即x＞23.43，
当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，
当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）
即这种客车每辆的乘客座位有39个，
故答案为：39．
20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，
所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，
剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，
所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．
故填：10.95．
三．解答题（共5小题）
21．解：
由①得，（ x +y ）2＝9，
则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．
22．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，
解得k ≥．
（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，
∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，
∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，
∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，
解得：k ＝3．
故k 的值为3．
23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：
+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝
﹣1 ∴100≤
﹣1＜1000 ∴≤x ＜
∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：
﹣1＝2×2x +59 ∴＝60
∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539
答：这个三位数为539．
24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，
若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，
则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．
令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．
整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac
即有2a ＞3b ＞18c ．
结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．
则a +b +c 的最小值为26．
25．解：（1）①∵ab ＝1
∴a＝
∴原式＝+＝+＝1
故答案为：1
②∵ab＝1
∴a＝
原式＝+＝1
故答案为：1
（2）∵＝1，且abc＝1，
∴+
＝1
5x＝1
x＝
（3）∵正数a、b满足ab＝1
∴b＝，a＞0，b＞0，
∴a+＝（﹣）2+2≥2
∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，
∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。