金融工程布莱克斯科尔斯莫顿模型.pptx

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基本思路
• 我们为了给股票期权定价,必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资 产(即股票)的衍生工具,在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产 收益的情况下,期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化,股票价格是影响期 权价格的最根本因素。
• 要研究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律 后,我们试图通过股票来复制期权,并以此为依据给期权定价。
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate
of return 若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
ST S0 exT
x = 1 ln ST
T S0
x
m
s2 2
,
s2 T
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13.3 预期收益率 The expected return
• 其在一个小的时间间隔△t中,S的变化值△S:
DS mSDt sSDz
• 设f是依赖于S的衍生证券的价格,则f一定是S和t的函数,根据伊藤引理 可得:

在一

个小
的时





fd的f
变 (化Sf值m△S
f为f:t
1 2
2 f S 2
s
2S
2 )dt
f S
sSdz
Df ( f mS f 1 2 f s 2 S 2 )Dt f sSDz
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程,
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
衍生证券的定价。
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边界条件 key boundary conditions
• 在风险中性的条件下,无收益资产欧式看涨期权到期时(T时刻)的期望值 为:
• 其中
:表示风险中性E条[m件a下x的(S期T 望值X。,0)]
用(S-I)代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌
期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率
q(单位为年)时,我们只要将 Seq(T t) 代替S就可求出
支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。
一般来说,期货期权、股指期权和外汇期权都可以
期望收益
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13.4 波动率 volatility
• 股票波动率可以被定义为按连续复利时股票在年内所提供收益率的标 准差
• 在Dt时间内股票价格变化百分比的标准差为: • 如果股价为$50 ,波动率为 30% ,对应于每周价格百分比变化的标
准差近似s地等D于t :
50*(30* 1/ 52) 50* 4.16% 2.08美元
Black-Scholes-Merton differential e q u a t i o n • 背景:1973年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著
名的B-S定价模型,用于确定欧式股票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反 响;同年,Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默 顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进,尽量深入浅出地介绍 布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-S-M模型),并由此导出衍生证 券定价的一般方法。
• 估计标的资产价格的波动率:比估计无风险利率困 31 第32页/共47页
波动率 volatility
我们已经知道,B-S-M期权定价公式中的期权价 格取决于下列五个参数:标的资产市场价格、执行 价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动 率(即标的资产收益率的标准差)。在这些参数当 中,前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风 险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计 算求得估计值。
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无收益资产的欧式看跌期权的定价公式
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价 关系,可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价 公式:
p Xe r(T t) N (d 2 ) SN(d1 )
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B-S公式的性质
• 当前股票价格很大,期权价格: • 股票波动率接近于零,期权价格:
S
t 2 S 2
S
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Dz • 为了消除风险源 ,可以构建一个包括一单位衍生证券空头和
的证券多头的组合。
f
• 令 代表该投资组合的价值,则:S
单位标
• 在 时间后,该投资组合的价值变化
为:
f f S
x
• 代入△f 和△S可得
Dt
D
D Df f DS
S
D ( f 1 2 f s 2 S 2 )Dt
σ表示风险部分遵循随机过程的波动率,就可直接
套用公式:
c SN(d1 ) Xe r(T t) N (d 2 )
p Xe r(T t) N (d 2 ) SN(d1 )
分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价 值。
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有收益资产的欧式期权的定价公式(2)
因此,当标的证券已知收益的现值为I时,我们只要
• 在风险中性的条件下,所有证券的预期收益率都可
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应用于股票远期合约
• 远期合约到期时刻的价值: • 远期合约在时间0的价值:
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13.8 布莱克-斯科尔斯定价公式
Black-Scholes pricing formulas
对c er(T t) E[max(ST X ,0)] 右边求值是一种积分过程,结 果为:c SN (d1 ) Xe r(T t) N (d 2 )
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13.4.1 历史数据法
1. 在时间长度为t年内,观察到股价为 S0, S1, . . . , Sn 。 2. 计算第i个区间结束时的股票收益率
3. 4.
计 由
算 (
u1i3的- 2标)准得差:uisu
i的
ln
Si
标 准差S i也1为
,因此有:
sˆ s t
st
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• 历史波动率:从标的资产价格的历史数据中计算出 价格对数收益率的标准差,具体方法一般有两种, 第一种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标 准差,第二种则包括广义自回归条件异方差模型 GARCH、随机波动率模型等。
• 隐含波动率:资本市场具有强大的信息功能。资本 市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了 重要的信息。在现实中,我们常常已经知道了期权 价格,这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中 隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率,即根据 B-S-M期权定价公式,将公式中除了波动率以外的
S
1
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• 12.6节证明了:
ln
ST
ln
S0
m
s2 2
T ,
s2T
or

lnST
服从正态l分n S布T,
则STln服S从0

数 m正态s分22
布T
,
s
2T
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对数正态分布图
E(ST ) S0 emT var(ST ) S02e2mT (es2T 1)
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构建无风险交易组合
• 构建:可由期权与标的股票所组成的无风险组合,组合收益率等于无风险利 率r
• 原因: • 股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素(股价)的影响; • 在任意短时期内,衍生品价格与股价强相关性 • 在短时间内,股票盈亏可抵消期权带来的盈亏
• 例:假设△c=0.4△S,可构造无风险交易组合 • 0.4只股票的长头寸 • 一个看涨期权的短头寸
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13.11 隐含波动率 implied volatility
• 估计无风险利率:一般来说,在美国人们大多选择 美国国库券利率作为无风险利率的估计值,在中国 过去通常使用银行存款利率,现在则可以从银行间 债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利 率,并且要转化为连续复利的形式,才可以在B-S-M 公式中应用。其次,要注意选择利率期限。如果利 率期限结构曲线倾斜严重,须选择距离期权到期日 最近的利率作为无风险利率。
13.1 股价的对数正态分布性质 lognormal property of stock
prices • 令股价为S
• 定义:m 为股票每年的收益率期望;s为股票价格每年的波动率
• 在 Dt时间段股票收益的均值值为m Dt, 股票收益服从正态分布:

代表期望为m,标准差为v的正态分布
m,v
DS mDt, s2Dt
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定价公式的理解:
在B-S公式中,N(d2)是在风险中性世界中ST
大于X的概率,或者说是欧式看涨期权被执行的
概率,e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现 值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望
值的现值 。 因此,这个公式就是未来收益期望值的贴现。
• (13.4)表明股价的期望值为S0emT • 股价的预期收益率为m – s2/2 ;而不是 m • 原因:
mT ln[E(ST / S0 )] E[ln(ST / S0 )],
因此,E(x) m
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m 和 m−s2/2
• m =E(DS/S),是日均收益率 • m−s2/2 则是所有数据所覆盖的的区间上的
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13.4.2 交易日天数与日历天数
• 交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高 • 因此,由历史数据计算波动率或期权期限时,采用的是交易日天数而不是日历天数
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13.5布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念 Concepts underlying the
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• 假设:
• 1、股票价格遵循几何布朗运动,即

m s 为常数;
• 2、允许卖空标的证券;
• 3、没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的
• 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付;ຫໍສະໝຸດ • 5、存在无风险套利机会;
• 6、证券交易是连续的,价格变动也是连续的;
t 2 S 2 19 第20页/共47页
D
( f t
1 2
2 f S 2
s 2 S 2 )Dt
中不含任何风险源,因
此组合 必须获得无风险收益,即
D rDt
代入上式可得
化简为 ( f
1 2 f
s 2 S 2 )Dt r( f
f
S )Dt
t 2 S 2
S
f rS f 1 s 2 S 2 2 f rf
• 根据风险中E性定价原理,欧式看涨期权的价格 c 等于将此期望值按无风险利
率进行贴现后的现值,即:
c e r(T t) E[max(ST X ,0)]
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13.7 风险中性定价 risk-free neutral
•v观a察l 布u莱a克t i-o舒n尔 斯 微 分 方 程 , 我 们 可 以 发 现 , 受 制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并 未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着, 无论风险收益偏好状态如何,都不会对f的值产生影 响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作 的假设:在对衍生证券定价时,所有投资者都是风 险中性的。尽管这只是一个人为的假定,但通过这 种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情 况,也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
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13.12 股息 Dividend
13.12.1有收益资产的欧式期权的定价公式(1)
对于有收益标的资产的欧式期权,在收益已知情况
下,我们可以把标的证券价格分解成两部分:期权有效
期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期
权到期时,这部分现值将由于标的资产支付现金收益而
消失。因此,我们只要用S表示有风险部分的证券价格。
其中,
ln(S / X ) (r s 2 / 2)(T t)
d1
s T t
d2
ln(S
/
X ) (r s 2 s T t
/ 2)(T
t)
d1
s
T t
N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布
函数(即这个变量小于x的概率),根据标准正态分
布函数特性,我们有 N(x) 1 N(x) 。
这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。
• 7、衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。
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13.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导
derivation of the Black-Scholes-Merton differential equation
• 由于证券价格S遵循几何布朗运动,因此有:
dS mSdt sSdz
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