高中数学人教A版必修5《2.4.1等比数列》课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
等比数列
an q an1
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m
例1.一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18,求它的第1项与第2项
a q 解:设这个等比数列的第1项是 1 ,公比是 ,那么
消
a1q 2
a1q
3
12 18
a1
16 3
q
3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
元
答:这个数列的第1项与第2项分别为 16 与 8
其定义式为:
或
注意:
1. 公比是等比数列从第2项起,每一项 与前一项的比,不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列,它的公比 是同一个常数。
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗? (2) 公比为1的数列是什么数列? (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗? (4) 常数列都是等比数列吗?
判定下列数列是否可能是等比数列?
如果将“一尺之棰”视为一份,
则每日剩下的部分依次为:
1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,… 2 4 8 16
一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送 病毒称为第二轮,依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在 不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是:
1, 20,202 , 203, …
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 , ……
, 263
(2)
……
以上4个数列有
(3) 1,20,20 2 ,203 什么共同特点?
(4) 9,92,93,94,95,96, 97
共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。(q≠0)
第三个格子上放4粒麦子,第四个格子上放8粒麦子,
依次类推,即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个
格子麦粒数目的2倍,直到第64个格子放满为止。”
国王大方地答应了他。你认为国王有能力满足上述要
求吗?
庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
解:设洗之前的污垢为1个单位.
洗1次
剩下污垢为 (1-3/4)=1/4
洗2次
剩下污垢为 (1/4)2
则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一
个等比数列 {an } . an=(1/4)n 当n=4时, a4= (1/4)4=1/256<1% 而 n=3时, a3= (1/4)3=1/64>1%
3
讲授范例:
例2. 求下列各等比数列的通项公式: (1) a1=-2, a3=-8; (2) a1=5, 且2an+1=-3an.
讲授范例:
例3. 某种放射性物质不断变化为其他 物质,每经过一年剩留的这种物质是 本来的84%.这种物质的半衰期为多长 (精确到1年)?
讲授范例:
例4. 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的表达式.
a5 a4 • q a1 • q4
由此可知,等比数列的通项公式为 an a1 • qn1
n为正整数
等比数列通项公式的推导 定义式 : an q(n 2)
an1
方法二: 累乘法
a2 q, a3 q, a4 q, an1 q, an q(n 2)
a1
a2
a3
an2
an1
a2 • a3 • a4 •• an1 • an qn1
等比数列通项公式的推导
方法一: 递推法
定义式 : an q(n 2) an1
等比数列 {an }中,有:
a1 a1 • q0
a2 a3 a4 an q (q不为0)
a1 a2 a3
an1
a2 a1 • q
a3 a2 • q a1 • q2
a4 a3 • q a1 • q3
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的通项公式,并求出其第4,5项:
(1) 5,-15,45,…
a4 5 (3)41 135, a5 5 (3)51 405 .
(2)1.2,2.4,4.8,…
a4 1.2 241 9.6, a5 1.2 251 19.2.
(3) 2 , 1 , 3 , 3 28
a4
2 3
3 41 4
9, 32
a5
2
3
51
3 4
27 , 128
(4) 2 ,1, 2 ,
2 41
a4
2
2 2
1, 2
a5
51
2
2 2
2, 4
练一练:
2.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求a2的值.
3.每次用相同体积的水洗一件衣 物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗 n次后,存留的污垢在1%以下,则n 的最小值为多少?
(1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? 第n项能为0吗? (2)公比q=1时是什么数列?
注意:(1)公比q≠0,an≠0(n∈N);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列;
做一做
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.
① -2,1,4,7,10,13,16,19,… ② 8,16,32,64,128,256,… ③ 1,1,1,1,1,1,1,… ④ 243,81,27,9,3,1,,… ⑤ 31,29,27,25,23,21,19,…
等比数列
忆一忆
什么是数列?什么是 等差数列?
1, 3, 5, 7, 9…;
(1)
3, 0, -3, -6, … ;
(2)
1 10
,
2 10
,
3 10
,
4 10
,
.
(3)
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一 项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。
a1 a2 a3
an2 an1
an a1qn1
当n 1时, a1 a1q11
an a1qn1
(a1 , q 0, n N* )
等比数列的通项公式:
通项公式一:
通项公式二:
等差项公式 一般情势 公差(比)
等差数列
an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
答: n的最小值为4.
作业
课本P 53 ,A组第1题,第2题
1 2 3 4 5 6 78
1
左图为国际象棋的棋盘,棋
2
盘有8*8=64格
3
4
上述棋盘中各格子里的麦粒数
5
按先后次序排成一列数:
6 7
1 ,2 ,22 ,23 , ,263
8
国际象棋起源于印度,关
于国际象棋有这样一个传说,国王要嘉奖国际象棋的
发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘上
的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒麦子,
若是,说明公比;若不是,说出理由.
1、 263 ,…,16,8,4,2,1;
2、 5,-25,125,- 625,…;
3、 1,2,3,6,12,24,48…;
4 、 1,0,1,0,1,……;
5、 1,1,1,1,……;
6、 0,0,0,0,0,…….;
7、 a, a, a, a, ……;
思考:等比数列中