2017-2018学年高二数学下学期期中试题理

辽宁省阜新二高2017-2018学年高二数学下学期期中试题理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1、设集合, B,则（）
A、B、C、D、
2、已知为虚数单位，复数满足,则复数的虚部为（）
A、B、C、D、
3、角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（）
A、B、C、D、
4、某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分
后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清，若统计员计算无误，则数字为（）
A、B、C、D、 8 9 8 7
9 2 x 3 4 2 1
5、以点、、为顶点的三角形是以角C为直角的直角三角形，满足条件的三角形个数
为（）
A、B、C、D、
6、如图所示的阴影部分由方格纸上的3个小方格组成，
我们称这样的图案为型（每次旋转型图案），
那么在由45小方格组成的方格纸上，可以画出不同
位置的型图案的个数为（）
A、B、C、D、
7、在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为，则
三棱锥的外接球的体积为（）
A、B、C、D、
8、在数列中，已知等于的个位数，则（）
A、B、C、D、
9、已知抛物线C：的焦点为F，点M（）在抛物线C上，则等于（）
A、B、C、D、
10、的展开式中，的系数为（）
A、B、C、D、
11、某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，
且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）种
A、B、C、D、
12、若关于的不等式b（为自然对数的底数）在上恒成立，则
的最大值为（）
A 、
B 、
C 、
D 、
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若随机变
量
（用数字做答）
14、已知等比数列，则
15、若在区间内随机取一个数，在区间内随机取一个数,则使得方程有
两个不相等的实数根的概率为
16、若函数（为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数
中所有具有M性质的函数序号为
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（本小题满分12分）在中，角所对边分别为，且成等差数列，
（1）求角的大小；
（2）若时，求的面积。

18、（本小题满分12分）在测试中，客观题难度的的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的
人数，为参加测试的总人数。

现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题。

测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示
（1）根据题中数据，将抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120
（2）从编号为1～5的5人中随机抽取2人，记答对第5题的人数为X，求X的分布列。

（3）定义统计量，其中为第为第。

规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理。

判断本
次测试的难度预估是否合理。

19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线AC,BD交于O，OA=4,OB=3,OP=4,OP
⊥底面ABCD，设点M满足 ().
（1）时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值。

（2）若二面角M-AB-C的大小为，求的值。

20、（本小题满分12分）已知，是椭圆的左，右焦点，为原点，在椭圆上，线段与
轴的交点满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于，两点，交点，若，，求.
21、（本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线与直线
平行
（1） 若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（2） 设
，若存在
，使
成立，求实数的取值范围。

22、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线+,以平面直角坐标系
的原点
O 为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线，
（1） 试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程； （2） 在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出最大值。

参考答案（解答过程与评分标准不唯一，此处仅供参考） BBC BAD CBC AAD 4 3π
232
17．∵α，β为锐角，∴sin α＝
3
10，sin β＝
25
，
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β ＝
1
10·15－310·25＝－550
＝－22.
又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π
4.
18. (1)∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π
2，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2k π＋3π2，k∈Z .
当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π
2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ＝2k π＋π2，k∈Z .
(2)令z ＝x
3，∵－1≤sin z ≤1，
∴y ＝sin x
3
的最大值为1，最小值为－1.
又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π＋π2，k ∈Z}，由x 3＝2k π＋π2，得x ＝6k π＋3
2π，
∴使函数y ＝sin x 3取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π＋3
2π，k ∈Z}．
同理可得使函数y ＝sin x 3取得最小值的x 的集合为{x |x ＝6k π－3
2π，k ∈Z}．
19.⑴解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零， ∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)， 又∵圆C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2，
∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴
|－1＋2－a|
2
＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 20.⑴由题意可知：f (x )＝2sin(x ＋π
3)……………………………………2′
∴T=2π……………………………………………………………………4′ ⑵x ∈(0，π)即0＜x ＜π
∴π3＜x +π3＜4π
3………………………………………………6′ ∴－
32＜sin(x ＋π
3
)≤1，f (x )值域为(－3，2]……………………8′ 分别令π3＜x +π3＜π2，π2＜x +π3＜4π3
得f (x )增区间为(0，π
6)………………………………………………10′
减区间为(π
6，π)…………………………………………12′
21.⑴∵＝(2,2)，则||＝ 6 ∵||＝26，∥
∴＝2或＝－2………………………………………………2′ ∴|－|＝||＝6或|－|＝|－3|＝36…………4′ ⑵－与3+2垂直，那么(－)·(3+2)＝0…………6′ ∴3||2
－2||2
－·=3×(6)2
－2×(23)2
－·= 0
∴·=－6…………………………………………………………8′ 当＝2时，·(++)＝12………………………………10′ 当＝－2时，·(++)＝－12…………………………12′ 22.⑴设A(a ,0)，B(0,b )(b ＞0)
则＝(a ,3)，＝(x －a , y )，＝(－x , b －y )………………2′
∴即⎩⎪⎨⎪⎧
a(x －a)+3y ＝0
x －a ＝32x
y ＝32(y －b )
……………………4′
得到x 与y 满足的关系式为y ＝14x 2
(x ≠0)…………………………6′
⑵设M(m ,14m 2
)，那么d ＝
116m 4+12m 2+1＝1
4
m 2+1………………8′ h ＝14
m 2+1………………………………………………………………10′。