9.1.3 三角形的三边关系 华东师大版数学七年级下册同步练习(含解析)

9.1.3　三角形的三边关系
基础过关全练
知识点1　三角形的三边关系
1.【教材变式·P82练习T1变式】(2022湖南邵阳中考)下列长度的三条线段能首尾顺次连结构成三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
2.(2022河南郑州期末)已知三角形两边长分别为2 cm和3 cm,则第三边长不可能是( )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
3.(2022江苏徐州期中)四根长度分别为2 cm、3 cm、5 cm、7 cm的木条,以其中三根的长为边长钉成一个三角形框架,那么这个框架的周长可能是( )
A.10 cm
B.15 cm
C.14 cm
D.12 cm
4.(2022湖南邵阳模拟)已知一个三角形的两边长分别为3和4,第三边的长为整数,则该三角形的周长为( )
A.7
B.8
C.13
D.14
5.(2021陕西西安二十三中月考)如图,为了估计一池塘岸边两点A,B 之间的距离,小颖同学在池塘一侧选取了一点P,测得PA=100 m,PB=90 m,那么点A与点B之间的距离不可能是( )
A.90 m
B.100 m
C.150 m
D.190 m
6.【主题教育·生命安全与健康】【新独家原创】某电管站需要在变压器旁放置一个防触电安全警示牌,根据其位置需要做一个三角形形状的警示牌,警示牌的两边长分别为25 cm和35 cm,那么第三条边长x(cm)的范围是 .
7.(2022吉林长春一模)已知一个三角形的两边长分别为2和5,若第三边的长为整数,则第三边的长可以为 .
8.【新独家原创】已知a、b是三角形的两边长(a>b),第三边长为5,则化简|a+b-4|-|a-b-6|的结果为 .
9.(2022湖北荆州期中)已知△ABC的三边长分别为4,9,x.
(1)求x的取值范围;
(2)当△ABC的周长为偶数时,求x的值.
10.【学科素养·运算能力】小明和小红在一本数学资料上看到这样一道竞赛题:已知△ABC的三边的长分别为a、b、c(a>b),且满足(b+c-2a)2+|b+c-8|=0,求c的取值范围.
(1)小明说:“c的取值范围,我看不出来如何求,但我能求出a的值.”你知道小明是如何计算的吗?请帮他写出求解的过程.
(2)小红说:“我也看不出来如何求c的取值范围,但我能用含c的代数式表示b.”同学,你能吗?若能,请帮小红写出过程.
(3)小明和小红一起去问数学老师,老师说:“根据你们二人的求解,再结合三角形的三边关系即可求出答案.”你知道答案吗?请写出过程.
知识点2　三角形的稳定性
11.(2022广东佛山禅城一模)如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做蕴含的道理是( )
A.两点之间线段最短
B.三角形具有稳定性
C.经过两点有且只有一条直线
D.垂线段最短
12.(2022四川凉山州期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( )
A.0根
B.1根
C.2根
D.3根
能力提升全练
13.(2022浙江金华中考,4,)已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是( )
A.2 cm
B.3 cm
C.6 cm
D.13 cm
14.(2022四川德阳中考,7,)某学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km,那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是( )
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
15.(2022广西贺州平桂二模,9,)老师布置了一份家庭作业:用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架,三根小木棍的长度分别为5 cm、9 cm、10 cm,要求只能对10 cm的小木棍进行裁剪(裁剪后长度为整数).你认为同学们最多能做出几种不同的三角形木架?( )
A.1个
B.2个
C.6个
D.10个
16.【新考法】(2022江苏南京秦淮期中,5,)如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A.7
B.10
C.11
D.14
17.(2022四川成都九中期中,9,)已知a,b,c是△ABC的三边长,b、c 满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解,则△ABC的周长为( )
A.4
B.5
C.7或11
D.7
18.(2022广西南宁隆安期中,23,)已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,试判断△ABC的形状;
(2)化简:|b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|.
素养探究全练
19.【创新意识】(2022江西赣州期中)若三边均不相等的三角形三边长a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”.例如:一个三角形三边长分别为7,5,4,因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的有 (填序号).
①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”三边长分别为2x+2,16,2x-6(x为整数),求x的值.
答案全解全析
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1.B　根据三角形的三边关系得,A.1+2=3,不能构成三角形;B.3+4>5,能构成三角形;C.4+5<10,不能构成三角形;D.2+6<9,不能构成三角形.故选B.
2.A　设三角形第三边的长为x cm,则3-2<x<3+2,即1<x<5,四个选项中只有A不符合条件.故选A.
3.B　∵2+3=5,2+3<7,2+5=7,∴2 cm,3 cm,5 cm和2 cm,3 cm,7 cm以及2 cm,5 cm,7 cm都不能组成三角形,而3 cm,5 cm,7 cm可以组成三角形,其周长为15 cm,故选B.
4.C　设三角形第三边的长为x,∵三角形的两边长分别为3和4,∴4-3<x<4+3,即1<x<7,∵第三边的长为整数,∴周长为13符合要求.故选C.
5.D　连结AB(图略),设AB的长度为x m.根据三角形的三边关系知,100-90<x<100+90,即10<x<190,所以AB的长度不可能为190 m.
6.答案10<x<60
解析　根据三角形的三边关系,得35-25<x<25+35,即10<x<60.
7.答案4或5或6
解析　设三角形的第三边长为x,则5-2<x<5+2,即3<x<7,
∵第三边的长为整数,∴x=4或5或6.
故答案为4或5或6.
8.答案2a-10
解析　由三角形的三边关系可得a+b>5,
a―b<5,所以a+b-4>0,a-b-6<0,则
|a+b-4|-|a-b-6|=(a+b-4)+(a-b-6)=2a-10.
9.解析　(1)∵三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边,∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x的取值范围是5<x<13.
(2)∵△ABC的周长=x+4+9=x+13,且周长为偶数,∴x为奇数,∵5<x<13,∴x为7,9,11.
10.解析　(1)知道.由题意得b+c―2a=0,
b+c―8=0,∴a=4.
(2)能.由b+c-8=0,得b=8-c.
(3)知道.由三角形的三边关系得a+b>c>a-b,即4+8-c>c>4-(8-c),解得c<6,由a>b得4>8-c,∴c>4,∴6>c>4.
11.B　人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做的道理是三角形具有稳定性,故选B.
12.B　要使这个木架不变形,利用三角形的稳定性,他至少还要再钉上1根木条,故选B.
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13.C　设三角形第三边的长为x cm,∵三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm,∴8-5<x<8+5,即3<x<13,∴第三边的长可以是6 cm.故选C.
14.A　当杨冲,李锐两家与学校在一条直线上时,杨冲,李锐两家的直线距离为2 km或8 km,当杨冲,李锐两家与学校不在一条直线上时,设杨冲,李锐两家的直线距离为x km,根据三角形的三边关系得5-3<x<5+3,即2<x<8,所以杨冲,李锐两家的直线距离不可能为1 km,故选A.
15.C　设从10 cm的小木棍上裁剪的线段长度为x cm,则9-5<x<9+5,即4<x<14,∴整数x的值为5、6、7、8、9、10,∴同学们最多能做出
6种不同的三角形木架,故选C.
16.B　本题呈现的是四边形,需要将问题转化为三角形,考查学生应变能力.①选3+4、6、8作为三角形的三边长,则三边长为7、6、8,7-6<8<7+6,能构成三角形,此时两颗螺丝间的最大距离为8;②选6+4、3、8作为三角形的三边长,则三边长为10、3、8,8-3<10<8+3,能构成三角形,此时两颗螺丝间的最大距离为10;③选3+8、4、6作为三角形的三边长,则三边长为11、4、6,4+6<11,不能构成三角形,此种情况不成立;④选6+8、3、4作为三角形的三边长,则三边长为14、3、4,3+4<14,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两颗螺丝的距离的最大值为10,故选B.
17.D　∵(b-2)2+|c-3|=0,∴b-2=0且c-3=0,∴b=2,c=3,∵a为方程|x-4|=2的解,∴a=2或a=6,又c-b<a<c+b,即1<a<5,∴a=2,则△ABC的周长为2+2+3=7,故选D.
18.解析　(1)∵(a-b)2+|b-c|=0,∴a-b=0且b-c=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.
(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0,∴原式=-b+c+a+a-b+c+a-b-c=3a-3b+c.
素养探究全练
19.解析　(1)①∵1+2<4,∴不能组成“不均衡三角形”;②∵18-13>13-9,∴能组成“不均衡三角形”;③∵19=19,∴不能组成“不均衡三角形”;④∵9-8<8-6,∴不能组成“不均衡三角形”.故答案为②.
(2)①16-(2x+2)>2x+2-(2x-6),解得x<3,由2x-6>0,得x>3,矛盾,故不合题意;
②2x+2>16>2x-6,解得7<x<11,2x+2-16>16-(2x-6),解得x>9,∴9<x<11,∵x为整数,∴x=10,检验:当x=10时,2x+2=22,2x-6=14,此时22,16,14可组成三角形;
③2x-6>16,解得x>11,2x+2-(2x-6)>2x-6-16,解得x<15,∴11<x<15,∵x 为整数,∴x=12或13或14,当x=12或13或14时,都可以组成三角形.综上所述,x的值为10或12或13或14.。