2008高考江苏数学文理科试卷含答案(全word版)

2008年普通高等学校统一考试（江苏卷）
数学（文理通用）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．若函数)6
cos()(π
ω-
=x x f 最小正周期为
5
π
，其中0>ω，则=ω 2．若将一颗质地均匀的骰子（一种六个面分别注有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出
现向上的点数之和为4的概率为
3．若将复数
),(11R b a bi a i
i
∈+-+表示为的形式，则b a += 4．已知集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则集合A Z 中有 个元素
5．已知向量b a ,的夹角为
120，1,3a b ==，则5a b -=
6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 内随机投一点，则落入E 中的概率是 7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，下表是50
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输 出的S 的值为
8．直线b x y +=2
1
是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b
9．如图，在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A （0，
B （b ，0），
C （c ，0），点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点）a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 一同学已正确地求出直线OE 的方程：1111
()()0x y b c p a -+-=。

请你完成直线OF 的方程： ( )_11
()0x y p a
+-=。

10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左 向右的第3个数为
11．已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，2
y xz
的最小值为
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的 焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，过点P 2(,0)a c
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10。

。

。

。

。

。

。

。

。

13
．满足2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为
14．已知函数13)(3+-=x ax x f （x ∈R ），对于[11]x ∈-，，总有()0f x ≥成立，则a = 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相
交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为
5
5
2,
102。

（1）求)tan(
βα+的值； （2）求βα2+的值。

16．（14分）在四面体ABCD 中，,CB CD AD BD =⊥，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点。

求证：（1）直线EF ∥面ACD ；（2）面EFC ⊥面BCD 。

17．（14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km 。

为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域内（含边界），且与A 、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、OP 。

设铺设排污管道的总长为y km 。

（1）按下列要求建立函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式。

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O 的位置，使三条排污管道的总长度最短。

18．（16分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2
()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，
经过这三个交点的圆记为C 。

求： （1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程； （3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

B
A B C D E
F
19．（16分）（1）设数列12,a a ，……，n a （4≥n ）是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若
将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当4=n 时，求
d
a 1
的数值； ②求n 的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,b b ，……，n b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20．（16分）已知函数2
1
12()3
,()23
x p x p f x f x --==⋅，x R ∈，12,p p 为常数。

函数()f x 定义为：对任意
的实数x ，⎩⎨⎧>≤=)()(),()
()(),()(212
211x f x f x f x f x f x f x f 。

（1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示）； （2）设b a ,为两个实数，满足b a <且),(,21b a p p ∈。

若)()(b f a f =，
求证：函数)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2
a
b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。

21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分。

A ．选修4—1 几何证明选讲
如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D 。

求证：ED 2 = EB ·EC 。

B C E D A
B ．选修4—2 矩阵与变换
平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤
2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程。

C ．选修4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2
213
x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值。

D ．选修4—5 不等式证明选讲 设a ，b ，c
为正实数，求证：333
111
abc a b c +++≥
必做题：
22．记动点P 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上一点，记11D P D B
λ=。

当APC ∠为钝角
时，求λ的取值范围。

23．请先阅读：在等式2
cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2
(cos2)(2cos 1)x x ''=-，
由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =⋅．
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122
C C C C n n
n n n n x x x +++
+（
x ∈R ， 正整数2n ≥），证明：1
[(1)1]n n x -+-＝1
1
C n
k k n k k x
-=∑。

（2）对于正整数3n ≥，求证：
（i ）1(1)C n
k
k
n
k k =-∑＝0；（ii ）2
1(1)C n
k
k n
k k =-∑＝0；（iii ）11121
C 1
1n n
k n k k n +=-=
++∑．
2008年普通高考（江苏卷）数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1、10
2、
112 3、1 4、6 5、7 6、16π 7、6.42 8、ln 21- 9、11c b - 10、262n n -+ 11、3 12
、2
13
、 14、4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、
【解析】由条件得cos αβ=
=，αβ、
为锐角，sin αβ∴==
1tan 7,tan 2αβ∴==。

（1）17tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+++==
=--⋅-⨯； （2）2
2122tan 42tan 211tan 31()2βββ⨯===--，47tan tan 23tan(2)14
1tan tan 2173
αβαβαβ++∴+===--⋅-⨯。

αβ、为锐角，3022παβ∴<+<324
παβ∴+=。

16、【解析】本题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。

（1）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 。

又∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ∴直线EF//面ACD
（2）//EF AD EF BD AD BD ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C CB C
D F BD F BD =⎫⇒⊥⎬⎭为中点
BD CEF EFC BCD BD BCD ⇒⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
面面面面
C F EF F =
17、【解析】（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠，故10
cos OB θ
=。

又1010OP tan θ=-，所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=
++-， 所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4
y θπ
θθ-=
+≤≤ ②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以OA OB ===所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤
（2）选择函数模型①，22
10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046
ππ
θθ≤≤∴=
当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时'0y >，y 是θ的增函数；所以当6
π
θ=时，
A
B C D E
F
min
1
2010
1010
y
-⨯
=+=，此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB
km处。

18、【解析】（1）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）。

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0。

（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+D x+E y+F=0，令y=0，得x2+D x+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b；令x=0，得y2+ E y+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1。

所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0。

（3）圆C必过定点（0，1），（-2，1）。

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边=02+12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0。

所以圆C必过定点（0，1）；同理可证圆C必过定点（-2，1）。

另证：圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C过定点
0000
(,)(,)
x y x y b
不依赖于，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为22
00000
2(1)0
x y x y b y
++-+-=（*）
为使（*）式对所有满足1(0)
b b
<≠的b都成立，必须有
10
y
-=，结合（*）式得
22
0000
20
x y x y
++-=，解得00
00
02
11
x x
y y
==
⎧⎧
⎨⎨
==
⎩⎩
，－，
或
，，
经检验知，点(0,1),(2,0)
-均在圆C上，因此圆C 过定点。

19、【解析】（1）①当n=4时,
1234
,,,
a a a a中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，
则推出d=0。

若删去
2
a，则2
314
a a a
=⋅，即2
111
(2)(3)
a d a a d
+=⋅+化简得
1
40
a d
+=，得14
a
d
=-；
若删去
3
a，则2
214
a a a
=⋅，即2
111
()(3)
a d a a d
+=⋅+化简得
1
a d
-=，得11
a
d
=；综上，得14
a
d
=-或11
a
d
=。

②当n=5时,
12345
,,,,
a a a a a中同样不可能删去
1245
,,,
a a a a，否则出现连续三项。

若删去
3
a，则1524
a a a a
⋅=⋅，即
1111
(4)()(3)
a a d a d a d
+=+⋅+化简得2
30
d=，因为0≠
d，所以
3
a不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。

事实上，在数列
12321
,,,,,,
n n n
a a a a a a
--
中，由于不能删去首项
或末项，若删去
2
a，则必有
132
n n
a a a a
-
⋅=⋅，这与0≠
d矛盾；同样若删去
1
n
a
-
也有
132
n n
a a a a
-
⋅=⋅，这与0
≠
d矛盾；若删去
32
,,
n
a a
-
中任意一个，则必有
121
n n
a a a a
-
⋅=⋅，这与0≠
d矛盾。

(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。

综上所述，4
n=。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列
12
,b b，…，
n
b，其中
111
,,
x y z
b b b
+++（01
x y z n
≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2
111
y x z
b b b
+++
=⋅，即2
111
()()()
b yd b xd b zd
+=+⋅+，
化简得22
1
()(2)
y xz d x z y b d
-=+-（*）。

由
1
b d≠知，2y xz
-与2
x z y
+-同时为0或同时不为0。

当2y xz
-与2
x z y
+-同时为0时，有x y z
==与题设矛盾。

故2y xz
-与2
x z y
+-同时不为0，所以由（*）得
2
1
2
b y xz
d x z y
-
=
+-
因为01
x y z n
≤<<≤-，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而1
b
d
为有理数。

于是，对于任意的正整数)4
(≥
n
n，只要1
b
d
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

1
1+
1(n
+-
20、【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用。

（1）)()(1x f x f =恒成立⇔12()()f x f x ≤⇔1
2
3
23
x p x p --≤⋅⇔12
3
2x p x p ---≤
⇔123log 2x p x p ---≤ （*）
若12p p =，则（*）⇔30log 2≤，显然成立；若12p p ≠，记12()g x x p x p =---
当12p p >时，12
21221211,()2,,p p x p g x x p p p x p p p x p -<⎧⎪
=-++≤≤⎨⎪->⎩，所以max 12()g x p p =-，故只需123log 2p p -≤。

当12p p <时，1211212212,()2,,p p x p g x x p p p x p p p x p -<⎧⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩
，所以max 21()g x p p =-，故只需213log 2p p -≤。

世隔绝综上所述，)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件是123||log 2p p -≤ （2）10如果123||log 2p p -≤，则)()(1x f x f =的图像关于直线1x p =对称。

（如图1） 因为()()f a f b =，所以区间[,]a b 关于直线1x p =对称。

因为减区间为1[,]a p ，增区间为1[,]p b ，所以单调增区间的长度和为2
a
b -。

20如果123||log 2p p ->，不妨设12p p <，则213log 2p p ->，
于是当1x p ≤时，1
212()33()p x
p x f x f x --=<<，从而)()(1x f x f =
当2x p ≥时，31
2122log 212()3
3333()x p p p x p x p f x f x ----==⋅<⋅=，从而2()()f x f x =
当12p x p <<时，1
1()3x p f x -=及22()23
p x
f x -=⋅，
由方程0
1
20323x p p x --=⋅得12031
log 222
p p x +=
+，（1） 显然10221321
[()log 2]2
p x p p p p <=---<，表明0x 在1p 与2p 之间。

（如图1）
所以101022(),()(),p x x f x f x x x p f x <≤⎧=⎨<<⎩，综上可知，在区间[,]a b 上，0
102
(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩。

故由函数1()f x 及函数2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
012()()x p b p -+-，由()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++（2）
故由（1）（2）得0121231()()[log 2]22
b a
x p b p b p p --+-=-+-=
综合10、20可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2
a
b -。

BAC ∠
所以 BAD CAD ∠=∠。

从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠， DAE CAD CAE ∠=∠+∠
所以 ADE DAE ∠=∠，故EA ED =。

因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知， 2
EA EC EB =⋅。

而EA ED =，所以ED 2 = EB ·EC 。

B ）解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点
'''
00(,)P x y 则有 '
0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'0
0'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'
0'
02x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩。

又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2
00()()1x y +=。

所以，曲线F 的方程是 221x y +=。

C ）解： 因椭圆22
13x y +=
的参数方程为 (sin x y φφφ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），
故可设动点P
的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<。

因此1sin sin )2sin()23
S x y π
φφφφφ=+=+=+=+， 所以，当6
π
φ=
时，S 取最大值2。

D ）证明：因为,,a b c
为正实数，由平均不等式可得
333111a b c ++≥3331113a b c abc ++≥， 所以
3331113abc abc a b c abc +++≥+，
而3abc abc +≥= 所以
333
111
a b c +++abc ≥。

22、解：由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D ，
由1(1,1,1)D B =-，得11(,,)D P D B λλλλ==-，
所以11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=--- 11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=--- 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角等价于 cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC
⋅∠=<>=
<⋅，则等价于0PA PC ⋅<，
即 2
(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得
1
1λ<<。

因此，λ的取值范围是1
(,1)3。

23． 证明：（1）在等式0122
(1+x)=C C C C n n n
n n n n x x x +++
+两边对x 求导得
112
121
(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=++
+-+
移项得 1
1
2
[(1)
1]n
n k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）
（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得
1
1
(1)
0n
k k
n k kC -=-=∑，
所以
1
(1)
0n
k
k
n k kC =-=∑。

（ii ）由（1）知112
121
(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥
两边对x 求导，得223
2
(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+⋅+
+-
在上式中，令1x =-
232
20232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+⋅-+
+--
即
22
(1)(1)0n
k
k n
k k k C
-=--=∑，
亦即
2
2
(1)()0n
k
k
n k k
k C =--=∑ （1）
又由（i ）知
1
(1)0n
k k n k kC =-=∑ （2） 由（1）+（2）得
21
(1)
C 0n
k
k
n k k =-=∑
（iii ）将等式0122
(1+x)=C C C C n n n
n n n n x x x
++++两边在[0,1]上对x 积分1
1
122
(1)(C
C C C )n
n n
n n n n x dx x x x dx +=++++⎰⎰
由微积分基本定理，得1
111
001
1(1)()1
1
n
n k k n k x C x n k ++=+=++∑
所以 10
121
11n n
k n k C k n +=-=
++∑。