2020年全国各地高考数学试卷分类汇编—函数(含解析)全文

2020年全国各地⾼考真题分类汇编—函数
1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）
A．B．
C．D．
3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）
A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0
5．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）A．B．
C．D．
6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．[﹣1，0]∪[1，3]
7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）
A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减
C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增
D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减
8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）
A．B．C．D．
10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2
13．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69 16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是．
17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣
的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；
②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；
③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．
其中所有正确结论的序号是．
18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是．19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝．
20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．
21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；
（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，
则a的取值范围是．
22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．
（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；
（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值．
23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定
时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．
v＝f（x）＝．
（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．
24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共15⼩题）
1．（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（5，+∞）D．[5，+∞）
【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．
令t＝x2﹣4x﹣5，
∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，
∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，
则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒⼤于0，
则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．
∴a的取值范围是[5，+∞）．
故选：D．
2．（2020•天津）函数y＝的图象⼤致为（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，
函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，
当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，
故选：A．
3．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣，
则f（﹣x）＝﹣x3+＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，
根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1＝在（0，+∞）为减函数，y2＝﹣在（0，+∞）为增函数，
所以当x＞0时，f（x）＝x3﹣单调递增，
故选：A．
4．（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）
A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0
【解答】解：⽅法⼀：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，
令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），
所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，
故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．
⽅法⼆：取x＝﹣1，y＝0，满⾜2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，
此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．
故选：A．
5．（2020•浙江）函数y＝x cos x+sin x在区间[﹣π，π]上的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：y＝f（x）＝x cos x+sin x，
则f（﹣x）＝﹣x cos x﹣sin x＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，
当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，
故选：A．
6．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满⾜xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，0]∪[1，+∞）
D．[﹣1，0]∪[1，3]
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的
⼤致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成⽴，当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
7．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减
C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增
D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减
【解答】解：由，得x．
⼜f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数；
由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，
∵＝＝．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，
则（，+∞）上单调递减．
⼜对数式y＝lnt是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．
故选：D．
8．（2020•天津）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的⼤⼩关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，
则b＞a＞1，
log0.70.8＜log0.70.7＝1，
∴c＜a＜b，
故选：D．
9．（2020•新课标Ⅰ）设a log34＝2，则4﹣a＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9
则4﹣a＝＝，
故选：B．
10．（2020•新课标Ⅲ）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵a＝log 32＝＜＝，
b＝log53＝＞＝，
c＝，
∴a＜c＜b．
故选：A．
11．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵＝＝log53•log58＜＝＜1，∴a
＜b；
∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；
∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，
综上，c＞b＞a．
故选：A．
12．（2020•新课标Ⅰ）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2
【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；
因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；
令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b） a＜2b；
故选：B．
13．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）
恰有4个零点，则k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）
C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，
则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，
即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，
当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，
两图象有4个交点，符合题意，
当k＞0时，
y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）
在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，
即k＝x+在（，+∞）还有两个根，
函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），
所以，且k＞2，
所以k＞2，
综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故选：D．
14．（2020•⼭东）基本再⽣数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流⾏病学基本参数．基本再⽣数指⼀个感染者传染的平均⼈数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以⽤指数模型：I（t）＝e rt描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增⻓率r与R0，T近似满⾜R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln2≈0.69）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【解答】解：把R0＝3.28，T＝6代⼊R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，
当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，
两边取对数得0.38t＝ln2，解得t＝≈1.8．
故选：B．
15．（2020•新课标Ⅲ）Logistic模型是常⽤数学模型之⼀，可应⽤于流⾏病学领域．有学者根据公布数据建⽴了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最⼤确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
解得t≈66，
故选：C．
⼆．填空题（共6⼩题）
16．（2020•北京）函数f（x）＝+lnx的定义域是{x|x＞0}．
【解答】解：要使函数有意义，则，
所以，所以x＞0，
所以函数的定义域为{x|x＞0}，
故答案为：{x|x＞0}．
17．（2020•北京）为满⾜⼈⺠对美好⽣活的向往，环保部⻔要求相关企业加强污⽔治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⽤﹣
的⼤⼩评价在[a，b]这段时间内企业污⽔治理能⼒的强弱．已知整改期内，甲、⼄两企业的污⽔排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；
②在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强；
③在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污⽔治理能⼒最强．
其中所有正确结论的序号是①②③．
【解答】解：设甲企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝f（t），⼄企业的污⽔排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污⽔治理能⼒为，
⼄企业的污⽔治理能⼒为﹣．
由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴＞﹣，
即甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故①正确；
对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率⼩于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
∴在t2时刻，甲企业的污⽔治理能⼒⽐⼄企业强，故②正确；
对于③，在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都⼩于污⽔达标排放量，
∴在t3时刻，甲，⼄两企业的污⽔排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污⽔治理能⼒最强，
故④错误．
∴正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
18．（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是﹣4．
【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，
则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
19．（2020•上海）若函数y＝a•3x+为偶函数，则a＝1．
【解答】解：根据题意，函数y＝a•3x+为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即a•3（﹣x）+＝a•3x+，
变形可得：a（3x﹣3﹣x）＝（3x﹣3﹣x），
必有a＝1；
故答案为：1．
20．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为[，+∞）．
【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，
若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，
则y＝f（x+a）与y＝x有交点，
所以，
即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，
故答案为：[，+∞）．
21．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满⾜下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；
（2）关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，
则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，
⼜因为关于x的⽅程f（x）＝a⽆实数解，所以a≠0或1，
故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
三．解答题（共3⼩题）
22．（2020•上海）已知⾮空集合A⊆R，函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成⽴，则称函数f（x）具有A性质．
（1）当A＝{﹣1}，判断f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性质；
（2）当A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有
符合条件的m的值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x为减函数，
∴f（x）＜f（x﹣1），
∴f（x）＝﹣x具有A性质；
∵g（x）＝2x为增函数，
∴g（x）＞g（x﹣1），
∴g（x）＝2x不具有A性质；
（2）依题意，对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，
∴为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得a≥1，
当a≥1时，函数单调递增，满⾜对任意t∈（0，1），f（x）≤f（x+t）恒成⽴，
综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．
（3）∵D为整数集，具有A性质的函数均为常值函数，
∴当t＝﹣2，f（x）＝f（x﹣2）恒成⽴，即f（2k）＝p（k∈Z），f（2n﹣1）＝q（n∈Z），由题意，p＝q，则f（2k）＝f（2n﹣1），
当x＝2k，f（x）＝f（x+2n﹣2k﹣1），∴m＝2n﹣2k﹣1（n，k∈Z），
当x＝2n﹣1，f（x）＝f（x+2k﹣2n+1），∴m＝2k﹣2n+1（n，k∈Z），
综上，m为奇数．
23．（2020•上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上⼀定时间内通过的⻋辆数除以时间，⻋辆密度是该路段⼀定
时间内通过的⻋辆数除以该路段的⻓度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为⻋辆密度．
v＝f（x）＝．
（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求⻋辆密度q的最⼤值．
【解答】解：（1）∵v＝，∴v越⼤，x越⼩，
∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，
当40≤x≤80时，v最⼤为85，
于是只需令，解得x＞3，
故道路密度x的取值范围为（3，40）．
（2）把x＝80，v＝50代⼊v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，
得50＝﹣k•40+85，解得k＝．
∴q＝vx＝，
①当0＜x＜40时，令y＝，则y'＝，
若0＜x＜＜1，则y'＞0，y单调递增，由于y＞0，所以q＝100x﹣135•＜100；
若＜x＜40，则y'＜0，y单调递减，此时有q单调递增，所以q＜100×40﹣135×
≈4000＞100．
②当40≤x≤80时，q是关于x的⼆次函数，开⼝向下，对称轴为x＝，
此时q有最⼤值，为＞4000．
综上所述，⻋辆密度q的最⼤值为．
24．（2020•上海）有⼀条⻓为120⽶的步⾏道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA 为x轴正半轴建⽴直⻆坐标系，设点B（x，0），现要建设另⼀座垃圾投放点ω2（t，0），函数f t（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过f t（x）与坐标轴围成的⾯积来测算扔垃圾的便利程度，⾯积越⼩越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能⽐建在中点时更加便利？
【解答】解：（1）投放点ω1（120，0），ω2（60，0），f60（10）表示与B（10，0）距离最近的投放点（即ω2）的距离，
所以f60（10）＝|60﹣10|＝50，同理分析，f60（80）＝|60﹣80|＝20，f60（95）＝|120﹣95|＝25，由题意得，f60（x）＝{|60﹣x|，|120﹣x|}min，
则当|60﹣x|≤|120﹣x|，即x≤90时，f60（x）＝|60﹣x|；
当|60﹣x|＞|120﹣x|，即x＞90时，f60（x）＝|120﹣x|；
综上f60（x）＝；
（2）由题意得f t（x）＝{|t﹣x|，|120﹣x|}min，
所以f t（x）＝，则f t（x）与坐标轴围成的⾯积如阴影部分
所示，
所以S＝t2+＝t2﹣60t+3600，
由题意，S＜S（60），即t2﹣60t+3600＜2700，
解得20＜t＜60，即垃圾投放点ω2建在（20，0）与（60，0）之间时，⽐建在中点时更加便利．
考点卡⽚
1．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的⾃变量的取值范围．
求解函数定义域的常规⽅法：①分⺟不等于零；
②根式（开偶次⽅）被开⽅式≥0；
③对数的真数⼤于零，以及对数底数⼤于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题⽅法点拨】
求函数定义域，⼀般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的⾃变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如⻓度、⾯积必须⼤于零、⼈数必须为⾃然数等）．（3）若⼀函数解析式是由⼏个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这⼏个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同⼀对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满⾜的范围是⼀样的；②函数g （x）中的⾃变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题⽅向】⾼考会考中多以⼩题形式出现，也可以是⼤题中的⼀⼩题．
2．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．
解题⽅法点拨：⼀般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直⻆坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题⽅向：⼀般考试是以⼩题形式出现，或⼤题中的⼀问，常⻅考题是，常⻅函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利⽤描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
⾸先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最⼤值点、最⼩值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利⽤图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上⽅图将x轴下⽅图翻折上去y＝|f（x）|．
解题⽅法点拨
1、画函数图象的⼀般⽅法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析⼏何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利⽤图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上⾯两种⽅法都失效时，则可采⽤描点法．为了通过描少量点，就能得到⽐较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的⽅法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性⽅⾯，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利⽤上述⽅法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项⽆法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破⼝．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最⾼点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的⾛向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利⽤函数的图象研究⽅程根的个数
有关⽅程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利⽤此法也可由解的个数求参数值．
4、⽅法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每⼀次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握⼏种基本函数的图象，如⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常⽤的⽅法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种⽅法﹣﹣识图的⽅法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等⽅⾯来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常⽤⽅法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进⾏定性的分析，从⽽得出图象的上升（或下降）的趋势，利⽤这⼀特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利⽤这⼀函数模型来分析解决问题．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
⼀般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个⾃变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这⼀区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题⽅法点拨】
证明函数的单调性⽤定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利⽤函数的导数证明函数单调性的步骤：
第⼀步：求函数的定义域．若题设中有对数函数⼀定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第⼆步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利⽤f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从⼩到⼤顺次将定义域分成若⼲个⼩开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在⼩开区间内的正、负值判断f（x）在⼩开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成⽴问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题⽅向】
从近三年的⾼考试题来看，函数单调性的判断和应⽤以及函数的最值问题是⾼考的热点，题型既有选择题、填空题，⼜有解答题，难度中等偏⾼；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应⽤，主观题在考查基本概念、重要⽅法的基础上，⼜注重考查函数⽅程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想⽅法．预测明年⾼考仍将以利⽤导数求函数的单调区间，研究单调性及利⽤单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能⼒．
4．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常⻅的⼀般以两个函数的为主．
【解题⽅法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题⽅向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
5．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题⽅法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）
A．偶函数B．奇函数C．⾮奇⾮偶D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题⽅向】函数奇偶性的应⽤．
本知识点是⾼考的⾼频率考点，⼤家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象⼀起分析，确保答题的正确率．
6．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，⼀般情况下也就是把它们并列在⼀起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各⾃的性质，在做题时能融会贯通，灵活运⽤．在重复⼀下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意⼀个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题⽅法点拨】
参照奇偶函数的性质那⼀考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运⽤f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运⽤f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内⼀般是⽤f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性⼀致，⽽偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x） a＝1
【命题⽅向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运⽤奇偶函数的性质是⼀个基本前提，另外做题的时候多多总结，⼀定要重视这⼀个知识点．
7．抽象函数及其应⽤
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了⼀些体现函数特征的式⼦的⼀类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之⼀．
【解题⽅法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）
，它的原型就是y ＝kx ；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f （xy ）＝f （x ）+f （y ），求证f （1）＝f （﹣1）＝0
令x ＝y ＝1，则f （1）＝2f （1） f （1）＝0
令x ＝y ＝﹣1，同理可推出f （﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运⽤相关的函数性质推断它的单调性；
【命题⽅向】抽象函数及其应⽤．
抽象函数是⼀个重点，也是⼀个难点，解题的主要⽅法也就是我上⾯提到的这两种．⾼考中⼀般以中档题和⼩题为主，要引起重视．
8．指数函数的图象与性质
【知识点的认识】
1、指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象和性质：
y ＝a x
a ＞10＜a ＜1
图象定义域
R 值域
（0，+∞）性质过定点（0，1）
当x ＞0时，y ＞1；
x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1
在R上是增函数在R上是减函数
2、底数对指数函数的影响：
①在同⼀坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越⼤，函数图象在第⼀象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越⼩，函数图象在第⼀象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝a x与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利⽤指数函数的性质⽐较⼤⼩：
若底数相同⽽指数不同，⽤指数函数的单调性⽐较：
若底数不同⽽指数相同，⽤作商法⽐较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
9．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②log a a N＝N（a＞0且a≠1）．
log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；
log a M n＝n log a M；log a＝log a M．
10．对数值⼤⼩的⽐较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利⽤对数函数的单调性来⽐较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引⼊中间变量（1，﹣1，0）进⾏⽐较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利⽤函数图象或利⽤换底公式化为同底的再进⾏⽐较．（画图的⽅法：在第⼀象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增⼤）
11．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
12．反函数
【知识点归纳】
【定义】⼀般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，⽤y 把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何⼀个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯⼀的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是⾃变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了⻆⾊
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是⼀⼀映射；
（3）⼀个函数与它的反函数在相应区间上单调性⼀致；
（4）⼤部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C。