第三章习题选解

解 (1) P{U 1, V 1}
y 1 0 2
x y
P{ X Y , X 2Y }
P{ X Y } 0.25 , P{U 1, V 0}
P{ X Y , X 2Y } 0 ,
x 2y
x
20
解 (1)
P{U 1, V 1} 0.25 ,
8
1 1 P { X 1, Y 1} , P{ X 1, Y 0} , 12 6 1 P{ X 0, Y 1} , P{ X 0, Y 0} P ( A B ) 12 2 1 P ( A B) 1 P ( A) P ( B) P ( AB) , 3
(4) P ( X 1, Y 1)
y 1 0 1 x
2
1
1
e
x
dx e 2 y dy
0
1
1 2e (1 e 2 ) 2
e1 e3 .
13
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
(5)
P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} P{Y 1} 0.25 , P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} 0 ,
P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} P{1 Y 1} 0.5 ,
1
1 g
2
1 1 1 1 1 1 3 1 b , g , h , d , e . 4 24 8 12 2 422 8 3
P93 17、 设随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为
3 x , 0 y x 1 f ( x, y) 其他 0
1 0
y
x y
P{U 1, V 0} 0 , P{U 0, V 1} P{ X Y , X 2Y }
P{Y X 2Y } 0.25 ,
x 2y
2
x
P{U 0, V 0} 0.5 .
U
V
1
0.25 0.25
0 0
0 .5
所以(U ,V ) 的联合分布律为
1
2
1 / 35 6 / 35 3 / 35
i 4 i C3 C4 P( X i ) ,0 i 3 4 C7
4 j C 2j C5 P (Y j ) ,0 j 2 4 C7
0 1
2
0
6 / 35
12 / 35 2 / 35
3
0
边缘分布：
X
P Y P
0
1 / 35
1
数值填入表中的空白处．
1 1 1 , 解 a 6 8 24
X
Y
y1
1 a 24
y2
1 8
3 d 8
y3
1 b 12 1 e 4 1 h 3
pi
1 由独立性， c a , 6 1 c ; 4 3 f 1 c ; 4
x1
x2
p j
1 8 1 6
1 c 4 3 f 4
X
0 1
2
0 0
3 / 35 2 / 35
0
6 / 35 12 / 35 2 / 35
1 / 35 6 / 35 3 / 35
3
0
2
X
Y
0 0 0
3 / 35 2 / 35
1
2
1 / 35 6 / 35 3 / 35
i 4 i C3 C4 P( X i ) ,0 i 3 4 C7
y
1
o
1
x
2.4 y(3 4 y y 2 ) , 其他 y, fY ( y) 0 ,
2.4 y(3 4 y y 2 ) , 0 y 1 所以 fY ( y ) 其他 0 ,
18
4.8 y(2 x ) 0 y x 1 f ( x, y ) 0 其他
0
y
y
y x
0
y e y dy k 1 ;
O
x
(2) 边缘密度为
y x e d y e ，x 0 x f X ( x) , x0 0,
15
(2) 边缘密度为
e y dx ye y , y 0 fY ( y ) 0 y0 0,
F ( x, y )
x
dx
y
f ( x, y ) dy
x y x 2 y e d x e dy , x 0, y 0 0 0 其他 0,
(1 e x )(1 e 2 y ) , x 0, y 0 其他 0,
4 j C 2j C5 P (Y j ) ,0 j 2 4 C7
0 1
2
0
6 / 35
12 / 35 2 / 35
3
0
边缘分布：
X
P Y P
0
1 / 35
1
12 / 35
2
18 / 35
3
4 / 35
0
5 / 35
1
20 / 35
2
10 / 35
3
X
Y
0 0 0
3 / 35 2 / 35
(2) P (U 1) 0.25 ,
1
0
P (V 1) 0.5 ,
P (U 1, V 1) 0.25 P (U 1) P (V 1) ,
所以 U 和 V 不独立。
21
P92 13、设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表给出了随机变 量 ( X , Y ) 联合分布律和边缘分布律中的部分数值， 试将其余
x2 y dy e x，x 0 2 0 e f X ( x) , 0, x0
x2 y 2 y 2 e d x 2 e ，y 0 0 fY ( x ) , 0, y0
11
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
19
P92 12、设随机变量( X , Y ) 服从区域 D {( x , y ) | 0 x 2, 0 y 1} 上均匀分布．令
1 X Y 1 X 2Y ，V U 0 X Y 0 X 2Y (1)求(U ,V ) 的联合分布律；(2) U 和 V 是否独立？
故(X,Y)的联合概率分布为
X
Y
0
1
0 2 3
1 6
1
1 12
1 12
9
P92 9、 已知随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0, 求： (1)常数 k； (2) X 和 Y 的边缘密度函数； (3) P ( X Y 1) ； (4) P ( X 1, Y 1) ； (5) X 和 Y 的联合分布函数 F ( x , y ) ．
o
1
x
2.4 x 2 (2 x ) , 0 x 1 f X ( x) . 其他 0,
17
4.8 y(2 x ) 0 y x 1 f ( x, y ) 0 其他
解 (1) 边缘概率密度：
当 0 y 1 时，
y
1
fY ( y ) 4.8 y(2 x ) dx
y
y
y x
O
x
(3) P{ X Y 1}

1/ 2 0
x y 1
f ( x, y ) d
1/ 2 0
dx
1 x x
e dy
y
(e x e x 1 ) dx
1 1 2e . e

16
1 2
P92 11、设随机变量( X ,Y ) 的联合密度函数为 4.8 y(2 x ) 0 y x 1 f ( x, y ) 0 其他
14
P92 10、设随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为
k e y , 0 x y f ( x, y) 其他 0 , 求(1)常数 k； (2) X 和 Y 的边缘密度函数； (3)P{ X Y 1} ．
解 (1) k
0
e
y
k

dy dx
求 ( X ,Y ) 的联合概率分布。
解
P ( AB ) 1 1 , P ( AB ) P ( A) P ( B | A) , P( B) P( A | B) 6 12
1 P{ X 1, Y 1} P ( AB ) , 12 1 P{ X 1, Y 0} P( AB) P ( A) P ( AB ) , 6 1 P{ X 0, Y 1} P ( AB ) P ( B ) P ( AB ) , 12
1 , Y 1 1 , Y 1 X1 ，X 2 ， 1 , Y 1 1 , Y 1 求 X 1 和X 2 的联合分布律和边缘分布律.
解 (1) ( X 1 , X 2 ) 的所有可能取值为:(1,1) ,(1,1) , (1,1) , (1,1) ,相应地概率依次为:
12 / 35
2
18 / 35
3
4 / 35
0
1/ 7
1
4/7
2
2/7
4
X
Y
0 0 0
3 / 35 2 / 35
1
2
1 / 35 6 / 35 3 / 35
0 1
2
0
6 / 35
12 / 35 2 / 35
3
0
9 . (2) P ( X Y ) 35
5
P91 5、 设随机变量Y ~ U (2, 2) ，随机变量
(3) P ( X Y 1)
y
2 y
2 e
0
1
x
dx
1 x 0
e
dy
1 0
x y 1
e [1 e
x 0
1 0
1
2( x 1)
]dx
1
x
(e x e x 2 ) dx
1 2e e .
12
1
2
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
求：(1) X 和 Y 的边缘概率密度；(2) X 和 Y 至少有一个小于
1 的概率． 2 解 (1) 边缘概率密度：
当 0 x 1 时,
y
1
f X ( x ) 4.8 y(2 x ) dy
0
x
2.4 x 2 (2 x) , 其他 x, f X ( x ) 0 ,
所以
解 (1)
k
x
0
e
x
dx
0
e 2 y dy

k ( e )
所以 k 2
0
1 2 y 1 ( e ) k 1 , 2 2 0
10
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
(2) 边缘密度为
概率统计第三章习题选解
1
P91 2、 盒子中装有 3 只黑球、 2 只白球和 2 只红球， 从中无放回抽取 4 只，以 X 表示取到的黑球的只数， 用 Y 表示取到的白球的只数，求 (1) X 和 Y 的联合分 布律和边缘分布律； (2)P ( X Y ) ． i 4 i j C3 C 2j C 2 , 解 (1) P{ X i , Y j } 4 C7 i 0,1,2,3 , j 0,1,2 , 2 i j 4 所以X和Y的联合分布律为 Y 1 2 0
1 1 解 (2) P ( X , Y ) 2 2
y
1
1 2
4 .8 1 ( 2 x ) d x 1 y d y
2 2
1
x
37 1 , 2.4 1 ( 2 x )( x ) dx 4 80 2
1 2
o
1 2
1
x
43 1 1 1 1 . 所以 P ( X 或 Y ) 1 P ( X , Y ) 2 2 80 2 2
P{ X1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} P{Y 1} 0.25 ,
6
所以 X1 和X 2 的联合分布律为
X1
X21Biblioteka 0.25 0 .51
0
0.25
1
1
7
补充题
设A，B为两个随机事件，且
1 1 1 P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 4 3 2 1 , 若A发生 1 , 若B发生 令 X ，Y ， 0 ， 若A不发生 0 ， 若B不发生