数学分析考研试题及答案

数学分析考研试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：
A. f(x)在x=a处连续
B. f(x)在x=a处不可导
C. f(x)在x=a处不一定连续
D. f(x)在x=a处可微
答案：A
2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1和2
答案：D
4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：
A. f(x)在(a,b)上必有最大值
B. f(x)在(a,b)上必有最小值
C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值
D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值
答案：C
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+3
2. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：1
3. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x
4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4
三、解答题（每题10分，共60分）
1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2+6x-9，令f'(x)=0，解得x=-3或x=1。

当x<-3时，f'(x)>0；当-3<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。

因此，函数f(x)在x=-3处取得极小值。

4. 求函数f(x)=e^x-x-1的零点。

答案：令f'(x)=e^x-1=0，解得x=0。

当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0。

因此，函数f(x)在x=0处取得极小值，且为零点。

5. 证明不等式ln(x+1)≤x，对于x>-1成立。

答案：令g(x)=ln(x+1)-x，求导得g'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)。

当
x>-1时，g'(x)<0，说明g(x)在(-1,+∞)上单调递减。

因此，
g(x)≤g(0)=0，即ln(x+1)≤x。

6. 求函数y=x^3-3x^2+1的极值。

答案：求导得y'=3x^2-6x=3x(x-2)。

令y'=0，解得x=0或x=2。

当
x<0或x>2时，y'>0；当0<x<。