东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)-有答案

东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
(){}
03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数ai
i
z ++=
11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2
1
-
D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是
，则8771用算筹可表示为（ ）
中国古代的算筹数码 A ．
B ．
C ．
D ．
4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822 n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输
出的n 值分别是（ ）
A ．1+=n n 和6
B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和8 5.函数x
x
x x f tan 1)(2+
+=的部分图像大致为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9
B ．10
C.81 D ．90
7.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．34
B ．
3310 C.32 D ．33
8
8.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*
2
42
N n m a a a n m ∈=，则
n
m 1
2+的最小值为（ ） A ．1 B ．
23 C.2 D ．2
9 9.已知过曲线x
e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．),1
(+∞e
C.),1(+∞ D ．),2(+∞
10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角
C A
D B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）
A ．π3
B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫
⎝
⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4
g x x π
=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．
512
π
B ．
712
π C ．
924
π
1 D ．
4124
π
12.已知焦点在x 轴上的双曲线22
22
11x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）
A
．
2
B
．
2
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
则25z x y =++的最大值为．
14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）
15.已知函数()f x 满足(1)1()
f x f x +=
-，当(1)2f =时，)9()8(f f +的值为．
16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足2
1
=
，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅=．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C a B b cos cos cos 2+=. （I ）求B 的大小；
（II ）求ABC ∆面积的最大值.
18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组
[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
（I ）求出a 的值；
（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．
（1）证明：//EF 平面DCP ； （2）求平面EFC 与平面PDC 的距离．
20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3
(1,)2
M 在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．
21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若()f x )(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；
（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线
2C ：4cos ρθ=（02
π
θ≤<
）．
（I ）求1C 与2C 交点的极坐标； （II ）设点Q 在2C 上，2
3
OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2
()f x x x
≥+恒成立，求实数m 的取值范围．
数学（文科）试题参考答案
一、选择题
1-5:CDCDD 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题
13.14 14.38 15.3
7
16.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理
C
C
B b A a sin sin sin =
=可得 B A C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=
∵0sin B ，故2
1cos =B ， ∵π B 0，∴3
π
=B
（2）由3
,2π
=
=B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，
由基本不等式可得4,4242
2
≤-≥-+=ac ac c a ac ， 而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 2
1
=
∆取得最大值323421=⨯
⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.
18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．
（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .
设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件，
其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件
从而第2组抽到2人的概率5
3
106==
19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，1
2
MF CB =
，
∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，1
2
DE CB =
， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．
（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=
DP ，
∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则
3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，
∴2
22121=⨯⨯=
∆PDC S PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，
又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121
131212131
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅h ∴4
2=
h ∴F 到平面PDC 的距离为
4
2 20.解：（1）∵
1
2
c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为22
22143x y c c
+=，
将3(1,)2代入得
22
191412c c
+=，∴2
1c =， ∴椭圆的方程为22
143
x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立22
1,43
1,x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去x ，得22
(34)690m y my ++-=，
设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=
+，12
29
34
y y m -=+，
有22
12(1)
||34
m AB m +==+，
点P (2,0)-到直线l
点(2,0)Q 到直线l
从而四边形APBQ
的面积22112(1)234m S m +=⨯=+（或121
||||2S PQ y y =-）
令t =，1t ≥， 有22431t S t =
+24
13t t =
+，设函数1()3f t t t =+，2
1'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t
+≥，故22424
61
313t S t t t
=
=≤++，
所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有x
x
x x F -=
-=
'111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，
)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，
若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，
（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121
x x
，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，
即证0ln 1
1ln 11ln
111
111 x x x x m x x -+-=-- 令01
221)(),10(ln 21)(2
22 x x x x x x x h x x x x x h +-=
-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，
0)1()(=h x h ，
所以121 x x . 22.解：（1）联立cos 3,4cos ,
ρθρθ=⎧⎨=
⎩cos θ=，
∵02
π
θ≤<
，6
π
θ=
，ρ=
∴所求交点的极坐标)6
π
．
（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,
)2
π
θ∈，
由已知23OQ QP =，得002,5,
ρρθθ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
∴
24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2
π
θ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3
()|2||23|21,0,2
345,.2
x x f x x x x x x ⎧
⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪
--≤-⎪⎩
当413,0,
x x +≤⎧⎨
≥⎩解得102x ≤≤；当3
02x -<<，13≤恒成立；
当453,
3
,2
x x --≤⎧⎪
⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭
． （2）令233,0,22
()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪
--+-≤-⎪⎩
当302x -
≤<时，22
'()1g x x
=-+
，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x
在[0)
上单调递增，当32x -≤≤'()0g x ≤，所以()g x
在3
[,2
-上单调递减，
所以min ()(g x g =
30m =+≥，
所以3m ≥-， 当32x ≤-
时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3
(,]2
-∞-上单调递减， 所以min 3
35
()()02
6
g x g m =-=+≥， 所以356
m ≥-
，
m≥-．综上，3。