四川省成都市高新实验中学2016-2017学年高一(下)3月月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年四川省成都市高新实验中学高一（下）3月月考
数学试卷
一．选择题：本大题12小题；每小题5分，共60分．请把答案填写在答题卷的表格内．
1．sin75°的值等于（）
A．B．C．D．
2．化简的结果是（）
A．sin4+cos4 B．sin4﹣cos4 C．cos4﹣sin4 D．﹣sin4﹣cos4
3．化简sin（x+y）sinx+cos（x+y）cosx等于（）
A．cos（2x+y） B．cosy C．sin（2x+y）D．siny
4．已知角θ为第四象限角，且，则sinθ+cosθ=（）
A．B．C．D．
5．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则α+β=（）
A．B． C．或D．或
6．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
7．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数
的图象上所有点（）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
9．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°处，且与它相距8
海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°，此船的航速是（）
A．8（+）B．8（﹣）C．16（+）D．16（﹣）
10．已知，则sin（）的值（）A．随k的增大而增大
B．有时随k的增大而增大，有时随k的增大而减小
C．随k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数
11．若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为﹣4，则a的值为（）
A．﹣6 B．4 C．﹣3 D．﹣4
12．在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，
=（cosA，sinA），若，且acosB+bcosA=csinC，则A、B的大小分别是（）
A．、B．、C．、 D．、
二．填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的横线上．
13．cos36°cos96°+sin36°sin84°的值是．
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．
16．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）两根tanα、tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=．
三．解答题：本大题共6个小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知tan（π+α）=﹣，tan（α+β）=．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
=4求b，c的值．
（Ⅱ）若△ABC的面积S
△ABC
19．已知：，．
（1）求sin2β的值；
（2）设函数f（x）=cosx﹣sinx，试求f（α）的值．
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sinA，1），=（﹣1，1），求•的最小值．
21．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．
22．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
2016-2017学年四川省成都市高新实验中学高一（下）3
月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题12小题；每小题5分，共60分．请把答案填写在答题卷的表格内．
1．sin75°的值等于（）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】解：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=+
=．
故选：A．
2．化简的结果是（）
A．sin4+cos4 B．sin4﹣cos4 C．cos4﹣sin4 D．﹣sin4﹣cos4
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简，在依据角的范围得到结果．
【解答】解：==|sin 4﹣cos4|．
∵＜4＜，∴由三角函数线易知co 4＞sin4．
∴=cos4﹣sin4．
故选：C．
3．化简sin（x+y）sinx+cos（x+y）cosx等于（）
A．cos（2x+y） B．cosy C．sin（2x+y）D．siny
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】根据两角差的余弦公式化简即可．
【解答】解：sin（x+y）sinx+cos（x+y）cosx=cos（x+y﹣x）=cosy，
故选：B
4．已知角θ为第四象限角，且，则sinθ+cosθ=（）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由同角三角函数基本关系式分别求出sinθ，cosθ再相加即可．
【解答】解：∴，
∴sinθ=﹣cosθ．
由于sin2θ+cos2θ=1，得出cos2θ=．
∵角θ是第四象限角，
∴cosθ=，sinθ=﹣．
∴sinθ+cosθ=．
故选A．
5．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则α+β=（）
A．B． C．或D．或
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β的值．
【解答】解：tan（α+β）===﹣1，
∵α、β都是锐角，
∴α+β=，
故选B．
6．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2，再结合余弦定理作出判断即可．
【解答】解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C，
由正弦定理===2R得，
a2+b2＜c2，
又由余弦定理得：cosC=＜0，0＜C＜π，
∴＜C＜π．
故△ABC为钝角三角形．
故选A．
7．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【考点】二倍角的余弦；正弦定理．
【分析】利用cos2=可得sinBsinC=，再利用两角和差的余弦可求．
【解答】解：由题意sinBsinC=，
即sinBsinC=1﹣cosCcosB，
亦即cos（C﹣B）=1，
∵C，B∈（0，π），
∴C=B，
故选：B．
8．为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数
的图象上所有点（）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数=3sin[（x+）的图象上所有点向右平
行移动个单位长度，
可得y=3sin[（x﹣+）]=3sin（x﹣）的图象，
故选：D．
9．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°处，且与它相距8
海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°，此船的航速是（）
A．8（+）B．8（﹣）C．16（+）D．16（﹣）【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形
ABS中边AS=8海里，先求出边AB的长，再利用物理知识解出．
【解答】解：∵在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边AS=8海里，
∴利用正弦定理可得：=
∴AB=8（﹣），
∵从A到S匀速航行时间为半个小时，
∴速度应为：=16（﹣）海里/小时．
故选：D．
10．已知，则sin（）的值（）A．随k的增大而增大
B．有时随k的增大而增大，有时随k的增大而减小
C．随k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数
【考点】二倍角的正弦；弦切互化．
【分析】先根据二倍角公式和弦切互化将化简为sin2α进而可
得到k=sin2α，然后对sin（）应用两角和与差的正弦公式化简，再结合
k=sin2α
可得到sin（）=﹣，再由函数的单调性可得到答案．
【解答】解：=2sinαcosα=sin2α=k
∵
∴sin（）=（sinα﹣cosα）=﹣=﹣
=
﹣
∵函数t=﹣（0＜k＜1）是增函数
∴sin（）的值随k的增大而增大
故选A．
11．若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为﹣4，则a的值为（）
A．﹣6 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用x
的范围，求得2x的范围，然后利用正弦函数的单调性求得函数最小值的表达式，求得a．
【解答】解：f（x）=2cos2x+sin2x+a
=cos2x
+1+sin2x+a=．
∵x∈[0，]，
∴2x∈[0，π]，∈[，]，∈[，1]．
∴，
即a=﹣4．
故选D．
12．在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，
=（cosA，sinA），若，且acosB+bcosA=csinC，则A、B的大小分别是（）
A．、B．、C．、 D．、
【考点】三角函数的化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由=0可得sin（﹣A）=0，从而求得A=．再由acosB+bcosA=csinC
利用正弦定理可得sin（+B）=1，由此求得B的值．
【解答】解：由题意可得=•（cosA，sinA）=﹣sinA=2sin（
﹣A）=0，
再由A是三角形ABC的内角可得，0＜A＜π，∴﹣A=0，故A=．
再由acosB+bcosA=csinC可得sinA•cosB+sinBcosA=sin2C，
即cosB+sinB=，即sin（+B）=，
故sin（+B）=1．
再由＜+B＜可得+B=，B=．
故选C．
二．填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的横线上．
13．cos36°cos96°+sin36°sin84°的值是．
【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用．
【分析】利用诱导公式先对已知式子化简，然后利用两角和的余弦公式进行化简即可求解
【解答】解：∵cos36°cos96°+sin36°sin84°
=﹣cos36°cos84°+sin36°sin84°
=﹣cos（36°+84°）
=﹣cos120
故答案为：
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，
则cosA=．
【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．
【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与
差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．
【解答】解：由正弦定理，知
由（b﹣c）cosA=acosC可得
（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=．
故答案为：
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=150m．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△
MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，从而可求得MN的值．
【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，，因此AM=100m．
在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由
得MN=100×=150m．
故答案为：150．
16．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）两根tanα、tanβ，且α，β∈（﹣，），则
α+β=．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由韦达定理和两角和的正切公式可得tan（α+β）=1，进一步缩小角的范围可得α+β∈（﹣π，0），可得答案．
【解答】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0两根tanα、tanβ，
∴tanα+tanβ=﹣3a，tanαtanβ=3a+1，
∴tan（α+β）==1，
又∵α，β∈（﹣，），
tanα+tanβ=﹣3a＜0，tanαtanβ=3a+1＞0
∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（﹣，0），
∴α+β∈（﹣π，0），结合tan（α+β）=1
∴α+β=
故答案为：
三．解答题：本大题共6个小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知tan（π+α）=﹣，tan（α+β）=．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用诱导公式化简已知条件，求出正切函数值，代入tan（α+β）求解即可；
（2）利用（1）结合两角和的正切函数，化简求tanβ的值．
【解答】解：（1）tan（π+α）=﹣，
可得tanα=，
tan（α+β）====．
（2）==，
解得tanβ=．
18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA 的值；
（Ⅱ） 若△ABC 的面积S △ABC =4求b ，c 的值． 【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA 的值； （Ⅱ）由△ABC 的面积S △ABC =4求c 的值，利用余弦定理求b 的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=
∴sinB=， ∵a=2，b=4，
∴sinA=
=
=；
（Ⅱ）S △ABC =4=×2c ×，∴c=5，
∴b==
．
19．已知：
，
．
（1）求sin2β的值；
（2）设函数f （x ）=cosx ﹣sinx ，试求 f （α）的值． 【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）【解法一】利用二倍角与同角的三角函数关系求出cos （2β﹣），
即sin2β的值；
【解法二】利用两角差的余弦公式得出，再两边平方求出sin2β
的值；
（2）根据α、β的取值范围，利用同角的三角函数关系和三角恒等变换，求f （α）的值即可．
【解答】解：（1）【解法一】∵cos （β﹣）=，
∴cos （2β﹣
）=2cos 2（β﹣
）﹣1=2×﹣1=﹣，﹣﹣﹣﹣
即sin2β=﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【解法二】∵cos（β﹣）=，
∴，
即；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
两边平方得：，
即sin2β=﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵0＜α＜＜β＜π，
∴＜β﹣＜，＜α+β＜，
∴sin（β﹣）＞0，cos（α+β）＜0，
∴sin（β﹣）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
cos（α+β）=﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（α）=cosα﹣sinα
=cos
（α+）
=cos
[（α+β）﹣（β﹣）]
=
[cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣）]
=
（﹣×+×）
=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sinA，1），=（﹣1，1），求•的最小值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据sinA不为0，求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，根据B的度数，得出A的范围，利用正弦函数的单调性即可求出所求式子的最小值．
【解答】解：（I）由正弦定理===2R，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，∴B=；
（II）∵=（sinA，1），=（﹣1，1），
∴•=﹣sinA+1，
由B=得：A∈（0，），
则当A=时，•取得最小值0．
21．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，可得t的方程，即可得出结论；
（2）利用正弦定理，即可得出结论．
【解答】解：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．
在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°，AB=10，AC=9t，BC=21t．
由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，
所以，
化简得36t2﹣9t﹣10=0，解得或（舍去）．
所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时．
（2）由，．
在△ABC中，由正弦定理得．
所以角B的正弦值为．
22．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
【考点】已知三角函数模型的应用问题．
【分析】根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．
【解答】解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得
=，∴=，所以CP=sinθ．
又=，∴OC=sin（60°﹣θ）．
因此△POC的面积为
S（θ）=CP•OCsin120°=•sinθ•sin（60°﹣θ）×
=sinθsin（60°﹣θ）=sinθ（cosθ﹣sinθ）
=（sinθcosθ﹣sin2θ）
=（sin2θ+cos2θ﹣）
= [cos（2θ﹣60°）﹣]，θ∈（0°，60°）．
所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为．
2017年4月27日。