2018届江苏六市高三数学二模试卷.docx

2018 届高三第二次调研测试
（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）
数学学科
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 已知集合 U
1，0 ，1，2 ，3 ，A
1，0 ，2
，则 e U A ▲ ．
2． 已知复数 z 1
a i ，z 2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位．若
z 1
为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．
z 2
3． 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间
40 ，100 上，其频率分布直方图如图
所示，则成绩不低于 60 分的人数为
▲ ．
开始
频率
S ←1
组距
i ← 1
i ← i???1
S ←S × 5
i?< 4
Y
40
50
60 70 80 90
100 成绩 /分
N
输出 S
（第 3 题）
4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．
结 束
（第 4 题）
5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积
大于 32 cm 2 的概率为
▲ ．
6． 在 △ ABC 中，已知 AB
1，AC
2 ，B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．
7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 2
y 2 x 1 有公共的渐近线，且经过
3
点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角
， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A (1 ，2 ) ， B ( 5 ，1) ，则 tan(
) 的值为 ▲ ．
9． 设等比数列
a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 8 3 ，则 a 5 的值为
▲ ．
10． 已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a
b ) ，则 a b
c 的最小值为
▲ ．
x ≤ 3 ， 11． 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组
x 3y 3 ≥ 0 ， 表示的平面
x
3 y 3 ≥ 0
区域内，则面积最大的为
▲ ．
e x
1 ， x
0 ，
3 个不同的零点，
12． 设函数 f (x)
2
（其中 e 为自然对数的底数）有 x 3 3mx
2 ，x ≤ 0
则实数 m 的取值范围是▲ ．
13． 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB
1 ，BC
4 ，CD 2，DA
uuur uuur
3 ，则 AC BD 的值为 ▲ ． 14． 已知 a 为常数，函数 f ( x)
x
的最小值为
2
2
3 ，则 a 的所有值为 ▲ ．
a x 1 x
2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a
cos ，sin ， b sin ， cos ，
c
1
， 3
．
22
（1）若 a b c ，求 sin (
) 的值；
（2）设
5π
a //
b c
6 ， 0
π，且 ，求 的值．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱柱
ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1?， CC 1 上（均异 于端点） ，且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1 1 ．
A C
， AF ⊥ CC
求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；
B F
（
2
） BC
B
l 1 y
A E
B 1
A 1
l 2
C C 1
Q
B 1 O
x
（第 18 题）
P
（第 16 题）
2
2
B 2
x 2 y 2 1( a b 0 ) y x 3 4 2 QB 1
PB 1 ， QB 2
PB 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 x x
a b
（第 17 题）
q 1 ，d 0 c i a i b i
c 1 ，c 2 ，c 3 a 1 1 q
2 c 1 ，c 2 ，c
3 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c
4 f ( x ) x a sin x
( a 0 ) y
f ( x ) a
1
，g ( x )
f ( x ) b ln x
1 ( b R ，b
0 )
2
4b 2
g ( x ) g ( x ) x 0 ，g ( x )
0 x 0 ， g ( x 0 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1
x 2 ) x 1 x 2
开始B
频率
S←1
A 组距
i ←E 1O
D
（第 22 题）
←i???1
i C
（第 21— A 题）
S←S× 5
i?< 4Y
40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分N
（第 3 题）输出 S
结束
（第 4 题）
DB DC OD 2
OA
212 M 1 0N 2 01
A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) T T0201T
T2P2，3l sin32P X600X E X
n
(1 x ) 2n 1a0a1 x a2 x2a2 n 1 x2 n 1n N * T n( 2k 1) a n k T2 T n n N* T n
k0
4n 2U 1 ，0，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 e U A 1 ，3
z1a i ，z2 3 4 i i z14
40 ，100S z23
△ ABC AB 1 ，AC 2 ，B45BC26 xOy C x y21P 2 ， 3C
2
23
4 3， A (1 ，2 ) B (
5 ，1)tan()9a n S n S3，S9，S
6 a83a56
7
x ≤ 3 ，
a ，
b ，
c abc4( a b )a b c C x3y 3 ≥ 0 ，(x
22
4 1)y
1 ，x3y 3 ≥ 0
e x0 ，
x
f ( x)
x32 e m1，ABCD AB1，BC4，CD 2 ，DA3
uuur uuur
3mx 2 ，x ≤ 0
a f ( x)x
2
a 4，
1
2+3C m1m m 1xOy
AC BD
a x 2234 1x
a cos，sin
b sin， cos
c 1 ，3a b c sin ()
22
5π
0π a // b c a cos，sin b sin， cos 6
c 1 ，3a b c1 a b cos sin sin cos sin ()
22
a b
c
a 2 c 2
1 2sin (
) 1
1 sin (
)
1
5π
b
2
6
a
3 ，1 b c
sin
1
，cos
3 a // b
c
2
2
2
2
3 cos
3 1 sin 1
1 sin 3 cos 1 sin
π 1
2
2
2 2
2
22 3
2
π
π π 2π
π π
π 3 3 3
3 6
2
a b cos sin sin cos sin ( ) a 2 ??2 a b ??b 2 ??1， 每个 2 分，没有先
后 序。

π π 2π
2.不写“ 3 3 3 ”扣 1 分。

16．（本小 分 14 分）
如 ，在三棱柱
ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分 在棱 BB 1?， CC 1 上（均异
于端点） ，且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． A
C
求 ：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；
B
F
（ 2） BC I A Rt Rt
少“在三棱柱 ABC ?A 1B 1C 1
中”或者写成“由 意知”都不
行，没有就扣掉 7 分，采取“突然死亡法” ， 格 准； E
2.“ 5 分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉 段以及本小 后 分
，共 5 分。

A
C 1
1
3 分。

3.“ 14 分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉 段得分，共
B 1
（第 16 题）
17．（本小 分
14 分）
y 2
如 ，在平面直角坐 系
xOy 中， B 1
2
是
x 2
1( a b 0 ) 的短 端点， P 是
， B a 2
b 2
上异于点 B 1，B 2 的一 点．当直 PB 1 的方程 y
x 3 ， 段 PB
1 的 4
2 ．
（1）求 的 准方程；
（2） 点 Q 足：
QB 1 PB 1 ， QB 2
1 2
1 2
的面 之比 定 ．
PB 2 ．求 ：△ PB B 与△ QB B
y
B 1
Q
O
x
P
B 2
解： P x 0 ，y 0
， Q x 1 ，y 1 ．
（第 17 题）
（ 1）在 y
x 3 中，令 x
0 ，得 y
3 ，从而 b???3．
⋯⋯
2 分
2
2
2
x
y
由 2
1，
2
x 3
a
9
得 x
2
1 ．
a
9
y x 3
所以 x 0
6a 2
．
⋯⋯ 4 分
9 a 2
2
2
6a 2
2
因 PB 1
y 0 3
2 x 0 ，所以
4 2
2
18 ．
x 0
9 a 2
，解得 a
2
x 2
所以 的 准方程
y 1 ．
⋯⋯ 6 分
18
9
（ 2）方法一：
直 PB 1 的斜率 k PB 1
y 0 3 ，
x 0
由 QB 1
PB 1 ， 所以直 QB 1 的斜率 k QB 1
x 0 ．
y 0
3
于是直 QB 1 的方程 ： y
x 0 x 3 ．
y 0 3
同理， QB 2 的方程 ： y
x 0 x 3 ．
⋯⋯ 8 分
y 0 3
y 2 9
立两直 方程，消去
y ，得 x 1
．
⋯⋯ 10 分
x 0
2
2
x 0 2
y 0 2
2
因 P
x 0 ，y 0
在 x
y
1 上，所以
1 ，从而 y 02
9
x 0 ．
x 0
18
9
18
9
2
所以 x 1
．
⋯⋯ 12 分
2
S
PB B
2
x
所以 S
1 0
2 ．
⋯⋯ 14 分
QB B x
2
1
1
方法二：
直 PB 1， PB 2 的斜率 k ， k ， 直 PB 1 的方程 y
kx
3 ．
由 QB 1
PB 1 ， 直 QB 1 的方程 y
1 x 3 ．
k
2
y 2
2k
2
x
2
将 y
kx 3 代入 x
1 ，得 1 12kx 0 ，
18
9
因 P 是 上异于点
B 1， B 2 的点，所以 x 0
0 ，从而 x 0 12k
．⋯⋯ 8 分
2k 2
1
x 0 ，y 0 在
x 2
y 2
2
2
2
因 P
1 上，所以 x 0 y 0 1 ，从而 y 0
2 9 x 0 ．
18 9 18 9 2
k k y 0 3 y 0 3 y 02
9 1 k 1
⋯⋯ 10 分 所以 x 0 x 0 x 02 2 ，得
2 k ．
由 QB 2 PB 2 ，所以直 QB 2 的方程 y 2kx 3 ． 立
y 1 x
3 ，
x
6k
，即 x 1
6k
．
⋯⋯ 12 分
k
2k 2
2k 2
y
2kx 3
1
1
S PB 1 B 2
x 0
12k
所以
2k 2 1 2 ．
⋯⋯ 14 分
S QB B
x 1
6k
2
1
2k
2
1
18．（本小 分 16 分）
将一 高温融化后制成一 厚度忽略不 、面 100 dm 2 的矩形薄 皮（如 ） ，并沿
虚 l 1 2
裁剪成 A ， B ， C 三个矩形（ B ，C 全等），用来制成一个柱体． 有两种方案：
，l
方案①：以 l 1 母 ，将 A 作 柱的 面展开 ，并从
B ，
C 中各裁剪出一个 形作
柱的两个底面；
方案②：以 l 1 棱，将 A 作 正四棱柱的 面展开 ，并从
B ，
C 中各裁剪出一个正方
形（各 分 与
l 1 或 l 2 垂直）作 正四棱柱的两个底面．
（ 1） B ，C 都是正方形，且其内切 恰 按方案①制成的 柱的底面，求底面半径；
（ 2） l 1 的 x dm ， 当 x 多少 ，
能 使 按
方案②制成的正四棱柱的体 最大
B
l 1
A
l 2
C
（第 18 题）
解：（ 1） 所得 柱的半径
r dm ，
2πr
2r 4r
100 ，
⋯⋯ 4 分 解得 r
5
2 π 1
⋯⋯ 6 分
2
π 1．
（ 2） 所得正四棱柱的底面
a dm ，
a ≤ x ，
a ≤ x
，
2 即 2
⋯⋯ 9 分
a ≤ 100
a ≤ 20
.
4a ，
x x
方法一：
3
x
，0 x ≤ 2 10 ，
V
2
4
⋯⋯ 11 分
所得正四棱柱的体
≤
a x
400 ，
x
2
10.
x
3
x ，
x ≤
2 10 ，
函数 p( x)
4
400 ，
x 2 10.
x
p (x) 在 0 ， 10 上 增，在 2 10，
上 减，
2 所以当 x 2 10 ， p max ( x) 20 10 ．
所以当 x 2 10 ， a max
20 10 dm 3． ⋯⋯ 14 分
10 ， V
方法二： 2a ≤ x ≤
20
，从而 a ≤ 10 ．
⋯⋯ 11 分
a
所得正四棱柱的体 V
a 2 x ≤ a 2 20
20a ≤ 20 10 ．
a
所以当 a
10 ， x 2 10 ， V max
20 10 dm 3．
⋯⋯ 14 分
5 2 π 1 答：（ 1） 柱的底面半径
dm ；
2 π 1
（ 2）当 x 2 10 ，能使按方案②制成的正四棱柱的体 最大．
⋯⋯ 16 分
注意：
1.直接“由
x 2x
x 100 得， x 2 10
正四棱柱的体 最大” ，只 果得分，即 2
2
分；
2.方法一中的求解 程要体 V ≤ p(x) ≤ 2 10 ，凡写成 V p(x) ≤ 2
10 的最多得 5 分，
方法二 似解答参照 分．
19．（本小 分
16 分）
等比数列
a 1，a 2，a 3，a 4 的公比 q ，等差数列
b 1 ，b 2，b 3，b 4 的公差 d ，且 q 1 ，d 0 ．
c i a i b i （ i???1， 2，3， 4）．
（ 1）求 ：数列 c 1 ，c 2 ，c 3 不是等差数列； （ 2） a 1
1 ， q
2 ．若数列 c 1 ，c 2 ，c
3 是等比数列，求 b 2 关于 d 的函数关系式及其定 域；
（ 3）数列 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 能否 等比数列并 明理由．解：
（ 1）假 数列 c 1 ，c 2 ，c 3 是等差数列，
2c 2
c 1 c 3 ，即 2 a 2 b 2
a 1
b 1 a 3 b 3 ．
因 b 1 ，b 2 ， b 3 是等差数列，所以 2b 2
b 1 b 3 ．从而 2a 2 a 1 a 3 ．
⋯⋯ 2 分
又因 a 1 ，a 2 ， a 3 是等比数列，所以 a 2 2
a 1 a 3 ．
所以 a 1
a 2
a 3 ， 与 q
1 矛盾，从而假 不成立．
所以数列 c 1 ，c 2 ，c 3 不是等差数列．
⋯⋯ 4 分
（ 2）因 a 1
1 ， q
2 ，所以 a n
n 1
2 ．
因 c 2 2
c 1c 3 ，所以 2
2
1 b
2 d 4 b 2
d ，即 b 2 d
2
3d ， ⋯ 6 分
b 2
由 c 2
2 b 2 0 ，得 2
3d 2
0 ，所以 d 1 且 d
2 ．
d
又 d 0 ，所以 b 2
d 2
3d ，定 域 d R d 1，d
2 ，d 0 ．⋯⋯ 8 分
（ 3）方法一：
c 1， c 2， c 3， c 4 成等比数列，其公比 q 1 ，
a 1
b 1
c 1 ， ①
a 1q
b 1
d =c 1 q 1 ，②
⋯⋯ 10 分
b 1
2d =c 1q 12 ， ③
a 1q 2
3
3
④
a 1q
b 1 3d =
c 1q 1 .
将① +③－ 2×②得， a 1 q 2
c 1 q 1 1 2
1
，
⑤
将② +④－ 2×③得， a 1 q q 2
c 1q 1 q 1 2
⋯⋯ 12 分
1 1 ， ⑥
因 a 1
0 ， q 1，由⑤得
c 1 0 ， q 1
1 ．
由⑤⑥得 q
q 1 ，从而 a 1
c 1 ．
⋯⋯ 14 分
代入①得 b 1 0 ．
再代入②，得 d 0 ，与 d 0 矛盾．
所以 c 1 ，c 2 ， c 3，c 4 不成等比数列． ⋯⋯ 16 分
方法二：
假 数列 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 是等比数列，
c 2 c 3 c 4 ． ⋯⋯ 10 分
c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 4
c 3 ，即 a 3 a 2
d a 4 a 3 d ． 所以
c 2 c 1 c 3
c 2 a 2 a 1
d a 3
a 2 d
a 3 2a 2 a 1
a 4 2a 3 a 2 ． ⋯⋯ 12 分
两 同 减
1 得， a
2 a 1 d
a 3 a 2 d
因 等比数列 a 1，a 2，a 3，a 4 的公比 q q 1 ，所以 a 3 2a 2 a 1
q a 3 2a 2 a 1
．
a 2 a 1 d
a 3 a 2 d
又 a 3
2a 2
a 1
a 1
2
0 ，所以 q a 2
a 1
d
a 3
a 2
d ，即 q
1 d 0 ．
q 1
⋯⋯ 14 分
与 q 1，且 d 0 矛盾，所以假 不成立．
所以数列 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 不能 等比数列．
⋯⋯ 16 分
注意：定 域
d R
d
1，d
2 ，d
0 ，缺一不可，缺少一个或者写 一个均扣掉
2 分。

20．（本小 分 16 分）
函数 f ( x ) x a sin x ( a 0 ) ．
（1）若函数 y
f ( x ) 是 R 上的 增函数，求 数
a 的取 范 ；
（2） a 1
，g ( x )
f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b
0 ) ， g ( x ) 是 g ( x ) 的 函数．
2
① 若 任意的 x
0 ，g ( x )
0 ，求 ：存在
x 0 ， 使 g ( x 0 ) 0 ；
② 若 g( x ) g( x ) ( x
x ) ，求 ： x 1 x 2
4b 2 ．
1
2
1
2
解：（ 1）由 意， f x
1 a cos x ≥ 0 x
R 恒成立，
⋯⋯ 1 分
因 a
0 ，所以
1
≥ cosx x
R 恒成立，
a
因 cosx max
1 ，所以 1
≥ 1 ，从而 0 a ≤ 1 ．
⋯⋯ 3 分
a
（ 2）① g
x
x 1 sin x b ln x 1 ，所以 g x 1 1 cos x b ．
2
2 x
若 b
0 ， 存在
b 0 ，使 g b 1
1
cos
b 0 ，不合 意，
2
2 2
2
所以 b
0 ．
⋯⋯ 5 分
3
取 x 0
e b ， 0 x 0
1．
1
sin x
1
3
1
此
g
x
x
b ln x
0 1 1
b ln e
b
1
0 ．
2
2
2
所以存在 x 0 0 ，使 g
x 0 0 ．
⋯⋯ 8 分
②依 意，不妨
x 1
x 2 ，令
x 2
t ， t
1 ．
x 1
由（ 1）知函数 y x
sin x 增，所以 x 2 sin x 2 x 1 sin x 1 ．
从而 x 2 x 1 sin x 2 sin x 1 ．
⋯⋯ 10 分
因
g x
g x
，所以
x
1
sin x b ln x
1
x
1
sin x
b ln x
1
，
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
所以 b ln x 2 ln x 1
x 2 x 1 1 sin x 2 sin x 1
1 x
2 x 1 ．
2
2
所以 2b
x 2 x 1 0 ．
⋯⋯ 12 分
ln x 2 ln x 1
下面 明
x 2 x 1 x 1 x 2 ，即 明
t
1 t
，只要 明 ln t t 1
．
ln x 2 ln x 1
ln t
t
t
2
t 1
1
h t
ln t
t 1
，所以 h t 2t t 0 在 1，
恒成立．
t
所以 h t 在 1，
减，故 h t
h 1 0 ，从而
得 ．
所以 2b
x 1 x 2 ， 即 x 1 x 2 4b 2 ．
⋯⋯ 16 分
注意： 1.求 正确即
1 分， f
x
1 a cos x。

3
4
2.（ 2）①中 x 0
e b 可以， x 0 e b 也可以。

数学Ⅱ（附加题）
21．【 做 】本 包括 A 、B 、 C 、D 四小 ， 定其中两 ，并在相 的答 区域内作答
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做， 按作答的前两 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ．
A ． [ 修 4 1：几何 明 ] （本小 分
10 分）
-
如 ， A ，B ， C 是⊙ O 上的 3 个不同的点，半径 OA 交弦 BC 于点 D ．
B
求 ： DB DC 2
2
OD OA ． 明：延 AO 交⊙ O 于点 E ，
DB DC DE DA OD OE
OA OD ．⋯⋯ 5 分
D
因 OE OA ，
E
O
所以 DB
DC
OA OD
OA OD OA 2
OD 2 ．
所以 DB DC OD
2
OA 2
．
⋯⋯ 10 分
C
．
A
（第 21— A 题）
B ． [ 修 4 2：矩 与 ]（本小 分
10 分）
-
在平面直角坐 系 xOy 中，已知 A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) ． T 1
， T 2 的矩
分 M
1 0
，
N
2 0
1 2
后所得 形的面 ．
0 2
0 ，求 △ ABC 依次 施 T ，T
1
T 1 ， T 2 所 的矩 NM
2 0 1 0 2 0 解：依 意，依次 施
0 1 0 2
0 ．⋯ 5 分
2
2 0
2 0
3 6 2 0 2
4 ．
2
，
0 2
，
2 2
4
0 0
所以 A( 0 ，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C ( 2 ，2 ) 分 点 A ( 0 ，0 ) ，B ( 6 ，0 ) ，C ( 4 ，4 ) ．
从而所得 形的面 1 6 4 12 ．
⋯⋯ 10 分 2
C ． [ 修 4 4：坐 系与参数方程
] （本小 分
10 分）
-
在极坐 系中， 求以点 P
2
， 心且与直
l ：
sin
3
2 相切的 的极坐
3
方程．
解：以极点 原点，极
x 的非 半 ，建立平面直角坐 系
xOy ．
点 P 的直角坐 1 ， 3 ．
⋯⋯ 2 分
将直 l ：
sin
3
2 的方程 形 ：
sin cos
3
cos sin2 ，
3 化 普通方程得， 3x y
4 0 ．
⋯⋯ 5 分
所以 P
1 ， 3 到直 l
：
3x
y
4 0 的距离 ：
4
2 ．
2
32
1
故所求 的普通方程 x 2
y 3 2
．
⋯⋯ 8 分
1
4 化 极坐 方程得，
4sin
π ．
⋯⋯ 10 分
6
注意： 果写成 2
2 cos
2 3sin
0 也算正确，不扣分。

D ． [ 修 4 5：不等式 ]（本小 分
10 分）
-
已知 a ， b ， c 正 数，且
a
b c
1
1 a c ≥
2 ．
2 ，求 ：
c a
2 b
明：因 a ， b ， c 正 数，
所以
1 a c
a 2
b 3c
c
a
2 b
c
a
2 b
a c
2 b c
ac
2 bc
≥
2 ac 4 bc
ac 2 bc
2 （当且 当 a
b c 取“ =”）．
⋯⋯ 10 分 【必做 】第
22、 23 ，每小 10 分，共
20 分． 在答 卡指定区域
内作答，解答
．．．．．．．
写出文字 明、 明 程或演算步 ．
22．（本小 分 10 分）
在某公司 行的年 典活 中，主持人利用随机抽 件 行抽 ：由 随机生成一 如
所示的 3 3 表格，其中 1 格 300 元， 4 格各 200 元，其余 4 格各 100 元，点 某 一格即 示相 金 ．某人在一 表中随机不重复地点
3 格， 中 的 金
X 元．
（ 1）求概率 P X 600 ；
（ 2）求 X 的概率分布及数学期望 E X ．
解：（ 1）从 3 3 表格中随机不重复地点
3 格，共有 C 93 种不同情形．
事件：“ X 600 ”包含两 情形：
第一 是 3 格各得 200 元；
第二 是 1 格得 300 元，一格得
200 元，一格得 100 元， （第 22 题）
3
1
1
1
其中第一 包含 C 4 种情形，第二 包含 C 1 C 4 C 4 种情形．
所以 P X
600
C 34 C 11 C 14 C 14
5
．
⋯⋯ 3 分
C 93
21
（ 2） X 的所有可能 300，400， 500， 600， 700．
P
X 300
C 4
3
4 1
， P
X
400
C 11 C 42 24 2 ，
C 93
84
21
C 93
84
7
P
X 500
C 11 C 42 C 14 C 42 30
5 ， P X 700
C 11 C 42
6
3 ．
C 93
84
14
C 9384
42
所以 X 的概率分布列 ：
X
300 400
500
600 700
P
1 2 5 5 3
21
7 14
21
42
⋯⋯ 8 分
所以 E
X
300 1
400 2
500 5 600 5 700
3
500 （元）．
21
714 21 42
⋯⋯ 10 分
注意： 1.只要有 P
X 600
C 34 C 11 C 14 C 14
5
3 分，不一定非常 写很 ；
C 93
21 ，就得
2. P X 300
C 43
41
P
X 400
C 11 C 42
24 2
C 93
84 21 ，
C 9
3
84 7
，
P X 500
C 11 C 42 C 14 C 42 30 5
P X 700 C 11 C 42 63
C 93
84
14
，
C 93
84
42 ．每个正确 1 分，
都正确 5 分。

23．（本小 分
10 分）
n
已知 (1 x )2 n 1
a 1 x a 2 x 2
⋯ a 2n 1 x 2n 1 ， n N * ． T n
a 0
k 0 ( 2k 1) a n k ．
（ 1）求 T 2 的 ；
（2）化
n
的表达式，并 明： 任意的
n *
n
都能被 4n 2 整除．
T
N ， T
解：由二 式定理，得 a i i
1 （ i?0， 1， 2，⋯， 2n+1）．
C 2n
（ 1） T 2 a 2 3a 1 5a 0
（ 2）因 n 1 k C n 2n 11k
2n
n
2 1 0
30 ；
⋯⋯ 2 分
C 5 3C 5 5C 5 n 1 k
2n 1 ! n 1 k ! n k !
2n 1 2 n !
n k ! n k !
1 C 2n n k ，
⋯⋯ 4 分
所以 T n
2k 1 a n k
k 0
n
n
k
2k 1
C 2n
1 k 0
n
C 2n n 1
k
2k 1 1 k 0
n
2 n 1 k 2n 1
C n 2 n 11 k
k 0
n n
2 n 1 k C2n n 11k2n 1 C2n n11k
k0k 0
n n
2 2n 1 C2n n k2n 1 C2n n11k
k0k 0
2 2n 1122 n C2n n2n 112 2n 1
22
2 n 1 C2n n．⋯⋯ 8 分
．
T n 2n 1 C2n n2n 1 C2n n11C2n n 1 2 2n 1 C2n n 1
n
N ，所以T n能被4n 2 整除．⋯⋯ 10 分因 C2n 1
注意：只要得出T n2n 1 C2n n，就 8 分，不必要看程。