2022-2023学年山东省泰安市东平县七年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析)

2022-2023学年山东省泰安市东平县七年级（下）
期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列方程中是二元一次方程组的是( )
A. 3x−2y =1y =4z +1
B. a =32b−3a =2+y =3+2x =4 D. mn =−1m +n =3
2.下列选项中属于命题的是( )
A. 任意一个三角形的内角和一定是1800吗？
B. 画一条直线
C. 异号两数之和一定是负数
D. 连结A 、B 两点
3.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是
( )
A. 14°
B. 15°
C. 16°
D. 17°
4.骰子各面上的点数分别是1，2，…，6.抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 1
5.下列事件：①两个锐角的和大于90°；②一个有理数的绝对值是负数；③阴天一定下雨；④彩票中奖的可能性是10%，买100张有10张会中奖.其中不确定事件有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，能判定AD//BC 的条件是( )
A. ∠3=∠2
B. ∠1=∠2
C. ∠B =∠D
D. ∠B =∠1
7.在长为20m 、宽为16m 的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三
个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积
为( )
A. 16cm 2
B. 32cm 2
C. 36cm 2
D. 40cm 2
8.一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角( )
A. 相等
B. 互补
C. 相等或互补
D. 不能确定
9.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为( )
A. 19
B. 29
C. 49
D. 5910.已知关于xy 的方程组4x +3y =11ax +by =−2和3x−5y =1bx−ay =6的解相同，则(a +b )2024的值为( )
A. 0
B. −1
C. 1
D. 2022
11.小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象l 1、
l 2，如图所示，则这个方程组是( )A. y =−2x +2y =12
x−1 B. y =−2x +2y =−x C. y =3x−8y =12x−3 D. y =−2x +2y =−12
x−112.如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，
则∠P 的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

13.有九张相同的卡片，上印有汉字“我、参、与、我、奉、献、我、快、乐”.九张卡片任意搅乱后，一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是______．
14.已知二元一次方程组x−y =−5x +2y =−2的解为x =−4y =1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y =x +5
与直线l
2：y =−12x−1的交点坐标为______．
15.如图，把一个长方形ABCD 纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置，若
∠AED′=30°，则∠CFE = ______．
16.已知方程|x−2y +4|+(2x +5y−1)2=0，则(x +y )2023= ______．
17.如图所示，已知AB//DE ，若∠ABC =70°，∠CDE =130°，则∠BCD 的
度数是______．
18.如图，如果可以在三个完全相同的正方形拼成的图案中随意取点，那么
这个点取在阴影部分的概率是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题16分)
解下列方程组：(1)2x +3y =7x−3y =8； (2)2x +y =43x−2y =13；
n 4=−1n
3=−1； x−y
4=5x−y 4=11．20.(本小题8分)
在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯亮的时间分别为30s 、5s 和40s ，当你到达该路口时，求：
(1)遇到红灯的概率；
(2)遇到的不是绿灯的概率．
如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．
22.(本小题12分)在解方程组ax+5y=10
4x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=−3 y=−1，
乙看错了方程组中的b，得到的解为x=5 y=4．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的解．
23.(本小题10分)
如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
24.(本小题12分)
如图，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．
(1)根据图象分别求出l1、l2的函数关系式；
(2)
当照明时间为多少时，两种灯的费用相同？
(3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，现有
两种用法：①先用白炽灯，再用节能灯；②先用节能灯，再用白炽灯；请
你帮他选择一下，使用哪种方案省钱？可省多少钱？
如图，已知直线l1//l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D、A、B两点分别在l1和l2上，直线l3上有一动点P
(1)如果P点在C、D之间运动时，猜测∠PAC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，证明你的结论
(2)若点P在DC的延长线上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系为______
(3)在(2)的条件下，∠PAC和∠PBD的角平分线相交于点Q，探索∠APB和∠AQB的关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是三元，不符合二元一次方程组的定义；
B、符合二元一次方程组的定义；
C、是分式方程，不符合二元一次方程组的定义；
D、mn是二次，不符合二元一次方程组的定义．
故选：B．
二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．依此即可求解．
考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
2.【答案】C
【解析】解：A、任意一个三角形的内角和一定是1800吗？，是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
B、画一条直线，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
C、异号两数之和一定是负数，是命题，符合题意；
D、连结A、B两点，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意；
故选：C．
根据命题的概念判断即可．
本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：如图，
因为∠ABC=60°，∠2=44°，
所以∠EBC=16°，
因为BE//CD，
所以∠1=∠EBC=16°，
故选：C．
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE//CD，即可得出∠1=∠EBC，进而得解．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4.【答案】A
【解析】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种，
∴朝上一面的点数为偶数的概率3
6=1
2
．
故选：A．
根据概率公式即可得．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】C
【解析】解：∵①两个锐角的和大于90°是不确定事件，符合题意；
②一个有理数的绝对值是负数是不可能事件，不符合题意；
③阴天一定下雨是不确定事件，符合题意；
④彩票中奖的可能性是10%，买100张有10张会中奖是不确定事件，符合题意，
故不确定事件有：①③④，
故选：C．
本题需先根据随机事件的概念对每一项进行分析即可得出正确答案．
本题主要考查了随机事件的有关概念，在解题时要能结合实际确定某一事件是否是不确定事件是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∠3=∠2可知AB//CD，不能判断AD//BC，故A错误；
B、∠1=∠2不能判断AD//BC，故B错误；
C、∠B=∠D不能判断AD//BC，故C错误；
D、当∠B=∠1时，由同位角相等，两直线平行可知AD//BD，故D正确．
故选：D．
依据平行线的判定定理进行判断即可．
本题主要考查的是平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．7.【答案】B
【解析】解：设小长方形的长为x m，宽为ym，
由题意得：2x+y=20 2y+x=16，
解得：x=8 y=4，
即小长方形的长为8m，宽为4m．
答：每个小长方形花圃的面积32m2，
故选：B．
由图形可看出：小长方形的2个长+一个宽=20m，小长方形的2个宽+一个长=16m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
8.【答案】C
【解析】解：如图1，两个角相等，
如图2，两个角互补，
所以，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故选C．
分两种情况，作出图形，然后解答即可．
本题考查了平行线的性质，作出图形，利用数形结合求解更形象直观．
9.【答案】D
【解析】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为1
3
，遇到黄灯的概率
为1
9
，
∴他遇到绿灯的概率为：1−13−19=59．
故选：D ．
利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．此题主要考查了概率公式，得出遇到每种信号灯的概率之和为1是解题关键．10.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．根据题意可建立新的方程组为：4x +3y =11①3x−5y =1②，用加减消元法解出x 、y ，把y =1，x =2代入原方程组中含有a ，b 的方程，得2a +b =−2③−a +2b =6④，用加减消元法解出a 、b ，代入(a +b )
2024计算即可．【解答】解：根据题意可建立新的方程组为：4x +3y =11①3x−5y =1②，
①×5+②×3，得x =2，
把x =2代入②，得y =1，
把y =1，x =2代入原方程组中含有a ，b 的方程，得2a +b =−2③−a +2b =6④,
③×2−④，得a =−2，
把a =−2代入④，得b =2，
∴(a +b )2024=(−2+2)2024=0，
故选：A ．
11.【答案】D
【解析】解：由图可知：
直线l 1过(2,−2)，(0,2)，因此直线l 1的函数解析式为：y =−2x +2；
直线l 2过(−2,0)，(2,−2)，因此直线l 2的函数解析式为：y =−12x−1；因此所求的二元一次方程组为y =−2x +2y =−12x−1；
故选：D ．
两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题综合考查角平分线的定义、三角形内角和等知识点．本题利用角平分线的定义计算，找到∠ACD 与∠ABD 的差是解题关键．延长DC 与AB 交于点E ，由三角形内角和和邻补角性质得出
∠ACD =∠A +∠AEC =50°+∠AEC ，∠AEC =∠ABD +∠D =∠ABD +10°，进而得出
∠ACD−∠ABD =60°，再由三角形内角和得出∠P +12∠ACD =∠A +12
∠ABD ，即可运用整体代入法求出∠P 的度数．
【解答】
解：延长DC 与AB 交于点E ．
∵∠ACD =180°−[180°−(∠A +∠AEC)]，
∴∠ACD =∠A +∠AEC =50°+∠AEC ．
∵∠AEC =180°−[180°−(∠ABD +∠D)]，
∴∠AEC =∠ABD +∠D =∠ABD +10°，
∴∠ACD =50°+∠AEC =50°+∠ABD +10°，
整理得∠ACD−∠ABD =60°．
设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB =∠POC ，
∴∠P +12∠ACD =∠A +12∠ABD ，
即∠P =50°−12(∠ACD−∠ABD)=20°．
故选：B ．13.【答案】13
【解析】解：全部9张卡片，3张是“我”字，所以一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是39=13．故答案为：13．
数出“我”的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．
考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】(−4,1)
【解析】解：∵二元一次方程组x−y=−5
x+2y=−2的解为
x=−4
y=1，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−1
2
x−1的交点坐标为(−4,1)，
故答案为：(−4,1)．
根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15.【答案】105°
【解析】解：由折叠的性质得到∠DEF=∠FED′，
∵∠AED′=30°，
∴∠DEF=∠FED′=1
2
×(180°−30°)=75°，
∴∠AEF=30°+75°=105°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠CFE=∠AEF=105°．
故答案为：105°．
由折叠的性质得到∠DEF=∠FED′，由平角定义求出∠DEF=∠FED′=1
2
×(180°−30°)=75°，得到
∠AEF=30°+75°=105°，由平行线的性质推出∠CFE=∠AEF=105°．
本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质得到∠DEF=∠FED′，由平行线的性质推出
∠CFE=∠AEF=105°．
16.【答案】−1
【解析】解：∵|x−2y+4|+(2x+5y−1)2=0，
∴x−2y+4=0
2x+5y−1=0，
解得：x=−2 y=1，
∴(x+y)2023=(−2+1)2023=−1，
故答案为：−1．
根据非负数的性质得出关于x，y的二元一次方程组，解之，然后将x、y的值代入代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、求代数式的值，解题的关键是利用非负数的性质得出二元一次方程组．
17.【答案】20°
【解析】解：过C作CF//AB，
∵∠ABC=70°，
∴∠BCF=∠ABC=70°，
又∵AB//DE，
∴DE//CF，
∴∠DCF+∠CDE=180°，
∴∠DCF=50°，
∴∠BCD=∠BCF−∠DCF=70°−50°=20°．
故答案为：20°．
过C作CF//AB，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
18.【答案】1
5
【解析】解：设一个阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是10x，
则这个点取在阴影部分的概率是：2x
10x =1
5
．
故答案为：1
5
．
先设一个阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是10x，再根据几何概率的求法即可得出答案．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件
(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
19.【答案】解：(1)2x+3y=7①
x−3y=8②，
①+②得：3x=15，
解得：x=5，代入②中，
解得：y=−1，
∴方程组的解为x=5
y=−1；
(2)2x+y=4①
3x−2y=13②，
①×2+②得：7x=21，解得：x=3，代入②中，解得：y=−2，
∴方程组的解为x=3
y=−2；
(3)方程组整理得：4m−3n=−12①3m−2n=−6②，
②×3−①×2得：m=6，代入②中，解得：n=12，
∴方程组的解为m=6
n=12；
x−y
4
①
+x−y
4
=11②
，
①+②得：x+y
3
=8，
②−①得：x−y
4
=3，
整理得：
x+y=24③
x−y=12④，
③+④得：2x=36，
解得：x=18，
③−④得：2y=12，
解得：y=6，
∴方程组的解为
x=18
y=6．
【解析】(1)利用加减消元法求解；
(2)利用加减消元法求解；
(3)方程组整理后，利用加减消元法求解；
(4)运用整体思想，利用加减消元法整理出新方程，再利用加减消元法求解．本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法．
20.【答案】解：(1)P(遇到红灯)=30
30+5+40
=2
5
．
(2)P(遇到不是绿灯)=30+5
30+5+40
=7
15
．
【解析】(1)所求概率=红灯亮的时间÷三种灯亮的总时间．
(2)所求概率=不是绿灯的时间为(30+5)s÷三种灯亮的总时间．
本题考查了利用概率的公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握概率公式：P(A)=事件A可能出现的次数
所有可能出现的次数
．
21.【答案】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−20°−25°−55°=80°，
在△BCD中，
∠BDC=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−80°=100°．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据三角形的内角和等于180°列式求出∠DBC+∠DCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
22.【答案】解：(1)由题意得：−12+b=−4
5a+20=10，
解得：a=−2 b=8；
(2)把a=−2
b=8代入方程组得：
−2x+5y=10
x−2y=−1，
解得：x=15 y=8．
【解析】(1)把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可；
(2)将a与b的值代入方程组，求出解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．23.【答案】解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°(平角定义)，∠1+∠2=180°(已知)．
∴∠2=∠4．
∴EF//AB(内错角相等，两直线平行)．
∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3=∠B(已知)，
∴∠B=∠ADE(等量代换)．
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)．
∴∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【解析】本题重点考查平行线的性质和判定．
首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE//BC，得出两角相等．
24.【答案】解：(1)设l1的函数关系式为y1=k1x+b1，由图象知，l1过点(0,2)、(500,17)，
可得方程组2=b1
17=500k1+b1，
解得b1=2
k1=3
100
，
故，l1的函数关系式为y1=3
100
x+2；设l2的函数关系式为y2=k2x+b2，由图象知，l2过点(0,20)、(500,26)，
可得方程组20=b2
26=500k2+b2，
解得b2=20
k2=3
250
，
故，l2的函数关系式为y2=3
250
x+20；
(2)由题意得，3
100x+2=3
250
x+20，
解得x=1000，
故，当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相同；
(3)①假如先用白炽灯，再用节能灯，则应有：
当x=2000时，y1=3
100
×2000+2=62，
当x=500时，y2=3
250
×500+20=26，
故，费用为88元；
②假如先用节能灯，再用白炽灯，则应有：
当x=2000时，y2=3
250
×2000+20=44，
当x=500时，y1=3
100
×500+2=17，
故，费用为61元；
因此，两种方案中，先用节能灯，再用白炽灯省钱，可节省27元．
【解析】(1)设l1的函数关系式为y1=k1x+b1，由l1过点(0,2)、(500,17)，利用待定系数法求解即可求得l1的函数关系式，同理可求得l2的函数关系式；
(2)根据题意可得方程：3
100x+2=3
250
x+20，解此方程即可求得答案；
(3)分别求得：①先用白炽灯，再用节能灯与②先用节能灯，再用白炽灯这两种方案用的钱数，比较即可求得答案．
此题考查了一次函数的应用问题，注意待定系数法的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，准确识图，注意方程思想与数形结合思想的应用．
25.【答案】∠PBD=∠PAC+∠APB
【解析】解：(1)结论：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
过点P作PE//l1，
∵l1//l2，
∴PE//l2//l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
(2)结论：如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l1//l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
故答案为∠PBD=∠PAC+∠APB．
(3)结论：∠APB=2∠AQB．
理由：由(2)可知∠APB=∠PBD−∠PAC，同理∠AQB=∠QBD−∠QAC，
∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，
∴∠PAC=2∠QAC，∠PBD=2∠QBD，
∴∠APB=∠PBD−∠PAC=2∠QBD−2∠QAC=2(∠QBD−∠QAC)=2∠AQB．
(1)当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE//l1，由l1//l2，可得PE//l2//l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD；
(2)当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1//l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
(3)结论：∠APB=2∠AQB.由(2)可知∠APB=∠PBD−∠PAC，同理∠AQB=∠QBD−∠QAC，由AQ平分
∠PAC，BQ平分∠PBD，推出∠PAC=2∠QAC，∠PBD=2∠QBD，推出
∠APB=∠PBD−∠PAC=2∠QBD−2∠QAC=2(∠QBD−∠QAC)=2∠AQB；
本题考查平行线的性质、三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．。